Текущая версия на 13:28, 23 апреля 2024

Актуальность информации: весенний семестр 2023/2024 учебного года.

Обязательный курс для студентов групп 318 и 319/2, а также 241 и 242 (Математическая логика и теория алгоритмов). Курс читает В. В. Подымов.

Содержание

1 Слайды лекций
- 1.1 Прошлогодние слайды
2 Семинары
3 Контрольные работы
4 Зачёт
5 Экзамен
- 5.1 Контрольная работа для экзамена
6 Премиальные задачи
7 Программа курса
8 Рекомендованная литература
- 8.1 Основная литература
- 8.2 Дополнительная литература

Слайды лекций

Блок 1 (вводный). Что такое логика. Несколько логических парадоксов. Чего ожидать в курсе.

Блок 2. Логика высказываний: синтаксис, семантика.

Блок 3. Логика предикатов: синтаксис, семантика.

Блок 4. Как формализовать предложение на языке логики предикатов (пример).

Блок 5. Логика высказываний: выполнимые и общезначимые формулы.

Блок 6. Логика предикатов: выполнимые и общезначимые формулы; модели формул; логическое следствие; проблема общезначимости формул (постановка).

Блок 7. Логика предикатов: можно ли проверить общезначимость формулы "в лоб"?

Блок 8. Метод семантических таблиц: семантические таблицы.

Блок 9. Подстановки (основные определения).

Блок 10. Метод семантических таблиц: табличный вывод.

Блок 11. Метод семантических таблиц: корректность табличного вывода.

Блок 12. Метод семантических таблиц: полнота табличного вывода.

Блок 13. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Автоматизация доказательства теорем.

Блок 14. Общая схема метода резолюций.

Блок 15. Равносильность формул.

Блок 16. Предварённая нормальная форма (ПНФ).

Блок 17. Сколемовская стандартная форма (ССФ).

Блок 18. Системы дизъюнктов.

Блок 19. Композиция подстановок. Постановка задачи унификации.

Блок 20. Алгоритм унификации атомарных формул.

Блок 21. Монотонность и транзитивность отношения логического следования.

Блок 22. Резолютивный вывод. Корректность резолютивного вывода.

Блок 23. Обоснование общезначимости формулы методом резолюций (пример).

Блок 24. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях.

Блок 25. Теорема Эрбрана. Полнота резолютивного вывода.

Блок 26. Даша, Саша, Паша, пиво и метод семантических таблиц с методом резолюций.

Блок 27. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.

Блок 28. Натуральное исчисление высказываний: основные определения.

Блок 29. Натуральное исчисление высказываний: правило монотонности, закон исключённого третьего, корректность.

Блок 30. Натуральное исчисление высказываний: правило сечения, правило полного перебора, правило приведения к абсурду, полнота.

Блок 31. Натуральное исчисление предикатов: основные определения, корректность.

Блок 32. Гильбертовское исчисление предикатов. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).

Блок 33. Натуральное исчисление предикатов: полнота.

Блок 34. Задачи и проблемы. Алгоритмы. Разрешимость. M-сводимость.

Блок 35. Машины Тьюринга (МТ).

Блок 36. Теорема Чёрча.

Блок 37. Аксиоматические теории первого порядка. Проблема общезначимости формул в теории.

Блок 38. Основные свойства аксиоматических теорий.

Блок 39. Арифметические интерпретации и теории.

Блок 40. Определения и выразимость.

Блок 41. Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте.

Блок 42. Арифметика Пресбургера.

Блок 43. Модальные логики.

Слайды будут появляться по мере чтения лекций.

Прошлогодние слайды

Блок 44. Эпистемические логики.

Блок 45. Темпоральные логики.

Блок 46. Интуиционистская логика.

Блок 47. Формальная верификация.

Блок 48. Модельные императивные программы. Постановка задачи верификации программ.

Блок 49. Логика Хоара. Автоматизация проверки правильности программ.

Блок 50. Проверка правильности распределённых систем. Пара слов о методе model checking.

Блок 51. Размеченные системы переходов.

Блок 52. Спецификация систем при помощи темпоральных логик.

Блок 53. Алгоритм model checking для CTL.

Семинары

Материалы семинаров будут обновляться по мере проведения занятий

Семинары 1-4 проводятся по этому сборнику задач.

Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к расширенному сборнику задач

Материалы семинара 5-6 (натуральное исчисление).

Контрольные работы

Контрольные работы проводятся письменно, длительность каждой - 90 минут.

В контрольных работах встретятся 4 типовые задачи со следующими темами:

Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.

Оценка решений типовых задач:

Максимальная оценка - 4 балла.
Если решение в целом верно, но содержит редкие ошибки серьёзнее опечаток, то оно оценивается в 3 балла.
Если решение содержит серьёзные ошибки, но имеет структуру, в целом разумно соотносящуюся с правильной, то задача оценивается в 2 балла.
Если в решении обнаружены правильные элементы, в заметном, но всё же малом количестве, то задача оценивается в 1 балл.

Теоретические вопросы даются в форме теста с множественным выбором: из предложенных вариантов ответа требуется выбрать правильные (один, несколько или ни одного), обоснование не требуется. Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.

Первая контрольная работа будет содержать

3 типовые задачи по темам 1-3 и
9 теоретических вопросов по прочитанным лекциям.

Вторая контрольная работа будет содержать

4 типовые задачи по всем темам и
5 теоретических вопросов по лекциям, не попавшим в первую контрольную работу.

Остальные контрольные работы будут содержать

4 типовые задачи по всем темам и
14 теоретических вопросов по всем лекциям.

Зачёт

На зачёте оцениваются результаты, относящиеся к решению типовых задач, знанию теории и работе в семестре. При проставлении зачёта учитывается 6 технических оценок:

Четыре оценки за типовые задачи, по одной за каждую задачу.
Оценка за знание теории. Максимум - 14 баллов.
Оценка за решение премиальных задач.

Для получения зачёта требуется получить два результата:

Набрать хотя бы 11 баллов за типовые задачи.
Набрать хотя бы 20 баллов суммарно за всё (типовые задачи, теория, премиальные задачи).

Баллы за типовые задачи и за теорию набираются на контрольных работах.

Для решения каждой типовой задачи будет предложено несколько попыток. При проставлении зачёта учитывается максимальная оценка за задачу среди всех попыток её решить.

При проставлении зачёта учитывается максимальная оценка за теорию среди полученных

суммарно за первые две контрольные работы и
за каждую из следующих контрольных работ.

Экзамен

Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.

Экзаменационная работа содержит 10 задач и оценивается по шкале от 0 до 37 технических баллов. К этим техническим баллам прибавляются баллы за выполнение премиальных задач и поощрение/штраф за контрольную работу. Согласно набранной сумме технических баллов выставляется оценка:

хотя бы 30: отлично;
хотя бы 23, но менее 30: хорошо;
хотя бы 16, но менее 23: удовлетворительно;
менее 16: неудовлетворительно.

Баллы за экзаменационную работу складываются из баллов за каждую задачу, предложенную в работе:

Каждая из задач 1-4 оценивается в 4 балла. Темы задач:
1. Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
2. Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
3. Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
4. Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.
Каждая из задач 5-7 оценивается в 3 балла и состоит из трёх частей:
1. Сформулировать утверждение, определение и т.п.
2. Ответить на вопрос "на понимание", так или иначе связанный с формулировкой.
3. Аргументировать (обосновать) ответ на вопрос.
Каждая из задач 8-10 оценивается в 4 балла и устроена так:
- Из нескольких предложенных вариантов ответа выбрать правильные (один, несколько или ни одного) и обосновать выбранные ответы.
- Невыбранные ответы обосновывать не нужно.

Контрольная работа для экзамена

На оценку за экзамен влияет первая контрольная работа. Максимальная техническая оценка за эту работу - 21 балл. В зависимости от технических баллов, набранных за первую контрольную работу, определяется поощрение или штраф к техническим баллам за экзамен:

Набрано хотя бы 19 баллов: бонус +3 балла;
Набрано хотя бы 16, но менее 19 баллов: бонус +2 балла;
Набрано хотя бы 13, но менее 16 баллов: бонус +1 балл;
Набрано хотя бы 10, но менее 13 баллов: 0 баллов;
Набрано хотя бы 7, но менее 10 баллов: штраф -1 балл;
Набрано хотя бы 4, но менее 7 баллов: штраф -2 балла;
Набрано менее 4 баллов: штраф -3 балла;
Неявка без уважительной причины: штраф -3 балла;
Неявка по уважительной причине: 0 баллов.

Премиальные задачи

Общие условия сдачи решений премиальных задач:

Можно как прислать письменное решение, так и обсудить решение устно. Если прислано письменное решение и к нему есть вопросы, то для ответов на эти вопросы может потребоваться дополнительное устное обсуждение.
При подготовке решения и во время его сдачи можно пользоваться любыми материалами.
При сдаче может быть проверено понимание каждой детали предложенного решения - следует быть к этому готовым.
Решение принимается, когда по нему не остаётся неотвеченных вопросов.

Бонусы за решение задач формулируются для одной учебной группы и распределяются внутри одной группы независимо от другой. Например, "первый" трактуется как "первый в группе 318, а также первый в группе 319/2, а также ...".

Условия задач и статистика принятых решений будут обновляться и доводиться до слушателей по мере чтения курса.

Программа курса

Программа будет обновляться согласно фактически прочитанному материалу

Классические логики

Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость и общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теоремы о корректности и полноте табличного вывода.
Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева.
Машины Тьюринга. Теорема Чёрча.
Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.

Метод резолюций в логике предикатов

Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме невыполнимости систем дизъюнктов.
Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
Правило резолюции. Правило склейки. Резолютивный вывод. Теорема о корректности резолютивного вывода.
Эрбрановский универсум. Эрбрановский базис. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.
Лемма об основных дизъюнктах. Лемма о подъёме. Теорема о полноте резолютивного вывода.
Метод резолюций: общая схема, применение.

Логические исчисления

Логические исчисления. Исчисления высказываний и исчисления предикатов. Выводимость и доказуемость формул.
Натуральное исчисление высказываний. Правило монотонности. Закон исключённого третьего. Правило сечения. Правило полного перебора. Правило приведения к абсурду. Корректность и полнота исчисления.
Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления.
Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).

Аксиоматические теории

Аксиоматические теории первого порядка: основные определения, проблема общезначимости формул в теории.
Основные свойства аксиоматических теорий: непротиворечивость, элементарность, полнота, разрешимость.
Определения и выразимость в интерпретациях. Теорема о подстановке определения.
Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте (формулировка и схема доказательства).
Арифметика Пресбургера, её разрешимость и выразительность.

Неклассические прикладные логики

Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
Интуиционистская логика.
Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Полная и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Корректность вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Логика деревьев вычислений (CTL): синтаксис, семантика, основные равносильности, применение для спецификации поведения распределённых систем. Задача проверки моделей (model checking) относительно CTL: формулировка, решающий алгоритм.

Математическая логика (318, 319/2, 241, 242) — различия между версиями

Текущая версия на 13:28, 23 апреля 2024

Содержание

Слайды лекций

Прошлогодние слайды

Семинары

Контрольные работы

Зачёт

Экзамен

Контрольная работа для экзамена

Премиальные задачи

Программа курса

Классические логики

Метод резолюций в логике предикатов

Логические исчисления

Аксиоматические теории

Неклассические прикладные логики

Рекомендованная литература

Основная литература

Дополнительная литература

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Инструменты

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 [[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
-Обязательный курс для студентов 318 группы 6 семестра обучения, ''а также для студентов 241 группы (Математическая логика и теория алгоритмов)''. Курс читает [[Подымов Владислав Васильевич|В. В. Подымов]].
+Актуальность информации: весенний семестр 2023/2024 учебного года.
-'''Объявления'''
+Обязательный курс для студентов групп 318 и 319/2, ''а также 241 и 242 (Математическая логика и теория алгоритмов)''. Курс читает [[Подымов Владислав Васильевич|В. В. Подымов]].
-''В этом разделе будут выкладываться объявления о текущих изменениях в курсе и на странице курса''
-* 2018.02.25 21:25 Выложены слайды лекции 5
-* 2018.02.25 21:25 Выложено условие задачи 1 на дополнительные бонусы
-* 2018.02.11 23:28 Страница подготовлена к началу весеннего семестра 2017/2018 учебного года
 = Слайды лекций =
-''Здесь будут выкладываться слайды лекций по мере их чтения''
+[[Media: Mathlog_318_b1.pdf|Блок 1]] (вводный). Что такое логика. Несколько логических парадоксов. Чего ожидать в курсе.
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_1.pdf|Лекция 1]]''' (вводная). Что такое логика? Содержание лекций. История логики. Логические парадоксы.
+[[Media: Mathlog_318_b2.pdf|Блок 2]]. Логика высказываний: синтаксис, семантика.
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_2.pdf|Лекция 2.]]''' Логика высказываний: синтаксис, семантика, выполнимость, общезначимость. Метод семантических таблиц в логике высказываний.
+[[Media: Mathlog_318_b3.pdf|Блок 3]]. Логика предикатов: синтаксис, семантика.
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_3.pdf|Лекция 3.]]''' Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы), семантика (интерпретации, отношение выполнимости), выполнимость, общезначимость, модели.
+[[Media: Mathlog_318_b4.pdf|Блок 4]]. Как формализовать предложение на языке логики предикатов (пример).
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_4.pdf|Лекция 4.]]''' Логическое следствие. Проблема общезначимости формул. Подстановки. Метод семантических таблиц в логике предикатов. Корректность табличного вывода.
+[[Media: Mathlog_318_b5.pdf|Блок 5]]. Логика высказываний: выполнимые и общезначимые формулы.
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_5.pdf|Лекция 5.]]''' Полнота табличного вывода в логике предикатов. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Теорема Чёрча. Автоматизация доказательства теорем.
+[[Media: Mathlog_318_b6.pdf|Блок 6]]. Логика предикатов: выполнимые и общезначимые формулы; модели формул; логическое следствие; проблема общезначимости формул (постановка).
-== Временный архив слайдов: 2016-2017 учебный год ==
+[[Media: Mathlog_318_b7.pdf|Блок 7]]. Логика предикатов: можно ли проверить общезначимость формулы "в лоб"?
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_6.pdf|6]]''',
+[[Media: Mathlog_318_b8.pdf|Блок 8]]. Метод семантических таблиц: семантические таблицы.
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_7.pdf|7]]''',
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_8.pdf|8]]''',
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_9.pdf|9]]''',
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_10.pdf|10]]''',
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_11.pdf|11]]''',
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_12.pdf|12]]''',
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_13.pdf|13]]''',
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_14.pdf|14]]''',
-'''[[Media: Mathlog_318_lecture_16_17.pdf|16-17]]'''.
-= Семинары =
+[[Media: Mathlog_318_b9.pdf|Блок 9]]. Подстановки (основные определения).
-Семинары 1-4 проводятся по [[Media:MatLog_tasks.pdf| этому сборнику задач]]
+[[Media: Mathlog_318_b10.pdf|Блок 10]]. Метод семантических таблиц: табличный вывод.
-Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к [[Media:MatLog_exer.pdf| расширенному сборнику задач]]
+[[Media: Mathlog_318_b11.pdf|Блок 11]]. Метод семантических таблиц: корректность табличного вывода.
-''Материалы остальных семинаров будут появляться по мере проведения занятий.''
+[[Media: Mathlog_318_b12.pdf|Блок 12]]. Метод семантических таблиц: полнота табличного вывода.
-= Контрольная работа =
+[[Media: Mathlog_318_b13.pdf|Блок 13]]. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Автоматизация доказательства теорем.
-Формат проведения и длительность контрольной работы: письменно, 95 минут.
+[[Media: Mathlog_318_b14.pdf|Блок 14]]. Общая схема метода резолюций.
-В рамках контрольной работы требуется решить
+[[Media: Mathlog_318_b15.pdf|Блок 15]]. Равносильность формул.
-* '''три задачи''':
+[[Media: Mathlog_318_b16.pdf|Блок 16]]. Предварённая нормальная форма (ПНФ).
-** построить формулу логики предикатов, адекватно описывающую высказывание, представленное на естественном языке;
-** проверить общезначимость формулы логики предикатов, используя метод семантических таблиц
-*** (правила табличного вывода будут выданы вместе с заданием контрольной);
-** проверить общезначимость формулы логики предикатов, используя метод резолюций;
-* '''девять теоретических вопросов''', проверяющих знание материала, изложенного в лекциях 2-9.
-Контрольная работа оценивается по шкале '''от 0 до 15 баллов'''.
+[[Media: Mathlog_318_b17.pdf|Блок 17]]. Сколемовская стандартная форма (ССФ).
-Итоговые баллы за работу - это сумма баллов за задачи и теоретические вопросы.
-Правильно решённая задача оценивается в '''2 балла'''.
+[[Media: Mathlog_318_b18.pdf|Блок 18]]. Системы дизъюнктов.
-Задача, решённая с ошибками, может быть оценена числом баллов от 0 до 2 в зависимости от качества и количества ошибок.
-Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в '''1 балл'''.
+[[Media: Mathlog_318_b19.pdf|Блок 19]]. Композиция подстановок. Постановка задачи унификации.
-В каждом теоретическом вопросе предлагается несколько вариантов ответа.
-Среди этих ответов может быть один, ни одного или несколько правильных.
-Для правильного решения теоретического вопроса следует отметить '''все''' правильные ответы и только их.
-Обоснование того, почему выбраны или не выбраны те или иные ответы, '''не требуется'''.
-'''Группа 241:''' баллы, набранные за контрольную работу, суммируются с другими баллами, требуемыми для зачёта.
+[[Media: Mathlog_318_b20.pdf|Блок 20]]. Алгоритм унификации атомарных формул.
-'''Группа 318:''' по результатам контрольной работы определяется <span style="background:#DDFFDD">бонус</span> или <span style="background:#FFDDDD">штраф</span>, суммирующийся с баллами за экзаменационную работу:
+[[Media: Mathlog_318_b21.pdf|Блок 21]]. Монотонность и транзитивность отношения логического следования.
-* набрано от 13 до 15 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>;
-* набрано от 10 до 12 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>;
-* набрано от 7 до 9 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-1 балл</span>;
-* набрано 6 баллов или меньше: штраф <span style="background:#FFDDDD">-3 балла</span>;
-* контрольная работа пропущена по неуважительной причине: штраф <span style="background:#FFDDDD">-3 балла</span>;
-* контрольная работа пропущена по уважительной причине: бонус <span style="background:#DDFFDD">+0 баллов</span>.
-= Экзамен =
+[[Media: Mathlog_318_b22.pdf|Блок 22]]. Резолютивный вывод. Корректность резолютивного вывода.
-Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.
+[[Media: Mathlog_318_b23.pdf|Блок 23]]. Обоснование общезначимости формулы методом резолюций (пример).
-Экзаменационная работа оценивается по шкале '''от 0 до 30 баллов''' (''промежуточные баллы'').
+[[Media: Mathlog_318_b24.pdf|Блок 24]]. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях.
-Итоговые баллы за экзаменационную работу - это сумма промежуточных баллов, бонусов и штрафов по итогам контрольной работы, а также других бонусов, если удалось их получить.
-В зависимости от полученных итоговых баллов за экзаменационную работу выставляется оценка за экзамен:
-* набрано хотя бы 25 баллов: '''отлично''';
-* набрано хотя бы 20, но менее 25 баллов: '''хорошо''';
-* набрано хотя бы 15, но менее 20 баллов: '''удовлетворительно''';
-* набрано менее 15 баллов: '''неудовлетворительно'''.
-Промежуточные баллы складываются из баллов, полученных за решение каждой задачи в работе.
+[[Media: Mathlog_318_b25.pdf|Блок 25]]. Теорема Эрбрана. Полнота резолютивного вывода.
-Описание задач и оценки за их безошибочное решение:
-* '''Задача 1 (3 балла)''': предложить формулу логики предикатов, адекватно описывающую заданное утверждение, записанное на естественном языке.
-* '''Задача 2 (3 балла)''': проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
-* '''Задача 3 (3 балла)''': проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
-* '''Задача 4 (3 балла)''': ''точная формулировка будет определена по окончании лекций и семинаров''.
-* '''Задача 5 (3 балла)''': ''точная формулировка будет определена по окончании лекций и семинаров''.
-* '''Задачи 6-8 (2 балла за каждую)''' состоят из двух частей: а) сформулировать теорему или определение, рассказанные в лекциях; б) ответить на вопрос, так или иначе связанный с первой частью, '''без пояснений''' (как правило - "да" или "нет", либо привести какой-либо пример).
-* '''Задачи 9-11 (3 балла за каждую)''': из предложенных вариантов ответа на заданный вопрос выбрать правильные (один, несколько или ни одного), правильность каждого выбранного ответа обосновать ('''невыбранные ответы обосновывать не нужно''').
-= Зачёт =
+[[Media: Mathlog_318_b26.pdf|Блок 26]]. Даша, Саша, Паша, пиво и метод семантических таблиц с методом резолюций.
-В зачётную неделю будет проведена вторая контрольная работа. Эта работа будет содержать
+[[Media: Mathlog_318_b27.pdf|Блок 27]]. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.
-* Две задачи, идентичные задачам 4, 5 экзамена, каждая из которых оценивается в 2 балла.
-* Пять теоретических вопросов по лекциям 10-18 по лекциям, проведённым после контрольной работы, аналогичные теоретическим вопросам первой контрольной работы. Каждый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.
-Для получения зачёта необходимо набрать хотя бы две трети баллов суммарно за две контрольные работы и дополнительные бонусы, то есть '''не менее 16 баллов'''.
+[[Media: Mathlog_318_b28.pdf|Блок 28]]. Натуральное исчисление высказываний: основные определения.
-Не получившим зачёт по результатам второй контрольной работы будут предоставлены дополнительные попытки получения зачёта. На этих попытках:
+[[Media: Mathlog_318_b29.pdf|Блок 29]]. Натуральное исчисление высказываний: правило монотонности, закон исключённого третьего, корректность.
-* Сохраняются баллы за каждую задачу, суммарный балл за теоретические вопросы первой контрольной работы, суммарный балл за теоретические вопросы второй контрольной работы.
-* Предоставляется возможность поднять каждый из этих баллов, решив соответствующие части новых вариантов контрольных работ.
-= Дополнительные бонусы к экзамену и зачёту =
+[[Media: Mathlog_318_b30.pdf|Блок 30]]. Натуральное исчисление высказываний: правило сечения, правило полного перебора, правило приведения к абсурду, полнота.
-Общее условие сдачи задач на дополнительные бонусы:
+[[Media: Mathlog_318_b31.pdf|Блок 31]]. Натуральное исчисление предикатов: основные определения, корректность.
-* принцип сдачи задач:
-** идеи и выкладки, не требующие технических деталей, - устно;
-** если выкладки не воспроизводятся или не воспринимаются устно, то письменно;
-* при подготовке и сдаче можно пользоваться любыми материалами;
-* при сдаче проверяется понимание каждой детали решения задачи - следует быть к этому готовым;
-* задача считается решённой, если не осталось неотвеченных вопросов по обоснованию всех шагов решения задачи.
-'''Бонусы за решение задач сформулированы для одной учебной группы''' и получаются внутри одной группы независимо от другой (например, "''первый предоставивший решение''" трактуется как "''первый предоставивший решение из группы 318, а также первый предоставивший решение из группы 241''".
+[[Media: Mathlog_318_b32.pdf|Блок 32]]. Гильбертовское исчисление предикатов. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).
-''Условия задач и поощрения за их решения будут появляться в слайдах лекций и в этом разделе по мере проведения занятий.''
+[[Media: Mathlog_318_b33.pdf|Блок 33]]. Натуральное исчисление предикатов: полнота.
-== Полнота табличного вывода в логике предикатов ==
+[[Media: Mathlog_318_b34.pdf|Блок 34]]. Задачи и проблемы. Алгоритмы. Разрешимость. M-сводимость.
-=== Описание задачи ===
+[[Media: Mathlog_318_b35.pdf|Блок 35]]. Машины Тьюринга (МТ).
-Адаптировать доказательство теоремы полноты табличного вывода в логике предикатов к более общему случаю:
+[[Media: Mathlog_318_b36.pdf|Блок 36]]. Теорема Чёрча.
-* сигнатура алфавита состоит из
-** счётно-бесконечного числа констант,
-** счётно-бесконечного числа функциональных символов каждой местности,
-** счётно-бесконечного числа предикатных символов каждой местности;
-* формулы исходной таблицы могут содержать свободные переменные;
-* исходная таблица содержит не более чем счётно-бесконечное число формул, и при этом
-** формулы в левой части таблицы нумерованы натуральными числами, и существует алгоритм, по натуральному числу i выдающий i-ю формулу (то есть в доказательстве можно говорить "''возьмём i-ю формулу из левой части исходной таблицы''")
-** формулы в правой части таблицы нумерованы натуральными числами, и существует алгоритм, по натуральному числу i выдающий i-ю формулу (то есть в доказательстве можно говорить "''возьмём i-ю формулу из правой части исходной таблицы''")
-Бонусы за решение задачи:
+[[Media: Mathlog_318_b37.pdf|Блок 37]]. Аксиоматические теории первого порядка. Проблема общезначимости формул в теории.
-* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
-* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
-* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
-=== Количество предоставленных решений ===
+[[Media: Mathlog_318_b38.pdf|Блок 38]]. Основные свойства аксиоматических теорий.
-'''Группа 318:''' 0
+[[Media: Mathlog_318_b39.pdf|Блок 39]]. Арифметические интерпретации и теории.
-'''Группа 241:''' 0
+[[Media: Mathlog_318_b40.pdf|Блок 40]]. Определения и выразимость.
-<!--
+[[Media: Mathlog_318_b41.pdf|Блок 41]]. Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте.
-== Утверждения об отношении равносильности ==
+[[Media: Mathlog_318_b42.pdf|Блок 42]]. Арифметика Пресбургера.
-=== Описание задачи ===
+[[Media: Mathlog_318_b43.pdf|Блок 43]]. Модальные логики.
-Доказать два утверждения об отношении равносильности, сформулированные в лекции 6 с доказательством, помеченным словом "Самостоятельно".
+''Слайды будут появляться по мере чтения лекций.''
-Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение задачи
+== Прошлогодние слайды ==
-=== Количество предоставленных решений ===
+[[Media: Mathlog_318_b44.pdf|Блок 44]]. Эпистемические логики.
-'''Группа 318:''' 2
+[[Media: Mathlog_318_b45.pdf|Блок 45]]. Темпоральные логики.
-<s>'''Группа 241:''' 2</s> (''уже не актуально'')
+[[Media: Mathlog_318_b46.pdf|Блок 46]]. Интуиционистская логика.
-== Фундированность троек чисел ==
+[[Media: Mathlog_318_b47.pdf|Блок 47]]. Формальная верификация.
-=== Описание задачи ===
+[[Media: Mathlog_318_b48.pdf|Блок 48]]. Модельные императивные программы. Постановка задачи верификации программ.
-Доказать фундированность троек неотрицательных целых чисел относительно лексикографического порядка (лемма в лекции 7, сформулированная при доказательстве завершаемости алгоритма унификации, обоснование которой помечено словами "Попробуйте сами").
+[[Media: Mathlog_318_b49.pdf|Блок 49]]. Логика Хоара. Автоматизация проверки правильности программ.
-Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение задачи
+[[Media: Mathlog_318_b50.pdf|Блок 50]]. Проверка правильности распределённых систем. Пара слов о методе model checking.
-=== Количество предоставленных решений ===
+[[Media: Mathlog_318_b51.pdf|Блок 51]]. Размеченные системы переходов.
-'''Группа 318:''' 2
+[[Media: Mathlog_318_b52.pdf|Блок 52]]. Спецификация систем при помощи темпоральных логик.
-<s>'''Группа 241:''' 2</s> (''уже не актуально'')
+[[Media: Mathlog_318_b53.pdf|Блок 53]]. Алгоритм model checking для CTL.
-== Неизоморфные элементарно эквивалентные интерпретации ==
+= Семинары =
-=== Описание задачи ===
+''Материалы семинаров будут обновляться по мере проведения занятий''
-Привести пример двух неизоморфных элементарно эквивалентных интерпретаций, обосновать их неизоморфность и элементарную эквивалентность (см. '''лекцию 10''').
+Семинары 1-4 проводятся по [[Media:MatLog_tasks.pdf| этому сборнику задач.]]
-Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> '''первому''' предоставившему решение, <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> - '''второму'''.
+Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к [[Media:MatLog_exer.pdf| расширенному сборнику задач]]
-=== Количество предоставленных решений ===
+[[Media:Mathlog_318_seminar_natural_inference.pdf| Материалы семинара 5-6 (натуральное исчисление).]]
-'''Группа 318:''' 1
+= Контрольные работы =
-<s>'''Группа 241:''' 1</s> (''уже не актуально'')
+Контрольные работы проводятся письменно, длительность каждой - 90 минут.
-== Теорема Гёделя о полноте ==
+В контрольных работах встретятся 4 типовые задачи со следующими темами:
+# Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
+# Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
+# Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
+# Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.
-=== Описание задачи ===
+Оценка решений типовых задач:
+* Максимальная оценка - 4 балла.
+* Если решение в целом верно, но содержит редкие ошибки серьёзнее опечаток, то оно оценивается в 3 балла.
+* Если решение содержит серьёзные ошибки, но имеет структуру, в целом разумно соотносящуюся с правильной, то задача оценивается в 2 балла.
+* Если в решении обнаружены правильные элементы, в заметном, но всё же малом количестве, то задача оценивается в 1 балл.
-Доказать теорему Гёделя о полноте (см. '''лекцию 10''').
+Теоретические вопросы даются в форме теста с множественным выбором: из предложенных вариантов ответа требуется выбрать правильные (один, несколько или ни одного), обоснование не требуется.
+Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.
-Бонусы за решение задачи:
+'''Первая контрольная работа''' будет содержать
-* <span style="background:#DDFFDD">+12 баллов</span> '''первому''' предоставившему решение,
+* 3 типовые задачи по темам 1-3 и
-* <span style="background:#DDFFDD">+9 баллов</span> '''второму''' предоставившему решение,
+* 9 теоретических вопросов по прочитанным лекциям.
-* <span style="background:#DDFFDD">+6 баллов</span> '''третьему''' предоставившему решение,
-* <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span> '''четвёртому''' предоставившему решение.
-=== Количество предоставленных решений ===
+'''Вторая контрольная работа''' будет содержать
+* 4 типовые задачи по всем темам и
+* 5 теоретических вопросов по лекциям, не попавшим в первую контрольную работу.
-'''Группа 318:''' 2
+'''Остальные контрольные работы''' будут содержать
+* 4 типовые задачи по всем темам и
+* 14 теоретических вопросов по всем лекциям.
-<s>'''Группа 241:''' 3</s> (''уже не актуально'')
+= Зачёт =
-== Теорема о разрешимости доопределения теории ==
+На зачёте оцениваются результаты, относящиеся к решению типовых задач, знанию теории и работе в семестре.
+При проставлении зачёта учитывается 6 технических оценок:
+* Четыре оценки за типовые задачи, по одной за каждую задачу.
+* Оценка за знание теории. Максимум - 14 баллов.
+* Оценка за решение премиальных задач.
-=== Описание задачи ===
+Для получения зачёта требуется получить два результата:
+# Набрать хотя бы 11 баллов за типовые задачи.
+# Набрать хотя бы 20 баллов суммарно за всё (типовые задачи, теория, премиальные задачи).
-Завершить доказательство этой теоремы, предложенное в '''лекции 11''', или предложить своё доказательство
+Баллы за типовые задачи и за теорию набираются на [[#Контрольные работы|контрольных работах]].
-Бонусы за решение задачи:
+Для решения каждой типовой задачи будет предложено несколько попыток.
-* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
+При проставлении зачёта учитывается '''максимальная''' оценка за задачу среди всех попыток её решить.
-* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
-* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
-=== Количество предоставленных решений ===
+При проставлении зачёта учитывается '''максимальная''' оценка за теорию среди полученных
+* суммарно за первые две контрольные работы и
+* за каждую из следующих контрольных работ.
-'''Группа 318:''' 0
+= Экзамен =
-<s>'''Группа 241:''' 0</s> (''уже не актуально'')
+Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.
-== Теорема Гёделя о неполноте ==
+Экзаменационная работа содержит 10 задач и оценивается по шкале от 0 до 37 технических баллов.
+К этим техническим баллам прибавляются баллы за выполнение премиальных задач и поощрение/штраф за [[#Контрольная работа для экзамена|контрольную работу]].
+Согласно набранной сумме технических баллов выставляется оценка:
+* хотя бы 30: '''отлично''';
+* хотя бы 23, но менее 30: '''хорошо''';
+* хотя бы 16, но менее 23: '''удовлетворительно''';
+* менее 16: '''неудовлетворительно'''.
-=== Описание задачи ===
+Баллы за экзаменационную работу складываются из баллов за каждую задачу, предложенную в работе:
+* Каждая из задач 1-4 оценивается в 4 балла. Темы задач:
+*# Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
+*# Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
+*# Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
+*# Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.
+* Каждая из задач 5-7 оценивается в 3 балла и состоит из трёх частей:
+*# Сформулировать утверждение, определение и т.п.
+*# Ответить на вопрос "на понимание", так или иначе связанный с формулировкой.
+*# Аргументировать (обосновать) ответ на вопрос.
+* Каждая из задач 8-10 оценивается в 4 балла и устроена так:
+** Из нескольких предложенных вариантов ответа выбрать правильные (один, несколько или ни одного) и '''обосновать''' выбранные ответы.
+** Невыбранные ответы обосновывать не нужно.
-Доказать теорему Гёделя о неполноте (см. '''лекцию 11''') или адаптировать доказательство в лекции 11 к более простому утверждению: '''[[Media:Peano_axioms.pdf| арифметика Пеано]] неполна'''.
+== Контрольная работа для экзамена ==
-Каждая часть доказательства оценивается отдельно:
+На оценку за экзамен влияет первая [[#Контрольные работы|контрольная работа]].
-# лемма о диагонали (описать требуемое предложение и пояснить его содержательный смысл): <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> '''первому''' решившему, <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> '''второму''' решившему;
+Максимальная техническая оценка за эту работу - 21 балл.
-# утверждение об арифметизуемости графика вычислимой функции: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span> '''первому''' решившему, <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> '''второму''' решившему, <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> '''третьему''' решившему;
+В зависимости от технических баллов, набранных за первую контрольную работу, определяется поощрение или штраф к техническим баллам за экзамен:
-# остальная часть доказательства: <span style="background:#DDFFDD">+4 балла</span> '''первому''' решившему, <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span> '''второму''' решившему, <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> '''третьему''' решившему, <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> '''четвёртому''' решившему;
+* Набрано хотя бы 19 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>;
-# доказательство неполноты арифметики Пеано, кроме леммы о диагонали, утверждении об арифметизуемости графика вычислимой функции и других утверждений, встречающихся в курсе
+* Набрано хотя бы 16, но менее 19 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>;
-#* не оценивается, если предоставлено решение пункта 3
+* Набрано хотя бы 13, но менее 16 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>;
-#* <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span> '''первому''' решившему, <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> '''второму''' решившему, <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> '''третьему''' решившему.
+* Набрано хотя бы 10, но менее 13 баллов: <span style="background:#CCCCCC">0 баллов</span>;
+* Набрано хотя бы 7, но менее 10 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-1 балл</span>;
+* Набрано хотя бы 4, но менее 7 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-2 балла</span>;
+* Набрано менее 4 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-3 балла</span>;
+* Неявка без уважительной причины: штраф <span style="background:#FFDDDD">-3 балла</span>;
+* Неявка по уважительной причине: <span style="background:#CCCCCC">0 баллов</span>.
-=== Количество предоставленных решений ===
+= Премиальные задачи =
-'''Группа 318:'''
+Общие условия сдачи решений премиальных задач:
-* лемма о диагонали: 1
+* Можно как прислать письменное решение, так и обсудить решение устно. Если прислано письменное решение и к нему есть вопросы, то для ответов на эти вопросы может потребоваться дополнительное устное обсуждение.
-* утверждение об арифметизуемости: 1
+* При подготовке решения и во время его сдачи можно пользоваться любыми материалами.
-* рекурсивно перечислимое множество аксиом: 0
+* При сдаче может быть проверено понимание '''каждой''' детали предложенного решения - следует быть к этому готовым.
-* арифметика Пеано: 0
+* Решение принимается, когда по нему не остаётся неотвеченных вопросов.
-<s>'''Группа 241:'''</s> (''уже не актуально'')
+'''Бонусы за решение задач формулируются для одной учебной группы''' и распределяются внутри одной группы независимо от другой.
-* <s>лемма о диагонали: 1</s>
+Например, "''первый''" трактуется как "''первый в группе 318, а также первый в группе 319/2, а также ...''".
-* <s>утверждение об арифметизуемости: 0</s>
-* <s>рекурсивно перечислимое множество аксиом: 0</s>
-* <s>арифметика Пеано: 0</s>
-== Логика Хоара ==
+Условия задач и статистика принятых решений будут обновляться и доводиться до слушателей по мере чтения курса.
-=== Описание задачи ===
-Доказать корректность одного из правил логики Хоара ('''лекция 16-17''').
-Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> за доказательство корректности каждого правила, кроме SKIP и AS. За задачу можно получить '''не более двух баллов'''. Доказательство корректности каждого правила принимается '''не более одного раза''' в группе.
-=== Количество предоставленных решений ===
-'''Группа 318:''' 0
-<s>'''Группа 241:''' INF, IF</s> (''уже не актуально'')
-== Эпистемическая логика ==
-=== Описание задачи ===
-Описать ход рассуждений мудрецов в ''задаче о трёх мудрецах'' ('''лекция 16-17''') как набор модальных формул (знаний) и законов преобразования знаний, содержательно пояснить эти формулы и законы.
-Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение.
-=== Количество предоставленных решений ===
-'''Группа 318:''' 0
-<s>'''Группа 241:''' 1</s> (''уже не актуально'')
-== Законы темпоральной логики ==
-=== Описание задачи ===
-Доказать некоторые пункты утверждения об основных законах CTL ('''лекция 16-17''').
-Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> за доказательство двух любых пунктов утверждения; третьему сдающему - за доказательство одного оставшегося пункта утверждения. За задачу можно получить '''не более одного балла'''. Доказательство каждого пункта утверждения принимается '''не более одного раза''' в группе.
-=== Количество предоставленных решений ===
-'''Группа 318:''' 0
-<s>'''Группа 241:''' AX, AG</s> (''уже не актуально'')
-== Законы темпоральной логики ==
-Все пункты задачи относятся к ''законам темпоральной логики'' ('''лекция 17''').
-* Выбрать одну пару двойственных левых частей для предполагаемых законов дистрибутивности (1+2, 3+4, 5+6, 7+8), сформулировать правые части, описывающие дистрибутивность операций в естественном понимании, и доказать и/или опровергнуть полученные законы.
-* Доказать закон неподвижной точки для одного из операторов U, R.
-* Сформулировать закон, ''не более тривиальный'', чем законы дистрибутивности для темпоральных операторов, и доказать его.
-Один сдающий может выбрать только '''один''' закон (или пару законов дистрибутивности), '''не выбранный ранее''' другими сдавшими. <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> каждому решившему.
-''Статистика:''
-* решены законы дистрибутивности 1+2, 3+4
-* один решивший: законы из разных пар, поэтому пары остаются незанятыми
-== Model checking для LTL ==
-Доказать (додоказать) утверждение, представленное в слайдах '''лекции 18'''.
-* Утверждение на слайде 18 (106): однозначное задание согласованных предположений атомарными высказываниями и Next-time-формулами. <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> каждому решившему.
-* Обоснование табличного метода model checking, достаточность, индуктивный переход, Until-формула: предложить обоснование для этого случая. <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span> каждому решившему.
--->
 = Программа курса =
-''Раздел будет дополняться по мере проведения занятий.''
+''Программа будет обновляться согласно фактически прочитанному материалу''
 == Классические логики ==
 <ol>
-<li> Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость, невыполнимость, общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
+<li> Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость и общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
 <li> Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
-<li> Проблема выполнимости булевых формул: приложения, основные решающие алгоритмы (алгоритм локального поиска, алгоритм DPLL).
 <li> Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
-<li> Выполнимость, общезначимость и противоречивость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
+<li> Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
 <li> Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
-<li> Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теорема корректности табличного вывода, теорема полноты табличного вывода.
+<li> Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теоремы о корректности и полноте табличного вывода.
-<li> Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Теорема Чёрча.
+<li> Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева.
+<li> Машины Тьюринга. Теорема Чёрча.
 <li> Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.
 </ol>
@@ Строка 348: / Строка 254: @@
 <li> Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
 <li> Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
-<li> Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме противоречивости систем дизъюнктов.
+<li> Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме невыполнимости систем дизъюнктов.
 <li> Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
 <li> Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
-<li> Правило резолюции. Правило склейки. Резолютивный вывод. Теорема корректности резолютивного вывода.
+<li> Правило резолюции. Правило склейки. Резолютивный вывод. Теорема о корректности резолютивного вывода.
 <li> Эрбрановский универсум. Эрбрановский базис. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.
-<li> Лемма об основных дизъюнктах. Лемма о подъёме. Теорема полноты резолютивного вывода.
+<li> Лемма об основных дизъюнктах. Лемма о подъёме. Теорема о полноте резолютивного вывода.
 <li> Метод резолюций: общая схема, применение.
-<li> Стратегии резолютивного вывода. Семантическая резолюция. Теорема полноты семантического резолютивного вывода. Входной резолютивный вывод.
-<li> Резолютивный вывод как средство вычисления. Хорновские дизъюнкты.
 </ol>
-<!--
+== Логические исчисления ==
+<ol start="19">
-== Аксиоматические теории первого порядка ==
+<li> Логические исчисления. Исчисления высказываний и исчисления предикатов. Выводимость и доказуемость формул.
-<ol start="21">
+<li> Натуральное исчисление высказываний. Правило монотонности. Закон исключённого третьего. Правило сечения. Правило полного перебора. Правило приведения к абсурду. Корректность и полнота исчисления.
-<li> Аксиомы. Аксиоматическая теория первого порядка: определение; выполнимость, общезначимость и противоречивость формул в теории. Проблемы общезначимости и выполнимости формул логики предикатов в теории.
+<li> Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления.
-<li> Основные свойства теорий: непротиворечивость, разрешимость, категоричность, полнота. Изоморфизм и элементарная эквивалентность интерпретаций. Связь изоморфизма интерпретаций, элементарной эквивалентности интерпретаций и полноты теорий.
+<li> Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).
-<li> Теория частичных порядков. Теория равенства: непротиворечивость, разрешимость, некатегоричность.
-<li> Исчисление предикатов: схемы аксиом, правило modus ponens, правило обобщения, логический вывод. Теорема Гёделя о полноте. Аксиоматические теории и исчисления.
-<li> Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте. Нумерации Гёделя. Арифметизуемые отношения.
-<li> Арифметика Пресбургера: непротиворечивость, разрешимость, полнота.
-<li> Бескванторные теории первого порядка. Теории с равенством. Преимущества проблемы выполнимости формул в теории перед проблемой общезначимости.
-<li> Теория равенства с неинтерпретируемыми функциями, разрешимость теории: сведение проблемы выполнимости в теории к проблеме выполнимости булевых формул.
-<li> Линейная арифметика. Виды линейных арифметик. NP-полнота линейной целочисленной арифметики.
-<li> Комбинация решающих алгоритмов для проблем выполнимости формул в теориях и в логике высказываний. Остовная проверка выполнимости формул в теориях. Интеграция алгоритмов проверки выполнимости формул в теориях в алгоритм DPLL.
 </ol>
-== Аксиоматическая теория множеств ==
+== Аксиоматические теории ==
-<ol start="31">
+<ol start="23">
-<li> Наивная теория множеств. Сравнение мощностей множеств. Кардинальные числа в наивной теории множеств.
+<li> Аксиоматические теории первого порядка: основные определения, проблема общезначимости формул в теории.
-<li> Теорема Кантора. Теорема об объединении множества, неограниченного по мощности. Теорема Кантора-Бернштейна.
+<li> Основные свойства аксиоматических теорий: непротиворечивость, элементарность, полнота, разрешимость.
-<li> Примеры кардинальных чисел. Конечность множеств мощности меньше счётной. Континуум-гипотеза в наивной теории множеств.
+<li> Определения и выразимость в интерпретациях. Теорема о подстановке определения.
-<li> Выразительные возможности наивной теории множеств: натуральные числа, кортежи, функции. Парадоксы теории множеств.
+<li> Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте (формулировка и схема доказательства).
-<li> Аксиоматические теории множеств. Теория Цермело-Френкеля: аксиомы и схемы аксиом, доказательство существования основных множеств наивной теории, исключение основных парадоксов теории множеств. Вопросы непротиворечивости теории Цермело-Френкеля.
+<li> Арифметика Пресбургера, её разрешимость и выразительность.
-<li> Определимость функций и отношений в теории. Применение определений для расширения теории.
-<li> Аксиома выбора. Непротиворечивость теорий Цермело-Френкеля с аксиомой выбора и её отрицанием.
-<li> Ординальные числа. Основные свойства ординальных чисел. Арифметика ординальных чисел.
-<li> Теорема Цермело. Кардинальные числа в теории Цермело-Френкеля с аксиомой выбора.
-<li> Континуум-гипотеза в теории Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. Непротиворечивость теорий Цермело-Френкеля с аксиомой выбора и континуум-гипотезой, её отрицанием.
 </ol>
 == Неклассические прикладные логики ==
-<ol start="41">
+<ol start="28">
-<li> Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики.
+<li> Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
-<li> Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Корректность и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Теорема корректности вывода в логике Хоара.
+<li> Интуиционистская логика.
-<li> Верификация распределённых систем. Логика линейного времени: синтаксис, семантика. Основные равносильности в логике линейного времени. Применение темпоральных логик для спецификации поведения распределённых систем.
+<li> Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Полная и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Корректность вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
-<li> Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Семантика чередующихся вычислений. Задача проверки выполнимости формул логики линейного времени на размеченных системах переходов.
+<li> Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Логика деревьев вычислений (CTL): синтаксис, семантика, основные равносильности, применение для спецификации поведения распределённых систем. Задача проверки моделей (model checking) относительно CTL: формулировка, решающий алгоритм.
-<li> Позитивная форма формул логики линейного времени. Замыкание Фишера-Ладнера. Согласованные множества формул. Системы Хинтикки. Табличный метод проверки выполнимости формул логики линейного времени на размеченных системах переходов.
 </ol>
--->
 = Рекомендованная литература =