Вероятностные и квантовые алгоритмы

Лектор - профессор Алексеев Валерий Брисович.

Курс читается для группы 618/1 в осеннем семестре. Лекции - 3 ч в неделю. Форма отчетности - экзамен.

Объявления

Вопросы к экзамену

Программа курса

• Лекция 1. Комбинаторные объекты и комбинаторные числа. Правило суммы и правило произведения. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями. Их число и рекуррентные формулы для них. Теорема о числе сочетаний с повторениями. Лекция 1

Задачи к лекции: найти число объектов определенного вида.

• Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов и их последовательностей. Формула бинома Ньютона. Производящие функции, вычисление сумм и доказательство комбинаторных тождеств. Формула включений-исключений и ее производные случаи. Лекция 2

Задачи к лекции: при помощи производящих функций вычислить комбинаторную сумму или доказать комбинаторное тождество; при помощи формулы включений-исключений найти число объектов определенного вида.

• Лекция 3. Функции натурального аргумента (последовательности). Рекуррентные уравнения. Линейные однородные рекуррентные уравнения (ЛОРУ). Частное решение ЛОРУ, лемма о линейной комбинации частных решений ЛОРУ. Общее решение ЛОРУ. Характеристический многочлен ЛОРУ. Теоремы об общем решении ЛОРУ. Линейные неоднородные рекуррентные уравнения (ЛНРУ), их частные и общие решения. Теорема об общем решении ЛНРУ. Теорема о частном решении ЛНРУ. Лекция 3

Задачи к лекции: решить заданное ЛОРУ или ЛНРУ.

• Лекция 4. Схемы из функциональных элементов (СФЭ) в некотором базисе. Сложность и глубина СФЭ. Примеры. Метод синтеза СФЭ по ДНФ. [2] стр. 40-41.

Задачи к лекции: для заданной функции алгебры логики или системы функций алгебры логики построить СФЭ в заданном базисе с заданной сложностью или глубиной.

• Лекция 5. Сумматор. Сложность одноразрядного сумматора. Теорема о верхней оценке сложности n-разрядного сумматора в базисе из конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Вычитатель. Теорема о верхней оценке сложности n-разрядного вычитателя в базисе из конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. [2] стр. 43-44.

Задачи к лекции: построить n-разрядный сумматор или вычитатель при заданном n.

• Лекция 6. Умножитель. Леммы о сложности СФЭ для умножения на разряд и на степень двойки. Лемма о соотношении сложностей СФЭ для (n+1)-разрядного и n-разрядного умножителей. Теорема Карацубы о сложности СФЭ для n-разрядного умножителя. [2] стр. 45-48.

Задачи к лекции: построить n-разрядный умножитель при заданном n.

• Лекция 7. Конечные автоматы (КА) без выхода (конечные автоматы-распознаватели). Диаграммы переходов. Автоматные множества (языки). Лемма о свойствах автоматных множеств. Пример неавтоматного множества. Лекция 7

Задачи к лекции: по заданной диаграмме переходов найти язык, принимаемый этим автоматом; доказать автоматность языка, построив диаграмму переходов автомата, принимающего этот язык.

• Лекция 8. Недетерминированные конечные автоматы (НКА) без выхода. Теорема о совпадении классов множеств, принимаемых недетерминированными и детерминированными конечными автоматами. Процедура детерминизации НКА. Лекция 8

Задачи к лекции: детерминизировать заданный НКА.

• Лекция 9. Операции над конечно-автоматными множествами. Дополнение, объединение, пересечение, произведение и итерация автоматных множеств, их автоматность. Лекция 9

Задачи к лекции: по заданным ДКА без выхода построить НКА, принимающие множества, являющиеся дополнением, объединением, произведением или итерацией множеств, принимаемых исходными ДКА; провести детерминизацию полученных НКА.

• Лекция 10. Регулярные выражения и регулярные множества. Теорема о совпадении классов регулярных множеств и автоматных множеств. Лекция 10

Задачи к лекции: по заданному регулярному выражению построить КА, принимающий регулярное множество, соответствующее этому регулярному выражению; по заданному автоматному множеству построить регулярное выражение, определяющее это автоматное множество.

• Лекция 11. Конечные автоматы с выходом (КАВ) (конечные автоматы-преобразователи). Диаграммы переходов, канонические уравнения. Автоматные функции. Функция единичной задержки, доказательство ее автоматности. Пример неавтоматной функции. Лекция 11

Задачи к лекции: по описанию функции доказать ее неавтоматность или доказать ее автоматность, построив диаграмму переходов автомата для этой функции.

• Лекция 12. Схемы из функциональных элементов с элементами задержки (СФЭз), автоматность осуществляемых ими отображений. Реализация КАВ СФЭз. Лекции 12-13

Задачи к лекции: по заданной СФЭз построить КАВ, реализуемый этой схемой; построить СФЭз, реализующий заданный КАВ.

• Лекция 13. Упрощение конечных автоматов с выходом. Лемма о двух отличимых состояниях КАВ. Теорема Мура о длине эксперимента, отличающего два отличимые состояния КАВ.

Задачи к лекции: упростить заданный КАВ, представленный диаграммой переходов.

Литература

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: МАКС Пресс, 2004.
3. Марченков С.С. Конечные автоматы. М.: Физматлит, 2008 (Часть 1).
4. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2008.
5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
6. Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2010.

Программа семинарских занятий

• Занятие 1. Подсчет числа комбинаторных объектов. Правила суммы и произведения.

[1] Гл. VIII 1.1(1, 2), 1.2(1-2), 1.4(1-3), 1.6, 1.8(1-3), 1.9(1, 2), 1.10(1, 2), 1.11(1-3).

На дом: [1] Гл. VIII 1.1(3), 1.5(1-2), 1.7, 1.8(4-7), 1.9(3), 1.10(3), 1.12(1-3).

• Занятие 2. Свойства биномиальных коэффициентов и их сумм.

[1] Гл. VIII 1.13(1-4), 1.14(1, 3, 5, 7), 1.18(1, 3, 5, 7, 9, 12), 1.21(1, 3), 1.22(1, 3), 1.25(1, 2).

На дом: [1] Гл. VIII 1.13(5-8), 1.14(2, 4, 6), 1.18(2, 4, 6, 8, 10), 1.21(2, 4), 1.22(2, 4), 1.25(3, 4).

• Занятие 3. Принцип включений-исключений.

[1] Гл. VIII 2.1(2-3), 2.4(1-2), 2.5(1, 3), 2.6(1, 3, 5), 2.2, 2.7(1, 3), 2.8.

На дом: [1] Гл. VIII 2.5(2), 2.6(2, 4, 6), 2.7(2, 4), 2.9.

• Занятие 4. Рекуррентные уравнения.

[1] Гл. VIII 3.2(1, 3, 5), 3.3(1, 3, 5), 3.5(1-3), 3.6(2), 3.7(5).

На дом: [1] Гл. VIII 3.2(2, 4, 6), 3.3(2, 4), 3.5(4-5), 3.6(3).

• Занятие 5. Понятие схемы в некотором базисе. Метод синтеза по ДНФ.

[1] Гл. X 1.4(р. 10.2 а)-в)), 1.1(1-2, 5), 1.18(1-3), 1.2(1-2), 1.5(1-2), 1.7(1-2, 5), 1.8.

На дом: [1] Гл. X 1.1(3-4, 6-7), 1.18(4-6), 1.2(3-4), 1.5(3-4), 1.7(3-4, 6).

• Занятие 6. Синтез некоторых систем функций алгебры логики.

[1] Гл. X 1.9(1-2), 1.10, 1.11(1-2), 1.12(1, 3), 1.13(1), 1.10, 2.8 (1-3, СФЭ с уменьшением сложности).

На дом: [1] Гл. X 1.9(3), 1.11(3), 1.12(2), 1.13(2), 1.17, 2.8 (4-6, СФЭ с уменьшением сложности).

• Занятие 7. Контрольная работа по темам "Комбинаторика" и "СФЭ" (2 ч).

• Занятие 8. Конечные автоматы без выхода (КА) и автоматные множества. Диаграмма переходов.

[2] 1(1-3, 7), 2(1, 3), 9.

На дом: [2] 1(4-6, 8), 2(2, 4), 10.

• Занятие 9. Недетерминированные конечные автоматы без выхода (НКА). Детерминизация НКА.

[2] 3(1, 3), 4(1, 3), 7(1), 8(1).

На дом: [2] 3(2, 4), 4(2, 4), 7(2), 8(2).

• Занятие 10. Регулярные выражения и регулярные множества. Упрощения КА.

[2] 5(1, 2), 6(1, 3, 5, 7).

На дом: [2] 5(3, 4), 6(2, 4, 6, 8).

• Занятие 11. Конечные автоматы с выходом (КАВ). Диаграмма Мура и канонические уравнения.

[1] Гл. IV 1.1(1-4), 1.2(1-2), 2.1(1, 3, 15, 24, 27).

На дом: [1] Гл. IV 1.1(8-12), 1.2(3-4), 2.1(4, 8, 16, 25, 28).

• Занятие 12. Реализация КАВ СФЭз. Упрощения КАВ.

[1] Гл. IV 2.13(1, 4, 7), 2.14(1, 3), 2.4(1-3).

На дом: [1] Гл. IV 2.13(2, 3, 10), 2.14(2, 4), 2.4(4-6).

• Занятие 13. Контрольная работа по темам «КА» и «КАВ» (2 ч).

Литература

1. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
2. Задачи для семинарских занятий по теме "Конечные автоматы без выхода"
3. Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2010.