Математическая логика и логическое программирование (группа 318)

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск


Обязательный курс для студентов 318 группы 6 семестра обучения, а также для студентов 241 группы (Математическая логика и теория алгоритмов). Курс читает В. В. Подымов.

Объявления

В этом разделе будут выкладываться объявления о текущих изменениях в курсе и на странице курса

  • 2018.06.21 11:46 Обновлена статистика сданных задач на дополнительные бонусы
  • 2018.05.07 04:10 Выложены условия задач 8, 9, 10, 11 на дополнительные бонусы
  • 2018.05.07 04:10 Выложены слайды лекции 14-15
  • 2018.04.27 14:10 Выложены материалы семинара 6 (натуральное исчисление)
  • 2018.04.25 20:10 Лекция 13: исправлены ошибки в определении натурального исчисления
  • 2018.04.24 14:37 Сформулированы условия задач 4, 5 экзамена (они же - задачи второй контрольной работы)
  • 2018.03.02 14:05 Внесена небольшая правка в лекцию 3: добавлено (довольно естественное и само собой напрашивающееся, но по неведомым причинам забытое) обозначение для истинности в интерпретации
  • 2018.02.11 23:28 Страница подготовлена к началу весеннего семестра 2017/2018 учебного года

Содержание

Слайды лекций

Лекция 1 (вводная). Что такое логика? Содержание лекций. История логики. Логические парадоксы.

Лекция 2. Логика высказываний: синтаксис, семантика, выполнимость, общезначимость. Метод семантических таблиц в логике высказываний.

Лекция 3. Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы), семантика (интерпретации, отношение выполнимости), выполнимость, общезначимость, модели.

Лекция 4. Логическое следствие. Проблема общезначимости формул. Подстановки. Метод семантических таблиц в логике предикатов. Корректность табличного вывода.

Лекция 5. Полнота табличного вывода в логике предикатов. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Теорема Чёрча. Автоматизация доказательства теорем.

Лекция 6. Общая схема метода резолюций. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене. Предварённая нормальная форма. Сколемовская стандартная форма. Системы дизъюнктов. Задача унификации.

Лекция 7. Алгоритм унификации.

Лекция 8. Резолютивный вывод. Корректность резолютивного вывода. Применение метода резолюций. Эрбрановские интерпретации. Теорема Эрбрана.

Лекция 9. Полнота резолютивного вывода. Стратегии резолютивного вывода. Вычислительные возможности метода резолюций.

Лекция 10 (Захаров В.А.). Правильные программы. Императивные программы. Задача верификации программ. Логика Хоара. Автоматическая проверка правильности программ.

Лекция 11-12. Аксиоматические теории. Основные свойства теорий. Формальная арифметика. Арифметика Пеано. Теорема Гёделя о неполноте. Определимость. Арифметика Пресбургера.

Лекция 13. Исчисления предикатов. Исчисление Гильберта. Теорема Гёделя о полноте. Натуральное исчисление.

Лекция 14-15. Модальные логики. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени (LTL). Логика деревьев вычислений (CTL). Верификация распределённых систем. Задача верификации для LTL. Табличный алгоритм верификации для LTL.

Временный архив слайдов: 2016-2017 учебный год

10, 11, 12, 14, 16-17.

Семинары

Семинары 1-4 проводятся по этому сборнику задач.

Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к расширенному сборнику задач

Материалы семинара 5 (определимость).

Материалы семинара 6 (натуральное исчисление).

Контрольная работа

Формат проведения и длительность контрольной работы: письменно, 95 минут.

В рамках контрольной работы требуется решить

  • три задачи:
    • построить формулу логики предикатов, адекватно описывающую высказывание, представленное на естественном языке;
    • проверить общезначимость формулы логики предикатов, используя метод семантических таблиц
      • (правила табличного вывода будут выданы вместе с заданием контрольной);
    • проверить общезначимость формулы логики предикатов, используя метод резолюций;
  • девять теоретических вопросов, проверяющих знание материала, изложенного в лекциях 2-9.

Контрольная работа оценивается по шкале от 0 до 15 баллов. Итоговые баллы за работу - это сумма баллов за задачи и теоретические вопросы.

Правильно решённая задача оценивается в 2 балла. Задача, решённая с ошибками, может быть оценена числом баллов от 0 до 2 в зависимости от качества и количества ошибок.

Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в 1 балл. В каждом теоретическом вопросе предлагается несколько вариантов ответа. Среди этих ответов может быть один, ни одного или несколько правильных. Для правильного решения теоретического вопроса следует отметить все правильные ответы и только их. Обоснование того, почему выбраны или не выбраны те или иные ответы, не требуется.

Группа 241: баллы, набранные за контрольную работу, суммируются с другими баллами, требуемыми для зачёта.

Группа 318: по результатам контрольной работы определяется бонус или штраф, суммирующийся с баллами за экзаменационную работу:

  • набрано от 13 до 15 баллов: бонус +3 балла;
  • набрано от 10 до 12 баллов: бонус +1 балл;
  • набрано от 7 до 9 баллов: штраф -1 балл;
  • набрано 6 баллов или меньше: штраф -3 балла;
  • контрольная работа пропущена по неуважительной причине: штраф -3 балла;
  • контрольная работа пропущена по уважительной причине: бонус +0 баллов.

Экзамен

Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.

Экзаменационная работа оценивается по шкале от 0 до 30 баллов (промежуточные баллы). Итоговые баллы за экзаменационную работу - это сумма промежуточных баллов, бонусов и штрафов по итогам контрольной работы, а также других бонусов, если удалось их получить. В зависимости от полученных итоговых баллов за экзаменационную работу выставляется оценка за экзамен:

  • набрано хотя бы 25 баллов: отлично;
  • набрано хотя бы 20, но менее 25 баллов: хорошо;
  • набрано хотя бы 15, но менее 20 баллов: удовлетворительно;
  • набрано менее 15 баллов: неудовлетворительно.

Промежуточные баллы складываются из баллов, полученных за решение каждой задачи в работе. Описание задач и оценки за их безошибочное решение:

  • Задача 1 (3 балла): предложить формулу логики предикатов, адекватно описывающую заданное утверждение, записанное на естественном языке.
  • Задача 2 (3 балла): проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
  • Задача 3 (3 балла): проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
  • Задача 4 (3 балла): предложить аксиому, определяющую арифметическое понятие в заданной сигнатуре.
  • Задача 5 (3 балла): предложить доказательство формулы в натуральном исчислении предикатов.
  • Задачи 6-8 (2 балла за каждую) состоят из двух частей: а) сформулировать теорему или определение, рассказанные в лекциях; б) ответить на вопрос, так или иначе связанный с первой частью, без пояснений (как правило - "да" или "нет", либо привести какой-либо пример).
  • Задачи 9-11 (3 балла за каждую): из предложенных вариантов ответа на заданный вопрос выбрать правильные (один, несколько или ни одного), правильность каждого выбранного ответа обосновать (невыбранные ответы обосновывать не нужно).

Зачёт

В зачётную неделю будет проведена вторая контрольная работа. Эта работа будет содержать

  • Две задачи, идентичные задачам 4, 5 экзамена, каждая из которых оценивается в 2 балла.
  • Пять теоретических вопросов по лекциям, проведённым после контрольной работы, аналогичные теоретическим вопросам первой контрольной работы. Каждый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.

Для получения зачёта необходимо набрать хотя бы две трети баллов суммарно за две контрольные работы и дополнительные бонусы, то есть не менее 16 баллов.

Не получившим зачёт по результатам второй контрольной работы будут предоставлены дополнительные попытки получения зачёта. На этих попытках:

  • Сохраняются баллы за каждую задачу, суммарный балл за теоретические вопросы первой контрольной работы, суммарный балл за теоретические вопросы второй контрольной работы.
  • Предоставляется возможность поднять каждый из этих баллов, решив соответствующие части новых вариантов контрольных работ.

Дополнительные бонусы к экзамену и зачёту

Общее условие сдачи задач на дополнительные бонусы:

  • принцип сдачи задач:
    • идеи и выкладки, не требующие технических деталей, - устно;
    • если выкладки не воспроизводятся или не воспринимаются устно, то письменно;
  • при подготовке и сдаче можно пользоваться любыми материалами;
  • при сдаче проверяется понимание каждой детали решения задачи - следует быть к этому готовым;
  • задача считается решённой, если не осталось неотвеченных вопросов по обоснованию всех шагов решения задачи.

Бонусы за решение задач сформулированы для одной учебной группы и получаются внутри одной группы независимо от другой (например, "первый предоставивший решение" трактуется как "первый предоставивший решение из группы 318, а также первый предоставивший решение из группы 241".

Полнота табличного вывода в логике предикатов

Описание задачи

Адаптировать доказательство теоремы полноты табличного вывода в логике предикатов к более общему случаю:

  • сигнатура алфавита состоит из
    • счётно-бесконечного числа констант,
    • счётно-бесконечного числа функциональных символов каждой местности,
    • счётно-бесконечного числа предикатных символов каждой местности;
  • формулы исходной таблицы могут содержать свободные переменные;
  • исходная таблица содержит не более чем счётно-бесконечное число формул, и при этом
    • формулы в левой части таблицы нумерованы натуральными числами, и существует алгоритм, по натуральному числу i выдающий i-ю формулу (то есть в доказательстве можно говорить "возьмём i-ю формулу из левой части исходной таблицы")
    • формулы в правой части таблицы нумерованы натуральными числами, и существует алгоритм, по натуральному числу i выдающий i-ю формулу (то есть в доказательстве можно говорить "возьмём i-ю формулу из правой части исходной таблицы")

Бонусы за решение задачи:

  • первый предоставивший решение: +3 балла
  • второй предоставивший решение: +2 балла
  • третий предоставивший решение: +1 балл

Количество предоставленных решений

Группа 318: 0

Группа 241: 0

Утверждения об отношении равносильности

Описание задачи

Доказать два утверждения об отношении равносильности, сформулированные в лекции 6 с доказательством, помеченным словом "Самостоятельно".

Бонус за решение задачи: +2 балла первым двум предоставившим решение задачи

Количество предоставленных решений

Группа 318: 1

Группа 241: 2 (решения больше не принимаются)

Фундированность троек чисел

Описание задачи

Доказать фундированность троек неотрицательных целых чисел относительно лексикографического порядка (лемма в лекции 7, сформулированная при доказательстве завершаемости алгоритма унификации, обоснование которой помечено словами "Попробуйте сами").

Бонусы за решение задачи:

  • первый предоставивший решение: +2 балла
  • второй предоставивший решение: +1 балл

Количество предоставленных решений

Группа 318: 2 (решения больше не принимаются)

Группа 241: 2 (решения больше не принимаются)

Полнота семантической резолюции

Описание задачи

Доказать теорему полноты семантической резолюции (лекция 9).

Бонусы за решение задачи:

  • первый предоставивший решение: +3 балла
  • второй предоставивший решение: +2 балла
  • третий предоставивший решение: +1 балл

Количество предоставленных решений

Группа 318: 0

Группа 241: 0

Неизоморфные элементарно эквивалентные интерпретации

Описание задачи

Привести пример двух неизоморфных элементарно эквивалентных интерпретаций, обосновать их неизоморфность и элементарную эквивалентность (см. лекцию 11-12).

Бонус за решение задачи: +2 балла первому предоставившему решение.

Количество предоставленных решений

Группа 318: 1 (решения больше не принимаются)

Группа 241: 1 (решения больше не принимаются)

Теорема Гёделя о неполноте

Описание задачи

Доказать теорему Гёделя о неполноте (лекция 11-12): либо адаптировать доказательство в лекции к общему случаю и доказать лемму о диагонали и утверждение об арифметизуемости графика, либо предоставить своё доказательство.

Бонусы за решение задачи:

  • первый предоставивший решение: +14 баллов
  • второй предоставивший решение: +11 баллов
  • третий предоставивший решение: +8 баллов

Количество предоставленных решений

Группа 318: 0

Группа 241: 0

Теорема Гёделя о полноте

Описание задачи

Доказать теорему Гёделя о полноте (см. лекцию 13).

Бонусы за решение задачи:

  • первый предоставивший решение: +11 баллов
  • второй предоставивший решение: +8 баллов
  • третий предоставивший решение: +5 баллов

Количество предоставленных решений

Группа 318: 1

Группа 241: 1

Свойства шкал Крипке

Описание задачи

Доказать утверждения о рефлексивности, транзитивности и симметричности шкал Крипке, сформулированные в разделе "Эпистемические логики" лекции 14-15

Бонус за решение задачи: +2 балла первым двум предоставившим решение.

Количество предоставленных решений

Группа 318: 1

Группа 241: 2 (решения больше не принимаются)

Мудрецы

Описание задачи

Описать и содержательно пояснить законы рассуждений и ход рассуждений мудрецов в задаче о трёх мудрецах (лекция 14-15) в терминах эпистемической логики.

Бонус за решение задачи: +2 балла первым двум предоставившим решение.

Количество предоставленных решений

Группа 318: 0

Группа 241: 0

Законы темпоральных логик

Описание задачи

  • Выбрать один темпоральный оператор логики линейного времени.
    • Если выбран оператор U, то также выбрать право или лево.
  • Доказать или опровергнуть два закона дистрибутивности, сформулированные для выбранного оператора в лекции 14-15.
    • Если выбран оператор U, то это два закона дистрибутивности для правого или левого аргумента, в зависимости от сделанного выбора.

Бонус за решение задачи: +1 балл каждому предоставившему решение.

Ограничение: доказательство или опровержение каждого закона дистрибутивности принимается только один раз.

Операторы, для которых решения уже предоставлены

Группа 318: -

Группа 241: F

Табличный алгоритм верификации для LTL

Описание задачи

Ответить на существенную часть вопросов, сформулированных на последнем слайде лекции 14-15

Бонус за решение задачи: обсуждается индивидуально.


Программа курса

Классические логики

  1. Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость, невыполнимость, общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
  2. Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
  3. Проблема выполнимости булевых формул: приложения, основные решающие алгоритмы (алгоритм локального поиска, алгоритм DPLL).
  4. Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
  5. Выполнимость, общезначимость и противоречивость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
  6. Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
  7. Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теорема корректности табличного вывода, теорема полноты табличного вывода.
  8. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Теорема Чёрча.
  9. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.

Метод резолюций в логике предикатов

  1. Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
  2. Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
  3. Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме противоречивости систем дизъюнктов.
  4. Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
  5. Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
  6. Правило резолюции. Правило склейки. Резолютивный вывод. Теорема корректности резолютивного вывода.
  7. Эрбрановский универсум. Эрбрановский базис. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.
  8. Лемма об основных дизъюнктах. Лемма о подъёме. Теорема полноты резолютивного вывода.
  9. Метод резолюций: общая схема, применение.
  10. Стратегии резолютивного вывода. Семантическая резолюция. Теорема полноты семантического резолютивного вывода. Входной резолютивный вывод.
  11. Резолютивный вывод как средство вычисления. Хорновские дизъюнкты.

Аксиоматические теории первого порядка

  1. Аксиомы, теоремы и теории. Выполнимость, противоречивость и общезначимость формул в теории. Проблема общезначимости формул логики предикатов в теории.
  2. Адекватность теорий интерпретации. Элементарная теория.
  3. Формальная арифметика. Арифметика Пеано. Теорема Гёделя о неполноте.
  4. Явные определения и определяющие аксиомы. Теорема о расширении теории. Теорема о подстановке определения.
  5. Арифметика Пресбургера: непротиворечивость, разрешимость, полнота, выразительные возможности.
  6. Логические исчисления. Исчисления предикатов. Доказуемость (выводимость) формул.
  7. Исчисление Гильберта. Теорема Гёделя о полноте. Натуральное исчисление Генцена.

Неклассические прикладные логики

  1. Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
  2. Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Корректность и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Теорема корректности вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
  3. Верификация распределённых систем. Логика линейного времени: синтаксис, семантика. Основные равносильности в логике линейного времени. Применение темпоральных логик для спецификации поведения распределённых систем.
  4. Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Семантика чередующихся вычислений. Задача верификации (проверки моделей; model checking) для логики линейного времени.
  5. Табличный алгоритм верификации для логики линейного времени. Упрощение формул. Замыкание Фишера-Ладнера. Согласованные предположения. Система Хинтикки. Сведение задачи верификации к графовым задачам.


Рекомендованная литература

Основная литература

  1. Клини С. Математическая логика. М.:Мир, 1973, 480 с.
  2. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.:Мир, 1983. 360 с.
  3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. Москва, "Физико-математическая литература", 1995 г., 250 с.
  4. Метакидес Г., Нероуд А., Принципы логики и логического программирования. Москва, "Факториал", 1998, 288 с.
  5. Братко И. Программирование на Прологе для искусственного интеллекта. М.:Мир, 1990, 560 с.
  6. Набебин А.А. Логика и Пролог в дискретной математике. М., Изд-во МЭИ, 1997.
  7. Кларк Э.М., Грамберг О., Пелед Д. Верификация моделей программ: model checking. Изд-во МЦНМО, Москва, 2002, 405 с.

Дополнительная литература

  1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.:Наука, 1984. 319 с.
  2. Верещагин Н.К., Шень А. Языки и исчисления. 2004.
  3. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2004. 128 с.
  4. Лавров И.А. Математическая логика. Учебное пособие для вузов. М.: Академия, 2006.
  5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Серия "Классический университетский учебник". Изд.3, 2006, 240 с.
  6. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика - М.: 1979.
  7. Непейвода Н. Н. Прикладная логика. Новосибирск. 2000 г.
  8. Хоггер К., Введение в логическое программирование. М.:Мир, 1988. 348 с.
  9. Клоксин У., Меллиш К. Программирование на языке Пролог. М.:Мир, 1987. 336 с.
  10. Кларк К.Л., Маккейб Ф.Г. Микро-Пролог: введение в логическое программирование. Москва, "Радио и связь". 1987, 311 с.
  11. Стерлинг Л., Шапиро Э., Искусство программирования на языке ПРОЛОГ. Москва, "Мир", 1990, 235 с.
  12. Ковальский Р. Логика в решении проблем. М.: Наука, 1990. 277 с.
  13. Логический подход к искусственному интеллекту (от модальной логики к логике баз данных). М.:Мир, 1998. 495 с.