Математическая логика (318, 319/2, 241, 242)

Обязательный курс для студентов групп 318 и 319/2, а также 241 и 242 (Математическая логика и теория алгоритмов). Курс читает В. В. Подымов.

Актуальность информации: весенний семестр 2022/2023 учебного года.

Слайды лекций

Блок 1 (вводный). Что такое логика. Несколько логических парадоксов. Чего ожидать в курсе.

Блок 2. Логика высказываний: синтаксис, семантика.

Блок 3. Логика предикатов: синтаксис, семантика.

Блок 4. Как формализовать предложение на языке логики предикатов (пример).

Блок 5. Логика высказываний: выполнимые и общезначимые формулы.

Блок 6. Логика предикатов: выполнимые и общезначимые формулы; модели формул; логическое следствие; проблема общезначимости формул (постановка).

Блок 7. Логика предикатов: можно ли проверить общезначимость формулы "в лоб"?

Блок 8. Метод семантических таблиц: семантические таблицы.

Блок 9. Подстановки (основные определения).

Блок 10. Метод семантических таблиц: табличный вывод.

Блок 11. Метод семантических таблиц: корректность табличного вывода.

Блок 12. Метод семантических таблиц: полнота табличного вывода.

Блок 13. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Автоматизация доказательства теорем.

Блок 14. Общая схема метода резолюций.

Блок 15. Равносильность формул.

Блок 16. Предварённая нормальная форма (ПНФ).

Блок 17. Сколемовская стандартная форма (ССФ).

Блок 18. Системы дизъюнктов.

Блок 19. Композиция подстановок. Постановка задачи унификации.

Блок 20. Алгоритм унификации атомарных формул.

Блок 21. Монотонность и транзитивность отношения логического следования.

Блок 22. Резолютивный вывод. Корректность резолютивного вывода.

Блок 23. Обоснование общезначимости формулы методом резолюций (пример).

Блок 24. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях.

Блок 25. Теорема Эрбрана. Полнота резолютивного вывода.

Блок 26. Даша, Саша, Паша, пиво и метод семантических таблиц с методом резолюций.

Блок 27. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.

Блок 28. Натуральное исчисление высказываний: основные определения.

Блок 29. Натуральное исчисление высказываний: правило монотонности, закон исключённого третьего, корректность.

Блок 30. Натуральное исчисление высказываний: правило сечения, правило полного перебора, правило приведения к абсурду, полнота.

Блок 31. Натуральное исчисление предикатов: основные определения, корректность.

Блок 32. Гильбертовское исчисление предикатов. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).

Блок 33. Натуральное исчисление предикатов: полнота.

Блок 34. Задачи и проблемы. Алгоритмы. Разрешимость. M-сводимость.

Блок 35. Машины Тьюринга (МТ).

Блок 36. Теорема Чёрча.

Блок 37. Аксиоматические теории первого порядка. Проблема общезначимости формул в теории.

Блок 38. Основные свойства аксиоматических теорий.

Блок 39. Арифметические интерпретации и теории.

Блок 40. Определения и выразимость.

Блок 41. Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте.

Блок 42. Арифметика Пресбургера.

Блок 43. Модальные логики.

Блок 44. Эпистемические логики.

Блок 45. Темпоральные логики.

Блок 46. Интуиционистская логика.

Слайды будут появляться по мере проведения занятий

Прошлогодние слайды

Блок 47. Императивные программы. Формальная верификация программ. Логика Хоара.

Блок 48. Проверка моделей относительно логики деревьев вычислений (CTL model checking).

Семинары

Материалы семинаров будут обновляться по мере проведения занятий

Семинары 1-4 проводятся по этому сборнику задач.

Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к расширенному сборнику задач

Материалы семинара 5-6 (натуральное исчисление).

Контрольные работы

Контрольные работы проводятся письменно, длительность каждой - 90 минут.

В контрольных работах встретятся 4 типовые задачи со следующими темами:

1. Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
2. Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
3. Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
4. Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.

Оценка решений типовых задач:

• Максимальная оценка - 4 балла.
• Если решение в целом верно, но содержит редкие ошибки серьёзнее опечаток, то оно оценивается в 3 балла.
• Если решение содержит серьёзные ошибки, но имеет структуру, в целом разумно соотносящуюся с правильной, то задача оценивается в 2 балла.
• Если в решении обнаружены правильные элементы, но в малом количестве, то задача оценивается в 1 балл.

Теоретические вопросы даются в форме теста с множественным выбором: из предложенных вариантов ответа требуется выбрать правильные (один, несколько или ни одного), обоснование не требуется. Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.

Первая контрольная работа будет содержать 3 типовые задачи (по темам 1-3) и 9 теоретических вопросов (по прочитанным лекциям).

Вторая контрольная работа будет содержать все типовые задачи и 5 теоретических вопросов (по темам, не попавшим в первую контрольную работу).

Остальные контрольные работы будут содержать все типовые задачи и 14 теоретических вопросов (по всем темам лекций).

Зачёт

На зачёте оцениваются результаты, относящиеся к решению типовых задач, знанию теории и работе в семестре. При проставлении зачёта учитывается 6 технических оценок:

• Четыре оценки за типовые задачи, по одной за каждую задачу.
• Оценка за знание теории. Максимум - 14 баллов.
• Оценка за решение премиальных задач.

Для получения зачёта требуется достичь следующих результатов:

1. Набрать хотя бы 11 баллов за типовые задачи.
2. Набрать хотя бы 20 баллов суммарно за всё (типовые задачи, теория, премиальные задачи).

Баллы за типовые задачи и за теорию набираются на контрольных работах.

Для решения каждой типовой задачи будет предложено несколько попыток. При проставлении зачёта учитывается максимальная оценка за задачу среди всех попыток её решить.

При проставлении зачёта учитывается максимальная оценка за теорию среди полученных

• суммарно за первые две контрольные работы и
• за каждую из следующих контрольных работ.

Экзамен

Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.

Экзаменационная работа оценивается по шкале от 0 до 30 технических баллов. К этим техническим баллам прибавляются баллы за выполнение премиальных задач и поощрение/штраф за контрольную работу. Согласно набранной сумме технических баллов выставляется оценка:

• хотя бы 24: отлично;
• хотя бы 18, но менее 24: хорошо;
• хотя бы 12, но менее 18: удовлетворительно;
• менее 12: неудовлетворительно.

Баллы за экзаменационную работу складываются из баллов за каждую задачу, предложенную в работе:

• Каждая из задач 1-4 оценивается в 3 балла. Темы задач:
  1. Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
  2. Проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
  3. Проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
  4. Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.
• Каждая из задач 5-7 оценивается в 2 балла и состоит из двух частей:
  1. Сформулировать утверждение, определение и т.п.
  2. Ответить на вопрос "на понимание", так или иначе связанный с формулировкой.
• Каждая из задач 8-11 оценивается в 3 балла и устроена так:
  • Из нескольких предложенных вариантов ответа выбрать правильные (один, несколько или ни одного) и обосновать выбранные ответы.
  • Невыбранные ответы обосновывать не нужно.

Контрольная работа

На оценку за экзамен влияет первая контрольная работа. Максимальная техническая оценка за эту работу - 21 балл. В зависимости от технических баллов, набранных за первую контрольную работу, определяется поощрение или штраф к техническим баллам за экзамен:

• набрано хотя бы 19 баллов: бонус +3 балла;
• набрано хотя бы 16, но менее 19 баллов: бонус +2 балла;
• набрано хотя бы 13, но менее 16 баллов: бонус +1 балл;
• набрано хотя бы 10, но менее 13 баллов: бонус +0 баллов;
• набрано хотя бы 7, но менее 10 баллов: штраф -1 балл;
• набрано хотя бы 4, но менее 7 баллов: штраф -2 балла;
• набрано менее 4 баллов: штраф -3 балла;
• контрольная работа пропущена по неуважительной причине: штраф -3 балла;
• контрольная работа пропущена по уважительной причине: бонус +0 баллов.

Премиальные задачи

Общие условия сдачи решений премиальных задач:

• Можно как прислать письменное решение, так и обсудить решение устно. Если прислано письменное решение и к нему есть вопросы, то для их решения может потребоваться дополнительное устное обсуждение.
• При подготовке решения и во время его сдачи можно пользоваться любыми материалами.
• При сдаче может быть проверено понимание каждой детали предложенного решения - следует быть к этому готовым.
• Решение принимается, когда по нему не остаётся неотвеченных вопросов.

Бонусы за решение задач сформулированы для одной учебной группы и получаются внутри одной группы независимо от другой. Например, "первый" трактуется как "первый из группы 318, а также первый из группы 319/2, а также ...".

Условия задач и статистика принятых решений будут добавляться и обновляться и по мере чтения курса.

Программа курса

Программа будет обновляться согласно фактически прочитанному материалу

Классические логики

1. Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость и общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
2. Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
3. Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
4. Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
5. Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
6. Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теоремы о корректности и полноте табличного вывода.
7. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева.
8. Машины Тьюринга. Теорема Чёрча.
9. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.

Метод резолюций в логике предикатов

10. Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
11. Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
12. Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме невыполнимости систем дизъюнктов.
13. Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
14. Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
15. Правило резолюции. Правило склейки. Резолютивный вывод. Теорема о корректности резолютивного вывода.
16. Эрбрановский универсум. Эрбрановский базис. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.
17. Лемма об основных дизъюнктах. Лемма о подъёме. Теорема о полноте резолютивного вывода.
18. Метод резолюций: общая схема, применение.

Логические исчисления

19. Логические исчисления. Исчисления высказываний и исчисления предикатов. Выводимость и доказуемость формул.
20. Натуральное исчисление высказываний. Правило монотонности. Закон исключённого третьего. Правило сечения. Правило полного перебора. Правило приведения к абсурду. Корректность и полнота исчисления.
21. Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления.
22. Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).

Аксиоматические теории

23. Аксиоматические теории первого порядка: основные определения, проблема общезначимости формул в теории.
24. Основные свойства аксиоматических теорий: непротиворечивость, элементарность, полнота, разрешимость.
25. Определения и выразимость в интерпретациях. Теорема о подстановке определения.
26. Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте (формулировка и схема доказательства).
27. Арифметика Пресбургера, её разрешимость и выразительность.

Неклассические прикладные логики

28. Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
29. Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Полная и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Корректность вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
30. Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Логика деревьев вычислений (CTL): синтаксис, семантика, основные равносильности, применение для спецификации поведения распределённых систем. Задача проверки моделей (model checking) относительно CTL: формулировка, решающий алгоритм.

Рекомендованная литература

Основная литература

1. Клини С. Математическая логика. М.:Мир, 1973, 480 с.
2. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.:Мир, 1983. 360 с.
3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. Москва, "Физико-математическая литература", 1995 г., 250 с.
4. Метакидес Г., Нероуд А., Принципы логики и логического программирования. Москва, "Факториал", 1998, 288 с.
5. Братко И. Программирование на Прологе для искусственного интеллекта. М.:Мир, 1990, 560 с.
6. Набебин А.А. Логика и Пролог в дискретной математике. М., Изд-во МЭИ, 1997.
7. Кларк Э.М., Грамберг О., Пелед Д. Верификация моделей программ: model checking. Изд-во МЦНМО, Москва, 2002, 405 с.

Дополнительная литература

1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.:Наука, 1984. 319 с.
2. Верещагин Н.К., Шень А. Языки и исчисления. 2004.
3. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2004. 128 с.
4. Лавров И.А. Математическая логика. Учебное пособие для вузов. М.: Академия, 2006.
5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Серия "Классический университетский учебник". Изд.3, 2006, 240 с.
6. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика - М.: 1979.
7. Непейвода Н. Н. Прикладная логика. Новосибирск. 2000 г.
8. Хоггер К., Введение в логическое программирование. М.:Мир, 1988. 348 с.
9. Клоксин У., Меллиш К. Программирование на языке Пролог. М.:Мир, 1987. 336 с.
10. Кларк К.Л., Маккейб Ф.Г. Микро-Пролог: введение в логическое программирование. Москва, "Радио и связь". 1987, 311 с.
11. Стерлинг Л., Шапиро Э., Искусство программирования на языке ПРОЛОГ. Москва, "Мир", 1990, 235 с.
12. Ковальский Р. Логика в решении проблем. М.: Наука, 1990. 277 с.
13. Логический подход к искусственному интеллекту (от модальной логики к логике баз данных). М.:Мир, 1998. 495 с.