Дискретная математика (1й курс) — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(Задачи на экзамене)
(Экзамен (2021 г.))
(не показаны 39 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Лекторы ==
 
== Лекторы ==
*проф. [[Алексеев Валерий Борисович|В.Б. Алексеев]]
+
*проф. [[Алексеев Валерий Борисович| Алексеев Валерий Борисович]]
*проф. [[Марченков Сергей Серафимович|С.С. Марченков]]
+
*проф. [[Марченков Сергей Серафимович| Марченков Сергей Серафимович]]
*доц.  [[Селезнева Светлана Николаевна| С.Н. Селезнева]]
+
*проф.  [[Селезнева Светлана Николаевна| Селезнева Светлана Николаевна]]
  
== Вопросы к экзамену по курсу «Дискретная математика», 2019 год.==
+
==Экзамен (2021 г.)==
  
В билете 2 вопроса (один из части А и один из части В) и задача.
+
'''Вторая пересдача экзамена состоится 18 сентября (в субботу) очно в ауд. 609. Начало в 12 ч'''.
 +
 
 +
Экзамен письменный. Экзаменационная работа содержит десять заданий разной сложности по содержанию курса. Первые четыре задания - стандартные задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания - формулировки определений или теорем с дополнительными вопросами, они оцениваются также в 3 балла каждое. Оставшиеся два задания - вопросы, связанные с доказательствами, или нестандартные задачи, они оцениваются в 4 балла каждое.
 +
 
 +
Продолжительность написания работы - 2 ч (120 мин).
 +
 
 +
[[Media: example-dm1-exam.pdf | Примерный вариант экзаменационной работы]]
 +
 
 +
Экзамен проводится очно в аудитории 609. Работу нужно написать разборчиво от руки на светлых листах контрастной ручкой. Каждый лист работы нужно подписать: фамилию, инициалы и номер группы. После окончания экзамена выполненные работы сдаются экзаменаторам. Но предварительно выполненную работу нужно отсканировать или сфотографировать. Затем сканы или фотографии работы в формате pdf, jpg или png нужно отослать по эл. почте dm1@cs.msu.ru, в теме письма нужно написать фамилию, инициалы и номер группы студента, выполнившего работу.
 +
 
 +
Оценки за экзамен станут известны 20 сентября (в понедельник) в 14 ч. После этого по эл. почте dm1@cs.msu.ru будут приниматься апелляции. Во вторник, 21 сентября, в 12 ч апелляции будут рассматриваться очно. После обсуждения всех апелляций оценки будут поставлены в ведомости.
 +
 
 +
'''Стандартные задачи к экзамену'''
 +
 
 +
*Найти существенные и фиктивные переменные заданной функции алгебры логики.
 +
*Найти совершенную ДНФ, совершенную КНФ или полином Жегалкина заданной функции алгебры логики.
 +
*Подсчитать число функций алгебры логики, зависящих от n переменных, в заданном множестве.
 +
*Проверить полноту заданной системы функций алгебры логики (конечной или бесконечной).
 +
*Проверить, является ли данная система функций алгебры логики базисом, или выделить из заданной системы функций алгебры логики все базисы.
 +
*Записать заданную k-значную функцию в 1-й или 2-й форме.
 +
*Найти полином по модулю k заданной k-значной функции при заданном простом числе k или проверить, можно ли представить заданную k-значную функцию полиномом по модулю k при заданном составном числе k.
 +
*Найти число неизоморфных графов с заданными свойствами и изобразить эти графы.
 +
*Найти код упорядоченного корневого дерева или восстановить упорядоченное корневое дерево по коду.
 +
*Найти в заданном графе подграф, гомеоморфный графу K_5 или графу K_3,3.
 +
*Проверить, является ли заданный граф планарным.
 +
*Проверить, найдется ли планарный граф с заданными свойствами.
 +
*Найти хроматическое число или хроматический индекс заданного графа.
 +
*Проверить разделимость заданного алфавитного кода (по алгоритму).
 +
*Проверить разделимость заданного алфавитного кода по неравенству Макмиллана или построить префиксный код с заданными длинами кодовых слов.
 +
*Найти оптимальный алфавитный двоичный код по заданному набору частот.
 +
*Определить, сколько ошибок замещения обнаруживает или исправляет заданный равномерный код.
 +
*Закодировать или исправить ошибку и декодировать сообщение в коде Хэмминга.
 +
*Найти кодовое расстояние заданного линейного кода.
 +
*Найти диаграмму Мура автоматной функции, заданной описанием.
 +
*Найти диаграмму Мура, каноническую таблицу, канонические уравнения или СФЭ с задержками автоматной функции, заданной одним из перечисленных способов.
 +
*Построить диаграмму Мура, в которой любые два различные состояния отличимы, для заданной автоматной функции.
 +
 
 +
== Вопросы к экзамену по курсу «Дискретная математика», 2021 год.==
  
 
===Часть А===  
 
===Часть А===  
'''Ответ без подготовки, по любым материалам (конспекты, книжки, распечатки лекций и т.д.). Проверяется, насколько осознаны все доказательства (основной вопрос – «почему?»). Определения и формулировки — без конспектов.'''
 
 
<ol>
 
<ol>
<li> Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма. Метод ее построения по конъюнктивной нормальной форме (метод Нельсона).
+
<li> Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма. Метод ее построения по конъюнктивной нормальной форме (метод Нельсона) (вопрос № 1 только для студентов 2-3 потоков).
 
<li> Алгоритм построения вектора коэффициентов полинома Жегалкина (с обоснованием).  
 
<li> Алгоритм построения вектора коэффициентов полинома Жегалкина (с обоснованием).  
 
<li> Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость.
 
<li> Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость.
Строка 19: Строка 55:
 
<li> Теоремы о представлении k-значных функций 2-й формой и полиномами.  
 
<li> Теоремы о представлении k-значных функций 2-й формой и полиномами.  
 
<li> Деревья. Свойства деревьев.
 
<li> Деревья. Свойства деревьев.
<li> Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева (с обоснованием) (вопрос № 9 только для студентов 2-го и 3-го потоков).
+
<li> Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева (с обоснованием).
 
<li> Теорема о раскраске планарных графов в 5 цветов.
 
<li> Теорема о раскраске планарных графов в 5 цветов.
 
<li> Алгоритм распознавания взаимной однозначности (разделимости) алфавитного кодирования (с обоснованием).  
 
<li> Алгоритм распознавания взаимной однозначности (разделимости) алфавитного кодирования (с обоснованием).  
Строка 35: Строка 71:
  
 
=== Часть В ===  
 
=== Часть В ===  
'''Ответ без конспектов и почти без подготовки (3-5 минут), с доказательствами (можно излагать устно).'''
 
 
<ol start="22">
 
<ol start="22">
 
<li> Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций.
 
<li> Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций.
Строка 46: Строка 81:
 
<li> Лемма о немонотонной функции.
 
<li> Лемма о немонотонной функции.
 
<li> Теорема о максимальном числе функций в базисе в алгебре логики.
 
<li> Теорема о максимальном числе функций в базисе в алгебре логики.
<li> k-значные функции. Теорема о существовании конечной полной системы в Pk.
+
<li> k-значные функции. Теорема о представлении k-значных функций 1-й формой.
 
<li> Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность.
 
<li> Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность.
 
<li> Корневые деревья. Верхняя оценка их числа.
 
<li> Корневые деревья. Верхняя оценка их числа.
Строка 54: Строка 89:
 
<li> Теорема о раскраске вершин графа в 2 цвета (теорема Кенига).
 
<li> Теорема о раскраске вершин графа в 2 цвета (теорема Кенига).
 
<li> Оптимальные коды, их свойства.
 
<li> Оптимальные коды, их свойства.
<li> Линейные двоичные коды. Теорема о кодовом расстоянии линейных кодов (вопрос № 39 только для студентов 2-го и 3-го потоков).
+
<li> Линейные двоичные коды. Теорема о кодовом расстоянии линейных кодов.
 
<li> Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами.
 
<li> Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами.
 
<li> Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель.
 
<li> Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель.
Строка 70: Строка 105:
 
<li> Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990 (Вопрос 37 (стр. 36-37 и 237))
 
<li> Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990 (Вопрос 37 (стр. 36-37 и 237))
 
</ol>
 
</ol>
 
===Задачи на экзамене===
 
 
В билете кроме двух теоретических вопросов указана тема задачи. Всего тем четыре: алгебра логики, графы, коды, автоматы.
 
 
По итогам контрольных работ каждый студент по каждой из этих четырех тем получает одну из трех оценок — 1, 0,5 или 0.
 
 
Оценка 1 по определенной теме означает освобождение от задачи по этой теме, если она попадается ему в билете. Оценка 0 означает дополнительную задачу по этой теме на экзамене. Все дополнительные задачи (по одной задаче по каждой теме, за которую 0) решаются студентом до выбора билета. Если студент не решил достаточного числа дополнительных задач, то ему может быть поставлена оценка неуд (без возможности выбрать билет). Если студент решил не все дополнительные задачи и тянет билет, то ему снижается оценка с учетом числа нерешенных дополнительных задач.
 
 
Задачи решаются без конспектов.
 
 
После ответа на билет экзаменатор может опрашивать студента по всему материалу (определения, формулировки теорем, идеи доказательств). Кроме того, экзаменатор может предлагать студенту решить задачи по любым темам из курса (в том числе, по которым у студента 1).
 
 
На пересдаче нет освобождения от задач и дополнительных задач: студент отвечает на два теоретических вопроса в билете и решает задачу из билета.
 
 
  
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]

Версия 16:00, 16 сентября 2021

Лекторы

Экзамен (2021 г.)

Вторая пересдача экзамена состоится 18 сентября (в субботу) очно в ауд. 609. Начало в 12 ч.

Экзамен письменный. Экзаменационная работа содержит десять заданий разной сложности по содержанию курса. Первые четыре задания - стандартные задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания - формулировки определений или теорем с дополнительными вопросами, они оцениваются также в 3 балла каждое. Оставшиеся два задания - вопросы, связанные с доказательствами, или нестандартные задачи, они оцениваются в 4 балла каждое.

Продолжительность написания работы - 2 ч (120 мин).

Примерный вариант экзаменационной работы

Экзамен проводится очно в аудитории 609. Работу нужно написать разборчиво от руки на светлых листах контрастной ручкой. Каждый лист работы нужно подписать: фамилию, инициалы и номер группы. После окончания экзамена выполненные работы сдаются экзаменаторам. Но предварительно выполненную работу нужно отсканировать или сфотографировать. Затем сканы или фотографии работы в формате pdf, jpg или png нужно отослать по эл. почте dm1@cs.msu.ru, в теме письма нужно написать фамилию, инициалы и номер группы студента, выполнившего работу.

Оценки за экзамен станут известны 20 сентября (в понедельник) в 14 ч. После этого по эл. почте dm1@cs.msu.ru будут приниматься апелляции. Во вторник, 21 сентября, в 12 ч апелляции будут рассматриваться очно. После обсуждения всех апелляций оценки будут поставлены в ведомости.

Стандартные задачи к экзамену

  • Найти существенные и фиктивные переменные заданной функции алгебры логики.
  • Найти совершенную ДНФ, совершенную КНФ или полином Жегалкина заданной функции алгебры логики.
  • Подсчитать число функций алгебры логики, зависящих от n переменных, в заданном множестве.
  • Проверить полноту заданной системы функций алгебры логики (конечной или бесконечной).
  • Проверить, является ли данная система функций алгебры логики базисом, или выделить из заданной системы функций алгебры логики все базисы.
  • Записать заданную k-значную функцию в 1-й или 2-й форме.
  • Найти полином по модулю k заданной k-значной функции при заданном простом числе k или проверить, можно ли представить заданную k-значную функцию полиномом по модулю k при заданном составном числе k.
  • Найти число неизоморфных графов с заданными свойствами и изобразить эти графы.
  • Найти код упорядоченного корневого дерева или восстановить упорядоченное корневое дерево по коду.
  • Найти в заданном графе подграф, гомеоморфный графу K_5 или графу K_3,3.
  • Проверить, является ли заданный граф планарным.
  • Проверить, найдется ли планарный граф с заданными свойствами.
  • Найти хроматическое число или хроматический индекс заданного графа.
  • Проверить разделимость заданного алфавитного кода (по алгоритму).
  • Проверить разделимость заданного алфавитного кода по неравенству Макмиллана или построить префиксный код с заданными длинами кодовых слов.
  • Найти оптимальный алфавитный двоичный код по заданному набору частот.
  • Определить, сколько ошибок замещения обнаруживает или исправляет заданный равномерный код.
  • Закодировать или исправить ошибку и декодировать сообщение в коде Хэмминга.
  • Найти кодовое расстояние заданного линейного кода.
  • Найти диаграмму Мура автоматной функции, заданной описанием.
  • Найти диаграмму Мура, каноническую таблицу, канонические уравнения или СФЭ с задержками автоматной функции, заданной одним из перечисленных способов.
  • Построить диаграмму Мура, в которой любые два различные состояния отличимы, для заданной автоматной функции.

Вопросы к экзамену по курсу «Дискретная математика», 2021 год.

Часть А

  1. Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма. Метод ее построения по конъюнктивной нормальной форме (метод Нельсона) (вопрос № 1 только для студентов 2-3 потоков).
  2. Алгоритм построения вектора коэффициентов полинома Жегалкина (с обоснованием).
  3. Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость.
  4. Лемма о нелинейной функции.
  5. Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики.
  6. Теорема о предполных классах.
  7. Теоремы о представлении k-значных функций 2-й формой и полиномами.
  8. Деревья. Свойства деревьев.
  9. Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева (с обоснованием).
  10. Теорема о раскраске планарных графов в 5 цветов.
  11. Алгоритм распознавания взаимной однозначности (разделимости) алфавитного кодирования (с обоснованием).
  12. Теорема Маркова о взаимной однозначности (разделимости) алфавитного кодирования.
  13. Неравенство Макмиллана.
  14. Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов.
  15. Теорема редукции.
  16. Коды с исправлением r ошибок. Оценка функции Mr(n).
  17. Коды Хэмминга. Оценка функции M1(n).
  18. Схемы из функциональных элементов и элементов задержки. Автоматность осуществляемых ими отображений.
  19. Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементов задержки.
  20. Теорема Мура. Пример автомата, на котором достигается оценка теоремы Мура.
  21. Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка ее сложности.

Часть В

  1. Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций.
  2. Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
  3. Полные системы. Примеры полных систем (с доказательством полноты).
  4. Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом.
  5. Понятие замкнутого класса. Замкнутость классов T0, T1, L.
  6. Класс монотонных функций, его замкнутость.
  7. Лемма о несамодвойственной функции.
  8. Лемма о немонотонной функции.
  9. Теорема о максимальном числе функций в базисе в алгебре логики.
  10. k-значные функции. Теорема о представлении k-значных функций 1-й формой.
  11. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность.
  12. Корневые деревья. Верхняя оценка их числа.
  13. Геометрическая реализация графов. Теорема о реализации графов в трехмерном пространстве.
  14. Планарные (плоские) графы. Формула Эйлера.
  15. Доказательство непланарности графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского (доказательство в одну сторону).
  16. Теорема о раскраске вершин графа в 2 цвета (теорема Кенига).
  17. Оптимальные коды, их свойства.
  18. Линейные двоичные коды. Теорема о кодовом расстоянии линейных кодов.
  19. Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами.
  20. Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель.
  21. Понятие автоматных функций, их представление диаграммой Мура. Единичная задержка.

Литература

  1. Собственный конспект лекций.
  2. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012. (Вопросы 3-6, 8, 10-36, 38, 40-42)
  3. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004. Электронный ресурс. (Вопросы 3-6, 8, 10-36, 38, 40-42)
  4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986. (Вопросы 1, 3-7, 12-14, 22-31)
  5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. (Вопрос 2 (стр. 53-56) и вопрос 39 (задача 4.9 из главы 7))
  6. Алексеев В.Б. Введение в теорию сложности алгоритмов. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ, 2002 (Вопрос 9)
  7. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990 (Вопрос 37 (стр. 36-37 и 237))