Математическая логика и логическое программирование (группа 318) — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 25 промежуточные версии 1 участника)
Строка 5: Строка 5:
 
''В этом разделе будут выкладываться объявления о текущих изменениях в курсе и на странице курса''
 
''В этом разделе будут выкладываться объявления о текущих изменениях в курсе и на странице курса''
  
 +
* 2020.07.03 01:00 Обновлена информация о принятых решениях бонусных задач
 +
* 2020.05.24 19:09 Появилась последняя бонусная задача (14)
 +
* 2020.05.24 19:04 Выложены слайды последней лекции (17)
 +
* 2020.05.08 11:46 Обновлены правила проведения экзамена и зачёта
 +
* 2020.05.03 22:05 Обновлены материалы семинара 5
 
* 2020.04.17 15:50 Статистика предоставленных решений бонусных задач переехала из подразделов 6.1, 6.2, ... в единую таблицу в разделе 6
 
* 2020.04.17 15:50 Статистика предоставленных решений бонусных задач переехала из подразделов 6.1, 6.2, ... в единую таблицу в разделе 6
* 2020.04.17 15:35 Появилась бонусная задача 6
 
* 2020.04.17 15:27 Выложены слайды лекции 11
 
* 2020.04.14 12:50 Обновлена информация о принятых решениях бонусных задач
 
 
* 2020.02.10 13:05 Страница подготовлена к началу весеннего семестра 2019/2020 учебного года
 
* 2020.02.10 13:05 Страница подготовлена к началу весеннего семестра 2019/2020 учебного года
  
Строка 35: Строка 37:
 
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_11.pdf|Лекция 11.]]''' Машины Тьюринга. Теорема Чёрча. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.
 
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_11.pdf|Лекция 11.]]''' Машины Тьюринга. Теорема Чёрча. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.
  
== Временный архив слайдов: 2018-2019 учебный год ==
+
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_12_13.pdf|Лекция 12-13.]]''' Натуральное исчисление высказываний. Натуральное исчисление предикатов. Исчисление предикатов гильбертовского типа.
 
+
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_12.pdf|Лекция 12.]]''' Логические исчисления. Исчисление высказываний гильбертовского типа. Корректность и полнота исчисления высказываний.
+
 
+
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_13.pdf|Лекция 13.]]''' Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте (формулировка). Натуральное исчисление высказываний, его корректность и полнота. Натуральное исчисление предикатов, его корректность и полнота. Натуральный вывод формул.
+
  
 
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_14.pdf|Лекция 14.]]''' Модальные логики. Эпистемические логики. Темпоральные логики.
 
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_14.pdf|Лекция 14.]]''' Модальные логики. Эпистемические логики. Темпоральные логики.
Строка 48: Строка 46:
  
 
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_17.pdf|Лекция 17.]]''' Табличный алгоритм верификации для LTL. Замыкание Фишера-Ладнера. Системы Хинтикки.
 
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_17.pdf|Лекция 17.]]''' Табличный алгоритм верификации для LTL. Замыкание Фишера-Ладнера. Системы Хинтикки.
 +
 +
== Временный архив слайдов: 2018-2019 учебный год ==
 +
 +
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_12.pdf|Лекция 12.]]''' Логические исчисления. Исчисление высказываний гильбертовского типа. Корректность и полнота исчисления высказываний.
 +
 +
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_13.pdf|Лекция 13.]]''' Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте (формулировка). Натуральное исчисление высказываний, его корректность и полнота. Натуральное исчисление предикатов, его корректность и полнота. Натуральный вывод формул.
  
 
== Временный архив слайдов: 2017-2018 учебный год ==
 
== Временный архив слайдов: 2017-2018 учебный год ==
Строка 67: Строка 71:
 
Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к [[Media:MatLog_exer.pdf| расширенному сборнику задач]]
 
Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к [[Media:MatLog_exer.pdf| расширенному сборнику задач]]
  
[[Media:Mllp_318_seminar_definability.pdf| Материалы семинара 5 (выразимость).]]
+
[[Media:Mathlog_318_seminar_natural_inference.pdf| Материалы семинара 5 (натуральное исчисление).]]
 
+
[[Media:Mathlog_318_seminar_natural_inference.pdf| Материалы семинара 6 (натуральное исчисление).]]
+
  
 
= Контрольная работа =
 
= Контрольная работа =
Строка 110: Строка 112:
  
 
= Экзамен =
 
= Экзамен =
 
''Прошлогодняя информация, в скором времени обновится.''
 
  
 
Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.
 
Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.
  
Экзаменационная работа оценивается по шкале '''от 0 до 30 баллов''' (''промежуточные баллы'').
+
Экзаменационная работа оценивается по шкале '''от 0 до 27 баллов''' (''промежуточные баллы'').
 
Итоговые баллы за экзаменационную работу - это сумма промежуточных баллов, бонусов и штрафов по итогам контрольной работы, а также других бонусов, если удалось их получить.
 
Итоговые баллы за экзаменационную работу - это сумма промежуточных баллов, бонусов и штрафов по итогам контрольной работы, а также других бонусов, если удалось их получить.
 
В зависимости от полученных итоговых баллов за экзаменационную работу выставляется оценка за экзамен:
 
В зависимости от полученных итоговых баллов за экзаменационную работу выставляется оценка за экзамен:
* набрано хотя бы 24 балла: '''отлично''';
+
* набрано хотя бы 22 балла: '''отлично''';
* набрано хотя бы 18, но менее 24 баллов: '''хорошо''';
+
* набрано хотя бы 16, но менее 22 баллов: '''хорошо''';
* набрано хотя бы 12, но менее 18 баллов: '''удовлетворительно''';
+
* набрано хотя бы 10, но менее 16 баллов: '''удовлетворительно''';
* набрано менее 12 баллов: '''неудовлетворительно'''.
+
* набрано менее 10 баллов: '''неудовлетворительно'''.
  
 
Промежуточные баллы складываются из баллов, полученных за решение каждой задачи в работе.
 
Промежуточные баллы складываются из баллов, полученных за решение каждой задачи в работе.
Строка 128: Строка 128:
 
* '''Задача 2 (3 балла)''': проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
 
* '''Задача 2 (3 балла)''': проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
 
* '''Задача 3 (3 балла)''': проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
 
* '''Задача 3 (3 балла)''': проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
* '''Задача 4 (3 балла)''': предложить аксиому, определяющую арифметическое понятие в заданной сигнатуре.
+
* '''Задача 4 (3 балла)''': предложить доказательство общезначимости формулы логики предикатов в натуральном исчислении.
* '''Задача 5 (3 балла)''': предложить доказательство формулы или соответствующей секвенции в натуральном исчислении предикатов.
+
* '''Задачи 5-7 (2 балла за каждую)''' состоят из двух частей: а) сформулировать теорему или определение, рассказанные в лекциях; б) ответить на вопрос, так или иначе связанный с первой частью, '''без пояснений''' (как правило - "да" или "нет", либо привести какой-либо пример).
* '''Задачи 6-8 (2 балла за каждую)''' состоят из двух частей: а) сформулировать теорему или определение, рассказанные в лекциях; б) ответить на вопрос, так или иначе связанный с первой частью, '''без пояснений''' (как правило - "да" или "нет", либо привести какой-либо пример).
+
* '''Задачи 8-10 (3 балла за каждую)''': из предложенных вариантов ответа на заданный вопрос выбрать правильные (один, несколько или ни одного), правильность каждого выбранного ответа обосновать ('''невыбранные ответы обосновывать не нужно''').
* '''Задачи 9-11 (3 балла за каждую)''': из предложенных вариантов ответа на заданный вопрос выбрать правильные (один, несколько или ни одного), правильность каждого выбранного ответа обосновать ('''невыбранные ответы обосновывать не нужно''').
+
  
 
= Зачёт =
 
= Зачёт =
 
''Прошлогодняя информация, в скором времени обновится.''
 
  
 
После завершения лекций будет проведена вторая контрольная работа. Эта работа будет содержать
 
После завершения лекций будет проведена вторая контрольная работа. Эта работа будет содержать
* Две задачи, идентичные задачам 4, 5 экзамена, каждая из которых оценивается в 2 балла.
+
* Одну задачу: предложить доказательство общезначимости формулы логики предикатов в натуральном исчислении. Задача оценивается в 2 балла.
* Пять теоретических вопросов по лекциям, проведённым после контрольной работы, аналогичные теоретическим вопросам первой контрольной работы. Каждый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.
+
* Пять теоретических вопросов того же устройства, что и на первой контрольной работе, но по темам лекций, не вошедшим в первую контрольную. Каждый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.
  
Для получения зачёта необходимо набрать не менее '''16 баллов''' по итогам двух контрольных работ и сдачи других заданий.
+
Для получения зачёта необходимо набрать не менее '''14 баллов''' по итогам двух контрольных работ и сдачи других  
  
Не получившим зачёт по результатам второй контрольной работы будут предоставлены дополнительные попытки получения зачёта. На этих попытках:
+
На каждой попытке зачёта имеется возможность повысить набранные баллы:
* Сохраняются баллы за каждую задачу, суммарный балл за теоретические вопросы первой контрольной работы, суммарный балл за теоретические вопросы второй контрольной работы.
+
* Повторно решить любую задачу. Если удалось улучшить оценку задачи, то старая (низкая) оценка заменяется на новую (высокую).
* Предоставляется возможность поднять каждый из этих баллов, решив соответствующие части новых вариантов контрольных работ.
+
* Повторно ответить на теоретические вопросы по темам первой контрольной. Если суммарно за все ответы набрано больше баллов, чем было до этого, то старая (низкая) суммарная оценка заменяется на новую (высокую).
 +
* Повторно ответить на теоретические вопросы по темам второй контрольной. Если суммарно за все ответы набрано больше баллов, чем было до этого, то старая (низкая) суммарная оценка заменяется на новую (высокую).
  
 
= Дополнительные бонусы к экзамену и зачёту =
 
= Дополнительные бонусы к экзамену и зачёту =
Строка 155: Строка 153:
 
* Задача считается решённой, если не осталось неотвеченных вопросов по обоснованию всех шагов решения.
 
* Задача считается решённой, если не осталось неотвеченных вопросов по обоснованию всех шагов решения.
  
'''Бонусы за решение задач сформулированы для одной учебной группы''' и получаются внутри одной группы независимо от другой (например, "''первый''" трактуется как "''первый из группы 318, а также первый из группы 241, а также первый из группы 242''".
+
'''Бонусы за решение задач сформулированы для одной учебной группы''' и получаются внутри одной группы независимо от другой (например, "''первый''" трактуется как "''первый из группы 318, а также первый из группы 241, а также первый из группы 242''").
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
Строка 165: Строка 163:
 
|5
 
|5
 
|6
 
|6
 +
|7
 +
|8
 +
|9
 +
|10
 +
|11
 +
|12
 +
|13
 +
|14
 
|-
 
|-
 
|colspan=2|Сколько решений оценивается
 
|colspan=2|Сколько решений оценивается
Строка 173: Строка 179:
 
|3
 
|3
 
|2
 
|2
 +
|4
 +
|3
 +
|3
 +
|3
 +
|4
 +
|3
 +
|4
 +
|
 
|-
 
|-
 
|rowspan="3"|Сколько решений сдано в группе
 
|rowspan="3"|Сколько решений сдано в группе
 +
<!--
 
|241
 
|241
 
|0
 
|0
 +
|2
 
|1
 
|1
 +
|0
 +
|1
 +
|0
 +
|0
 +
|1
 +
|0
 +
|0
 
|0
 
|0
 
|0
 
|0
Строка 184: Строка 207:
 
|-
 
|-
 
|242
 
|242
 +
|0
 +
|0
 +
|0
 +
|0
 +
|0
 +
|0
 +
|0
 +
|1
 
|0
 
|0
 
|0
 
|0
Строка 191: Строка 222:
 
|0
 
|0
 
|-
 
|-
 +
-->
 
|318
 
|318
 +
|0
 +
|2
 +
|2
 +
|0
 
|0
 
|0
 
|1
 
|1
 +
|1<sup>*</sup>
 
|1
 
|1
 +
|2
 +
|0
 +
|0
 
|0
 
|0
 
|0
 
|0
 
|0
 
|0
 
|}
 
|}
 +
 +
<sup>*</sup> Правило удаления всеобщности
  
 
''Задачи будут появляться по мере проведения занятий''
 
''Задачи будут появляться по мере проведения занятий''
Строка 249: Строка 291:
 
* формулы исчисления - семантические таблицы логики предикатов;
 
* формулы исчисления - семантические таблицы логики предикатов;
 
* таблица выводима в исчислении тогда и только тогда, когда для неё существует успешный табличный вывод,
 
* таблица выводима в исчислении тогда и только тогда, когда для неё существует успешный табличный вывод,
* из доказательства для таблицы T можно, получить успешный табличный вывод для T, взяв некоторое неразмеченное дерево и доразметив вершины этого дерева таблицами из доказательства.
+
* из доказательства для таблицы T можно получить успешный табличный вывод для T, взяв некоторое неразмеченное дерево и доразметив вершины этого дерева таблицами из доказательства.
  
 
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение задачи
 
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение задачи
  
<!--
+
== (7) Корректность натурального исчисления ==
  
== Изоморфизм и элементарная эквивалентность интерпретаций ==
+
Выбрать одно из 4-х правил работы с кванторами в натуральном исчислении (введение/удаление существования/всеобщности) и обосновать корректность этого правила: если формулы над чертой общезначимы, то и формула под чертой общезначима (см. лекцию 12-13).
  
=== Описание задачи ===
+
Для каждого из правил принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одного правила.
 +
Бонус за решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
  
Доказать утверждение на слайде 24 лекции 10 о соотношении понятий изоморфизма и элементарной эквивалентности интерпретаций.
+
== (8) Теорема Гёделя о полноте ==
 +
 
 +
Доказать теорему Гёделя о полноте (см. лекцию 12-13).
  
 
Бонусы за решение задачи:
 
Бонусы за решение задачи:
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
+
* '''первый''' сдавший: <span style="background:#DDFFDD">+10 баллов</span>
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
+
* '''второй''' и '''третий''' сдавшие: <span style="background:#DDFFDD">+7 баллов</span>
  
=== Количество предоставленных решений ===
+
== (9) Свойства шкал Крипке ==
  
'''Группа 318:''' 1
+
Доказать утверждения о рефлексивности, транзитивности и симметричности шкал Крипке, сформулированные в разделе "Эпистемические логики" '''лекции 14'''  
  
== <s>Теорема Гёделя о неполноте</s> ==
+
Бонус за решение задачи:
 +
* '''первый''' сдавший: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
 +
* '''второй''' и '''третий''' сдавшие: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
  
=== Описание задачи ===
+
== (10) Задача о трёх мудрецах ==
  
Доказать теорему Гёделя о неполноте ('''лекция 10'''): либо адаптировать доказательство в лекции к общему случаю и доказать лемму о диагонали и утверждение об арифметизуемости графика, либо предоставить независимое доказательство.
+
Записать и пояснить ход рассуждений мудрецов в ''задаче о трёх мудрецах'' ('''лекция 14''') в терминах эпистемической логики.
  
Бонусы за решение задачи:
+
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''трём''' предоставившим решение.
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+14 баллов</span>
+
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+11 баллов</span>
+
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+8 баллов</span>
+
  
=== Количество предоставленных решений ===
+
== (11) Корректность логики Хоара ==
  
'''Группа 318:''' 3 (все баллы розданы)
+
Доказать корректность одного из правил логики Хоара ('''лекция 15, лемма о корректности правил'''), кроме правил для пустой команды и для присваивания.
  
== Арифметика Пресбургера и математическая индукция ==
+
Для каждого из правил принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одного правила.
 +
Бонус за решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
  
=== Описание задачи ===
+
== (12) Слабейшие предусловия ==
  
Указать все места в доказательстве разрешимости арифметики Пресбургера ('''лекция 11'''), в которых существенно используется наличие схемы аксиом индукции в этой арифметике, и объяснить способ использования.
+
Доказать теорему о слабейшем предусловии ('''лекция 15''').
  
 
Бонусы за решение задачи:
 
Бонусы за решение задачи:
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
+
* '''первый''' сдавший: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
+
* '''второй''' и '''третий''' сдавшие: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
+
  
=== Количество предоставленных решений ===
+
== (13) Законы темпоральных логик ==
  
'''Группа 318:''' 0
+
В '''лекции 16''' на слайде под заголовком "законы дистрибутивности" выбрать пару строк (1+2, 3+4, 5+6 или 7+8) и доказать либо опровергнуть равносильность в каждой из этих двух строк.
  
== <s>Определение экспоненты</s> ==
+
Для каждой пары строк принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одной пары строк.
 +
Бонус за решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
  
=== Описание задачи ===
+
== (14) Табличный алгоритм верификации для LTL ==
  
Предложить (с обоснованием) определение одноместной функции 2^x (два в степени икс) в арифметической интерпретации на целых неотрицательных числах с сигнатурой <{0}, {+, x, s}, {=}> (семинар 5, задача 1, пункт 19).
+
Ответить на существенную часть вопросов, сформулированных на последнем слайде последней лекции (17)
  
''Если в обосновании будут содержаться китайская теорема об остатках, малая теорема Ферма или что-либо другое нетривиальное, то обоснование этого - часть решения''
+
Бонус за решение задачи: '''обсуждается индивидуально'''.
  
Бонусы за решение задачи:
+
<!--
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+5 баллов</span>
+
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+4 балла</span>
+
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
+
  
=== Количество предоставленных решений ===
+
== Изоморфизм и элементарная эквивалентность интерпретаций ==
 
+
'''Группа 318:''' 3 (все баллы розданы)
+
 
+
== Теорема Гёделя о полноте ==
+
  
 
=== Описание задачи ===
 
=== Описание задачи ===
  
Доказать теорему Гёделя о полноте (см. '''лекцию 13''').
+
Доказать утверждение на слайде 24 лекции 10 о соотношении понятий изоморфизма и элементарной эквивалентности интерпретаций.
  
 
Бонусы за решение задачи:
 
Бонусы за решение задачи:
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+9 баллов</span>
+
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+6 баллов</span>
+
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+6 баллов</span>
+
  
 
=== Количество предоставленных решений ===
 
=== Количество предоставленных решений ===
Строка 331: Строка 368:
 
'''Группа 318:''' 1
 
'''Группа 318:''' 1
  
== Свойства шкал Крипке ==
+
== <s>Теорема Гёделя о неполноте</s> ==
  
 
=== Описание задачи ===
 
=== Описание задачи ===
  
Доказать утверждения о рефлексивности, транзитивности и симметричности шкал Крипке, сформулированные в разделе "Эпистемические логики" '''лекции 14'''  
+
Доказать теорему Гёделя о неполноте ('''лекция 10'''): либо адаптировать доказательство в лекции к общему случаю и доказать лемму о диагонали и утверждение об арифметизуемости графика, либо предоставить независимое доказательство.
  
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение.
+
Бонусы за решение задачи:
 +
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+14 баллов</span>
 +
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+11 баллов</span>
 +
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+8 баллов</span>
  
 
=== Количество предоставленных решений ===
 
=== Количество предоставленных решений ===
  
'''Группа 318:''' 1
+
'''Группа 318:''' 3 (все баллы розданы)
  
== <s>Задача о трёх мудрецах</s> ==
+
== Арифметика Пресбургера и математическая индукция ==
  
 
=== Описание задачи ===
 
=== Описание задачи ===
  
Записать и пояснить законы рассуждений и ход рассуждений мудрецов в ''задаче о трёх мудрецах'' ('''лекция 14''') в терминах эпистемической логики.
+
Указать все места в доказательстве разрешимости арифметики Пресбургера ('''лекция 11'''), в которых существенно используется наличие схемы аксиом индукции в этой арифметике, и объяснить способ использования.
 
+
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение.
+
 
+
=== Количество предоставленных решений ===
+
 
+
'''Группа 318:''' 2 (все баллы розданы)
+
 
+
== Корректность правил логики Хоара ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Доказать корректность одного из правил логики Хоара ('''лекция 15, лемма о корректности правил'''), кроме правила R0 для пустой команды.
+
 
+
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> каждому решившему.
+
 
+
Ограничения на приём решений:
+
* От каждого принимается обоснование корректности не более чем одного правила.
+
* Обоснование корректности каждого правила принимается не более одного раза (в группе).
+
 
+
=== Принятые правила ===
+
 
+
'''Группа 318:''' -
+
 
+
== Слабейшие предусловия ==
+
 
+
Доказать теорему о слабейшем предусловии ('''лекция 15''').
+
  
 
Бонусы за решение задачи:
 
Бонусы за решение задачи:
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 баллов</span>
+
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
 
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
 
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
 
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
 
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
Строка 384: Строка 398:
 
'''Группа 318:''' 0
 
'''Группа 318:''' 0
  
== Законы темпоральных логик ==
+
== <s>Определение экспоненты</s> ==
  
 
=== Описание задачи ===
 
=== Описание задачи ===
  
* Выбрать один темпоральный оператор логики линейного времени.
+
Предложить (с обоснованием) определение одноместной функции 2^x (два в степени икс) в арифметической интерпретации на целых неотрицательных числах с сигнатурой <{0}, {+, x, s}, {=}> (семинар 5, задача 1, пункт 19).
** Если выбран оператор U, то также выбрать ''право'' или ''лево''.
+
* Доказать или опровергнуть два закона дистрибутивности, сформулированные для выбранного оператора в '''лекции 16'''.
+
** Если выбран оператор U, то это два закона дистрибутивности для ''правого'' или ''левого'' аргумента, в зависимости от сделанного выбора.
+
  
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> '''каждому''' предоставившему решение.
+
''Если в обосновании будут содержаться китайская теорема об остатках, малая теорема Ферма или что-либо другое нетривиальное, то обоснование этого - часть решения''
  
Ограничения на приём решений:
+
Бонусы за решение задачи:
* От каждого принимается обоснование/опровержение не более чем одной пары законов.
+
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+5 баллов</span>
* Обоснование/опровержение каждой пары законов принимается не более одного раза (в группе).
+
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+4 балла</span>
 +
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
  
=== Операторы, для которых решения уже предоставлены ===
+
=== Количество предоставленных решений ===
 
+
'''Группа 318:''' -
+
 
+
== Табличный алгоритм верификации для LTL ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Ответить на существенную часть вопросов, сформулированных на последнем слайде '''лекции 17''' 
+
 
+
Бонус за решение задачи: '''обсуждается индивидуально'''.
+
  
 +
'''Группа 318:''' 3 (все баллы розданы)
  
 
== Полнота семантической резолюции ==
 
== Полнота семантической резолюции ==
Строка 454: Строка 457:
  
 
= Программа курса =
 
= Программа курса =
 
''Программа будет уточняться по мере проведения занятий''
 
  
 
== Классические логики ==
 
== Классические логики ==
Строка 482: Строка 483:
 
</ol>
 
</ol>
  
== Аксиоматические теории и исчисления ==
+
== Логические исчисления ==
 
<ol start="18">
 
<ol start="18">
<li> Аксиомы, теоремы и теории. Выполнимость, противоречивость и общезначимость формул в теории. Проблема общезначимости формул логики предикатов в теории.
+
<li> Логические исчисления. Исчисления высказываний и исчисления предикатов. Доказуемость (выводимость) формул.
<li> Основные свойства интерпретаций: непротиворечивость, полнота, разрешимость, адекватность интерпретациям.
+
<li> Натуральное исчисление высказываний. Корректность и полнота исчисления.
<li> Формальная арифметика. Арифметика Пеано. Теорема Гёделя о неполноте.
+
<li> Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления.
<li> Выразимость символов сигнатуры в интерпретациях. Теорема о расширении теории. Теорема о подстановке определения.
+
<li> Арифметика Пресбургера.
+
<li> Логические исчисления. Исчисления предикатов. Доказуемость (выводимость) формул.
+
<li> Исчисление высказываний гильбертовского типа. Корректность и полнота исчисления.
+
 
<li> Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте.
 
<li> Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте.
<li> Натуральное исчисление высказываний. Корректность и полнота исчисления.
 
<li> Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления. Натуральный вывод формул.
 
 
</ol>
 
</ol>
  
 
== Неклассические прикладные логики ==
 
== Неклассические прикладные логики ==
<ol start="28">
+
<ol start="22">
 
<li> Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
 
<li> Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
<li> Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Корректность и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Теорема корректности вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
+
<li> Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Корректность и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Корректность вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
 
<li> Верификация распределённых систем. Логика линейного времени: синтаксис, семантика. Основные равносильности в логике линейного времени. Применение темпоральных логик для спецификации поведения распределённых систем.
 
<li> Верификация распределённых систем. Логика линейного времени: синтаксис, семантика. Основные равносильности в логике линейного времени. Применение темпоральных логик для спецификации поведения распределённых систем.
 
<li> Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Семантика чередующихся вычислений. Задача верификации (проверки моделей; model checking) для логики линейного времени.
 
<li> Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Семантика чередующихся вычислений. Задача верификации (проверки моделей; model checking) для логики линейного времени.
 
<li> Табличный алгоритм верификации для логики линейного времени. Упрощение формул. Замыкание Фишера-Ладнера. Согласованные предположения. Система Хинтикки. Сведение задачи верификации к графовым задачам.
 
<li> Табличный алгоритм верификации для логики линейного времени. Упрощение формул. Замыкание Фишера-Ладнера. Согласованные предположения. Система Хинтикки. Сведение задачи верификации к графовым задачам.
 
</ol>
 
</ol>
 
<!--
 
 
== Аксиоматические теории первого порядка ==
 
<ol start="21">
 
<li> Аксиомы. Аксиоматическая теория первого порядка: определение; выполнимость, общезначимость и противоречивость формул в теории. Проблемы общезначимости и выполнимости формул логики предикатов в теории.
 
<li> Основные свойства теорий: непротиворечивость, разрешимость, категоричность, полнота. Изоморфизм и элементарная эквивалентность интерпретаций. Связь изоморфизма интерпретаций, элементарной эквивалентности интерпретаций и полноты теорий.
 
<li> Теория частичных порядков. Теория равенства: непротиворечивость, разрешимость, некатегоричность.
 
<li> Исчисление предикатов: схемы аксиом, правило modus ponens, правило обобщения, логический вывод. Теорема Гёделя о полноте. Аксиоматические теории и исчисления.
 
<li> Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте. Нумерации Гёделя. Арифметизуемые отношения.
 
<li> Арифметика Пресбургера: непротиворечивость, разрешимость, полнота.
 
<li> Бескванторные теории первого порядка. Теории с равенством. Преимущества проблемы выполнимости формул в теории перед проблемой общезначимости.
 
<li> Теория равенства с неинтерпретируемыми функциями, разрешимость теории: сведение проблемы выполнимости в теории к проблеме выполнимости булевых формул.
 
<li> Линейная арифметика. Виды линейных арифметик. NP-полнота линейной целочисленной арифметики.
 
<li> Комбинация решающих алгоритмов для проблем выполнимости формул в теориях и в логике высказываний. Остовная проверка выполнимости формул в теориях. Интеграция алгоритмов проверки выполнимости формул в теориях в алгоритм DPLL.
 
</ol>
 
 
== Аксиоматическая теория множеств ==
 
<ol start="31">
 
<li> Наивная теория множеств. Сравнение мощностей множеств. Кардинальные числа в наивной теории множеств.
 
<li> Теорема Кантора. Теорема об объединении множества, неограниченного по мощности. Теорема Кантора-Бернштейна.
 
<li> Примеры кардинальных чисел. Конечность множеств мощности меньше счётной. Континуум-гипотеза в наивной теории множеств.
 
<li> Выразительные возможности наивной теории множеств: натуральные числа, кортежи, функции. Парадоксы теории множеств.
 
<li> Аксиоматические теории множеств. Теория Цермело-Френкеля: аксиомы и схемы аксиом, доказательство существования основных множеств наивной теории, исключение основных парадоксов теории множеств. Вопросы непротиворечивости теории Цермело-Френкеля.
 
<li> Определимость функций и отношений в теории. Применение определений для расширения теории.
 
<li> Аксиома выбора. Непротиворечивость теорий Цермело-Френкеля с аксиомой выбора и её отрицанием.
 
<li> Ординальные числа. Основные свойства ординальных чисел. Арифметика ординальных чисел.
 
<li> Теорема Цермело. Кардинальные числа в теории Цермело-Френкеля с аксиомой выбора.
 
<li> Континуум-гипотеза в теории Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. Непротиворечивость теорий Цермело-Френкеля с аксиомой выбора и континуум-гипотезой, её отрицанием.
 
</ol>
 
 
== Неклассические прикладные логики ==
 
<ol start="41">
 
<li> Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики.
 
<li> Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Корректность и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Теорема корректности вывода в логике Хоара.
 
<li> Верификация распределённых систем. Логика линейного времени: синтаксис, семантика. Основные равносильности в логике линейного времени. Применение темпоральных логик для спецификации поведения распределённых систем.
 
<li> Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Семантика чередующихся вычислений. Задача проверки выполнимости формул логики линейного времени на размеченных системах переходов.
 
<li> Позитивная форма формул логики линейного времени. Замыкание Фишера-Ладнера. Согласованные множества формул. Системы Хинтикки. Табличный метод проверки выполнимости формул логики линейного времени на размеченных системах переходов.
 
</ol>
 
 
-->
 
  
 
= Рекомендованная литература =
 
= Рекомендованная литература =

Текущая версия на 01:01, 3 июля 2020

Обязательный курс для студентов 318 группы 6 семестра обучения, а также для студентов 241 и 242 групп (Математическая логика и теория алгоритмов). Курс читает В. В. Подымов.

Объявления

В этом разделе будут выкладываться объявления о текущих изменениях в курсе и на странице курса

  • 2020.07.03 01:00 Обновлена информация о принятых решениях бонусных задач
  • 2020.05.24 19:09 Появилась последняя бонусная задача (14)
  • 2020.05.24 19:04 Выложены слайды последней лекции (17)
  • 2020.05.08 11:46 Обновлены правила проведения экзамена и зачёта
  • 2020.05.03 22:05 Обновлены материалы семинара 5
  • 2020.04.17 15:50 Статистика предоставленных решений бонусных задач переехала из подразделов 6.1, 6.2, ... в единую таблицу в разделе 6
  • 2020.02.10 13:05 Страница подготовлена к началу весеннего семестра 2019/2020 учебного года

Содержание

Слайды лекций

Слайды будут выкладываться по мере проведения занятий

Лекция 1 (вводная). Что такое логика? Содержание лекций. История логики. Логические парадоксы.

Лекция 2. Логика высказываний: синтаксис, семантика, выполнимость, общезначимость. Метод семантических таблиц в логике высказываний.

Лекция 3. Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).

Лекции 4 и 5 (рассказывал В. А. Захаров; желающие могут посмотреть то же самое другими словами от В. В. Подымова). Выполнимые и общезначимые формулы. Модели. Логическое следствие. Проблема общезначимости формул. Подстановки. Метод семантических таблиц в логике предикатов. Корректность табличного вывода.

Лекция 6. Полнота табличного вывода в логике предикатов. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.

Лекция 7. Общая схема метода резолюций. Предварённая нормальная форма. Сколемовская стандартная форма. Системы дизъюнктов. Задача унификации.

Лекция 8. Алгоритм унификации атомарных формул. Теорема об унификации.

Лекция 9. Резолютивный вывод. Корректность резолютивного вывода. Применение метода резолюций. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.

Лекция 10. Полнота резолютивного вывода. Задачи и проблемы. Алгоритмы. Разрешимость. M-сводимость.

Лекция 11. Машины Тьюринга. Теорема Чёрча. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.

Лекция 12-13. Натуральное исчисление высказываний. Натуральное исчисление предикатов. Исчисление предикатов гильбертовского типа.

Лекция 14. Модальные логики. Эпистемические логики. Темпоральные логики.

Лекция 15. Формальная верификация программ. Императивные программы. Корректность императивных программ. Логика Хоара. Автоматизация проверки правильности программ.

Лекция 16. Верификация распределённых систем. Логика линейного времени (LTL). Размеченные системы переходов. Задача верификации (model checking) для LTL.

Лекция 17. Табличный алгоритм верификации для LTL. Замыкание Фишера-Ладнера. Системы Хинтикки.

Временный архив слайдов: 2018-2019 учебный год

Лекция 12. Логические исчисления. Исчисление высказываний гильбертовского типа. Корректность и полнота исчисления высказываний.

Лекция 13. Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте (формулировка). Натуральное исчисление высказываний, его корректность и полнота. Натуральное исчисление предикатов, его корректность и полнота. Натуральный вывод формул.

Временный архив слайдов: 2017-2018 учебный год

Лекция 11-12. Аксиоматические теории. Основные свойства теорий. Формальная арифметика. Арифметика Пеано. Теорема Гёделя о неполноте. Определимость. Арифметика Пресбургера.

Лекция 14-15. Модальные логики. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени (LTL). Логика деревьев вычислений (CTL). Верификация распределённых систем. Задача верификации для LTL. Табличный алгоритм верификации для LTL.

Временный архив слайдов: 2016-2017 учебный год

16-17.

Семинары

Материалы семинаров будут обновляться по мере проведения занятий

Семинары 1-4 проводятся по этому сборнику задач.

Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к расширенному сборнику задач

Материалы семинара 5 (натуральное исчисление).

Контрольная работа

Формат проведения и длительность контрольной работы: письменно, 95 минут.

В рамках контрольной работы требуется решить

  • три задачи:
    • построить формулу логики предикатов, адекватно описывающую высказывание, записанное на естественном языке;
    • доказать общезначимость формулы логики предикатов, используя метод семантических таблиц
      • (правила табличного вывода будут выданы вместе с заданием контрольной);
    • доказать общезначимость формулы логики предикатов, используя метод резолюций;
  • девять теоретических вопросов, проверяющих знание материала, изложенного в лекциях вплоть до конца обсуждения метода резолюций.

Контрольная работа оценивается по шкале от 0 до 15 баллов. Итоговые баллы за работу - это сумма баллов за задачи и теоретические вопросы.

Правильно решённая задача оценивается в 2 балла. Задача, решённая с ошибками, может быть оценена числом баллов от 0 до 2 в зависимости от качества и количества ошибок.

Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в 1 балл. В каждом теоретическом вопросе предлагается несколько вариантов ответа. Среди этих ответов может быть один, ни одного или несколько правильных. Для правильного решения теоретического вопроса следует отметить все правильные ответы и только их. Обоснование того, почему выбраны или не выбраны те или иные ответы, не требуется.

Группы 241, 242: баллы, набранные за контрольную работу, суммируются с другими баллами, требуемыми для получения зачёта.

Группа 318: по результатам контрольной работы определяется бонус или штраф, суммирующийся с баллами за экзаменационную работу:

  • набрано хотя бы 14 баллов: бонус +3 балла;
  • набрано хотя бы 12, но менее 14 баллов: бонус +2 балла;
  • набрано хотя бы 10, но менее 12 баллов: бонус +1 балл;
  • набрано хотя бы 8, но менее 10 баллов: бонус +0 баллов;
  • набрано хотя бы 6, но менее 8 баллов: штраф -1 балл;
  • набрано хотя бы 4, но менее 6 баллов: штраф -2 балла;
  • набрано менее 4 баллов: штраф -3 балла;
  • контрольная работа пропущена по неуважительной причине: штраф -3 балла;
  • контрольная работа пропущена по уважительной причине: бонус +0 баллов.

Экзамен

Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.

Экзаменационная работа оценивается по шкале от 0 до 27 баллов (промежуточные баллы). Итоговые баллы за экзаменационную работу - это сумма промежуточных баллов, бонусов и штрафов по итогам контрольной работы, а также других бонусов, если удалось их получить. В зависимости от полученных итоговых баллов за экзаменационную работу выставляется оценка за экзамен:

  • набрано хотя бы 22 балла: отлично;
  • набрано хотя бы 16, но менее 22 баллов: хорошо;
  • набрано хотя бы 10, но менее 16 баллов: удовлетворительно;
  • набрано менее 10 баллов: неудовлетворительно.

Промежуточные баллы складываются из баллов, полученных за решение каждой задачи в работе. Описание задач и оценки за их безошибочное решение:

  • Задача 1 (3 балла): предложить формулу логики предикатов, адекватно описывающую заданное утверждение, записанное на естественном языке.
  • Задача 2 (3 балла): проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
  • Задача 3 (3 балла): проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
  • Задача 4 (3 балла): предложить доказательство общезначимости формулы логики предикатов в натуральном исчислении.
  • Задачи 5-7 (2 балла за каждую) состоят из двух частей: а) сформулировать теорему или определение, рассказанные в лекциях; б) ответить на вопрос, так или иначе связанный с первой частью, без пояснений (как правило - "да" или "нет", либо привести какой-либо пример).
  • Задачи 8-10 (3 балла за каждую): из предложенных вариантов ответа на заданный вопрос выбрать правильные (один, несколько или ни одного), правильность каждого выбранного ответа обосновать (невыбранные ответы обосновывать не нужно).

Зачёт

После завершения лекций будет проведена вторая контрольная работа. Эта работа будет содержать

  • Одну задачу: предложить доказательство общезначимости формулы логики предикатов в натуральном исчислении. Задача оценивается в 2 балла.
  • Пять теоретических вопросов того же устройства, что и на первой контрольной работе, но по темам лекций, не вошедшим в первую контрольную. Каждый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.

Для получения зачёта необходимо набрать не менее 14 баллов по итогам двух контрольных работ и сдачи других

На каждой попытке зачёта имеется возможность повысить набранные баллы:

  • Повторно решить любую задачу. Если удалось улучшить оценку задачи, то старая (низкая) оценка заменяется на новую (высокую).
  • Повторно ответить на теоретические вопросы по темам первой контрольной. Если суммарно за все ответы набрано больше баллов, чем было до этого, то старая (низкая) суммарная оценка заменяется на новую (высокую).
  • Повторно ответить на теоретические вопросы по темам второй контрольной. Если суммарно за все ответы набрано больше баллов, чем было до этого, то старая (низкая) суммарная оценка заменяется на новую (высокую).

Дополнительные бонусы к экзамену и зачёту

Общие условия сдачи решений задач на дополнительные бонусы:

  • По умолчанию решения сдаются лично устно. Другие варианты (например, письменное решение на бумаге или по почте) следует обсудить в индивидуальном порядке.
  • При подготовке к сдаче и во время сдачи решений можно пользоваться любыми материалами.
  • При сдаче проверяется понимание каждой детали решения задачи - следует быть к этому готовым.
  • Задача считается решённой, если не осталось неотвеченных вопросов по обоснованию всех шагов решения.

Бонусы за решение задач сформулированы для одной учебной группы и получаются внутри одной группы независимо от другой (например, "первый" трактуется как "первый из группы 318, а также первый из группы 241, а также первый из группы 242").

Номер задачи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Сколько решений оценивается 3 2 2 3 3 2 4 3 3 3 4 3 4
Сколько решений сдано в группе 318 0 2 2 0 0 1 1* 1 2 0 0 0 0 0

* Правило удаления всеобщности

Задачи будут появляться по мере проведения занятий

(1) Полнота табличного вывода в логике предикатов

Адаптировать доказательство теоремы о полноте табличного вывода в логике предикатов к более общему случаю:

  • сигнатура алфавита состоит из
    • не более чем счётно-бесконечного числа констант,
    • не более чем счётно-бесконечного числа функциональных символов каждой местности,
    • не более чем счётно-бесконечного числа предикатных символов каждой местности;
  • формулы исходной таблицы могут содержать свободные переменные;
  • исходная таблица содержит не более чем счётно-бесконечное число формул.

Бонусы за решение задачи:

  • первый сдавший: +3 балла
  • второй и третий сдавшие: +2 балла

(2) Утверждения об отношении равносильности

Обосновать три утверждения об отношении равносильности в лекции 6, помеченные словом "Самостоятельно" рядом со словом "Доказательство".

Бонус за решение задачи: +2 балла первым двум предоставившим решение задачи

(3) Фундированность троек чисел

Доказать фундированность троек неотрицательных целых чисел относительно лексикографического порядка (лемма в лекции 8, сформулированная в рамках доказательства завершаемости алгоритма унификации, обоснование которой помечено словами "Попробуйте сами").

Бонус за решение задачи: +2 балла первым двум предоставившим решение задачи

(4) Стратегия построения резолютивного вывода

Сформулировать (с обоснованием) список правил, которых достаточно придерживаться, чтобы в резолютивном выводе, строящемся произвольно в рамках этих правил для противоречивой системы дизъюнктов, рано или поздно появился пустой дизъюнкт.

Бонусы за решение задачи:

  • первый сдавший: +3 балла
  • второй и третий сдавшие: +2 балла

(5) Вычислительные возможности метода резолюций

Сформулировать и обосновать утверждение, дающее ответ на вопрос, поставленный в конце "заключительного примера для метода резолюций" лекции 10.

Бонусы за решение задачи:

  • первый сдавший: +3 балла
  • второй и третий сдавшие: +2 балла

(6) Исчисление семантических таблиц

Определить аксиомы и правила вывода логического исчисления со следующими свойствами:

  • формулы исчисления - семантические таблицы логики предикатов;
  • таблица выводима в исчислении тогда и только тогда, когда для неё существует успешный табличный вывод,
  • из доказательства для таблицы T можно получить успешный табличный вывод для T, взяв некоторое неразмеченное дерево и доразметив вершины этого дерева таблицами из доказательства.

Бонус за решение задачи: +2 балла первым двум предоставившим решение задачи

(7) Корректность натурального исчисления

Выбрать одно из 4-х правил работы с кванторами в натуральном исчислении (введение/удаление существования/всеобщности) и обосновать корректность этого правила: если формулы над чертой общезначимы, то и формула под чертой общезначима (см. лекцию 12-13).

Для каждого из правил принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одного правила. Бонус за решение: +1 балл

(8) Теорема Гёделя о полноте

Доказать теорему Гёделя о полноте (см. лекцию 12-13).

Бонусы за решение задачи:

  • первый сдавший: +10 баллов
  • второй и третий сдавшие: +7 баллов

(9) Свойства шкал Крипке

Доказать утверждения о рефлексивности, транзитивности и симметричности шкал Крипке, сформулированные в разделе "Эпистемические логики" лекции 14

Бонус за решение задачи:

  • первый сдавший: +3 балла
  • второй и третий сдавшие: +2 балла

(10) Задача о трёх мудрецах

Записать и пояснить ход рассуждений мудрецов в задаче о трёх мудрецах (лекция 14) в терминах эпистемической логики.

Бонус за решение задачи: +2 балла первым трём предоставившим решение.

(11) Корректность логики Хоара

Доказать корректность одного из правил логики Хоара (лекция 15, лемма о корректности правил), кроме правил для пустой команды и для присваивания.

Для каждого из правил принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одного правила. Бонус за решение: +2 балла

(12) Слабейшие предусловия

Доказать теорему о слабейшем предусловии (лекция 15).

Бонусы за решение задачи:

  • первый сдавший: +3 балла
  • второй и третий сдавшие: +2 балла

(13) Законы темпоральных логик

В лекции 16 на слайде под заголовком "законы дистрибутивности" выбрать пару строк (1+2, 3+4, 5+6 или 7+8) и доказать либо опровергнуть равносильность в каждой из этих двух строк.

Для каждой пары строк принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одной пары строк. Бонус за решение: +1 балл

(14) Табличный алгоритм верификации для LTL

Ответить на существенную часть вопросов, сформулированных на последнем слайде последней лекции (17)

Бонус за решение задачи: обсуждается индивидуально.


Программа курса

Классические логики

  1. Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость, невыполнимость, общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
  2. Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
  3. Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
  4. Выполнимость, общезначимость и противоречивость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
  5. Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
  6. Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теоремы о корректности и полноте табличного вывода.
  7. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Теорема Чёрча.
  8. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.

Метод резолюций в логике предикатов

  1. Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
  2. Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
  3. Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме противоречивости систем дизъюнктов.
  4. Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
  5. Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
  6. Правило резолюции. Правило склейки. Резолютивный вывод. Теорема о корректности резолютивного вывода.
  7. Эрбрановский универсум. Эрбрановский базис. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.
  8. Лемма об основных дизъюнктах. Лемма о подъёме. Теорема о полноте резолютивного вывода.
  9. Метод резолюций: общая схема, применение.

Логические исчисления

  1. Логические исчисления. Исчисления высказываний и исчисления предикатов. Доказуемость (выводимость) формул.
  2. Натуральное исчисление высказываний. Корректность и полнота исчисления.
  3. Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления.
  4. Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте.

Неклассические прикладные логики

  1. Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
  2. Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Корректность и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Корректность вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
  3. Верификация распределённых систем. Логика линейного времени: синтаксис, семантика. Основные равносильности в логике линейного времени. Применение темпоральных логик для спецификации поведения распределённых систем.
  4. Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Семантика чередующихся вычислений. Задача верификации (проверки моделей; model checking) для логики линейного времени.
  5. Табличный алгоритм верификации для логики линейного времени. Упрощение формул. Замыкание Фишера-Ладнера. Согласованные предположения. Система Хинтикки. Сведение задачи верификации к графовым задачам.

Рекомендованная литература

Основная литература

  1. Клини С. Математическая логика. М.:Мир, 1973, 480 с.
  2. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.:Мир, 1983. 360 с.
  3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. Москва, "Физико-математическая литература", 1995 г., 250 с.
  4. Метакидес Г., Нероуд А., Принципы логики и логического программирования. Москва, "Факториал", 1998, 288 с.
  5. Братко И. Программирование на Прологе для искусственного интеллекта. М.:Мир, 1990, 560 с.
  6. Набебин А.А. Логика и Пролог в дискретной математике. М., Изд-во МЭИ, 1997.
  7. Кларк Э.М., Грамберг О., Пелед Д. Верификация моделей программ: model checking. Изд-во МЦНМО, Москва, 2002, 405 с.

Дополнительная литература

  1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.:Наука, 1984. 319 с.
  2. Верещагин Н.К., Шень А. Языки и исчисления. 2004.
  3. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2004. 128 с.
  4. Лавров И.А. Математическая логика. Учебное пособие для вузов. М.: Академия, 2006.
  5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Серия "Классический университетский учебник". Изд.3, 2006, 240 с.
  6. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика - М.: 1979.
  7. Непейвода Н. Н. Прикладная логика. Новосибирск. 2000 г.
  8. Хоггер К., Введение в логическое программирование. М.:Мир, 1988. 348 с.
  9. Клоксин У., Меллиш К. Программирование на языке Пролог. М.:Мир, 1987. 336 с.
  10. Кларк К.Л., Маккейб Ф.Г. Микро-Пролог: введение в логическое программирование. Москва, "Радио и связь". 1987, 311 с.
  11. Стерлинг Л., Шапиро Э., Искусство программирования на языке ПРОЛОГ. Москва, "Мир", 1990, 235 с.
  12. Ковальский Р. Логика в решении проблем. М.: Наука, 1990. 277 с.
  13. Логический подход к искусственному интеллекту (от модальной логики к логике баз данных). М.:Мир, 1998. 495 с.