Вероятностные и квантовые алгоритмы — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Программа курса)
Строка 13: Строка 13:
 
==Программа курса==
 
==Программа курса==
  
−
*Лекция 1. Комбинаторные объекты и комбинаторные числа. Правило суммы и правило произведения. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями. Их число и рекуррентные формулы для них. Теорема о числе сочетаний с повторениями. [[Media:dm2-lect1-selezn.pdf|Лекция 1]]
+
*Лекция 1. Вероятностный анализ алгоритмов. Алгоритм динамического программирования для задачи упаковки подмножеств. Его полиномиальность «в среднем».
  
−
Задачи к лекции: найти число объектов определенного вида.
+
*Лекция 2. Алгоритм динамического программирования для задачи «Выполнимость КНФ». Его полиномиальность «в среднем».
  
−
*Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов и их последовательностей. Формула бинома Ньютона. Производящие функции, вычисление сумм и доказательство комбинаторных тождеств. Формула включений-исключений и ее производные случаи. [[Media:dm2-lect2-selezn.pdf|Лекция 2]]
+
*Лекция 3. Жадный алгоритм для задачи о покрытии. Его точность для почти всех входов.
  
−
Задачи к лекции: при помощи производящих функций вычислить комбинаторную сумму или доказать комбинаторное тождество; при помощи формулы включений-исключений найти число объектов определенного вида.
+
*Лекция 4. Вероятностные алгоритмы и их анализ. Вероятностный алгоритм Фрейвалда для проверки матричного тождества с оценкой вероятности ошибки. Вероятностный алгоритм проверки тождеств для многочлена. Оценка вероятности ошибки.
  
−
*Лекция 3. Функции натурального аргумента (последовательности). Рекуррентные уравнения. Линейные однородные рекуррентные уравнения (ЛОРУ). Частное решение ЛОРУ, лемма о линейной комбинации частных решений ЛОРУ. Общее решение ЛОРУ. Характеристический многочлен ЛОРУ. Теоремы об общем решении ЛОРУ. Линейные неоднородные рекуррентные уравнения (ЛНРУ), их частные и общие решения. Теорема об общем решении ЛНРУ. Теорема о частном решении ЛНРУ. [[Media:dm2-lect3-selezn.pdf|Лекция 3]]
+
*Лекция 5. Вероятностные методы в перечислительных задачах. Полностью полиномиальная рандомизированная аппроксимационная схема с двумя параметрами для задачи о мощности объединения множеств. Следствие для задачи о числе выполняющих наборов для ДНФ.
−
+
−
Задачи к лекции: решить заданное ЛОРУ или ЛНРУ.
+
  
−
*Лекция 4. Схемы из функциональных элементов (СФЭ) в некотором базисе. Сложность и глубина СФЭ. Примеры. Метод синтеза СФЭ по ДНФ. [2] стр. 40-41.
+
*Лекция 6. Вероятностные методы в параллельных вычислениях. Параллельный алгоритм для поиска максимального по включению независимого множества в графе. Оценка времени его работы.
−
+
−
Задачи к лекции: для заданной функции алгебры логики или системы функций алгебры логики построить СФЭ в заданном базисе с заданной сложностью или глубиной.  
+
  
−
*Лекция 5. Сумматор. Сложность одноразрядного сумматора. Теорема о верхней оценке сложности n-разрядного сумматора в базисе из конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Вычитатель. Теорема о верхней оценке сложности n-разрядного вычитателя в базисе из конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. [2] стр. 43-44.
+
*Лекция 7. Вероятностные методы в распределенных вычислениях. Вероятностный протокол византийского соглашения. Оценка числа раундов.
−
+
−
Задачи к лекции: построить n-разрядный сумматор или вычитатель при заданном n.
+
  
−
*Лекция 6. Умножитель. Леммы о сложности СФЭ для умножения на разряд и на степень двойки. Лемма о соотношении сложностей СФЭ для (n+1)-разрядного и n-разрядного умножителей. Теорема Карацубы о сложности СФЭ для n-разрядного умножителя. [2] стр. 45-48.
+
*Лекция 8. Вероятностное округление. Приближенный вероятностный алгоритм для задачи «Максимальная выполнимость» на основе линейной релаксации. Оценка его точности в среднем.  
−
+
−
Задачи к лекции: построить n-разрядный умножитель при заданном n.
+
  
−
*Лекция 7. Конечные автоматы (КА) без выхода (конечные автоматы-распознаватели). Диаграммы переходов. Автоматные множества (языки). Лемма о свойствах автоматных множеств. Пример неавтоматного множества. [[Media:dm2-lect7-selezn1.pdf|Лекция 7]]
+
*Лекция 9. Метод условных вероятностей для дерандомизации алгоритмов. Детерминированный алгоритм для задачи «Максимальная выполнимость», построенный путем дерандомизации. Его сложность.  
−
+
−
Задачи к лекции: по заданной диаграмме переходов найти язык, принимаемый этим автоматом; доказать автоматность языка, построив диаграмму переходов автомата, принимающего этот язык.  
+
  
−
*Лекция 8. Недетерминированные конечные автоматы (НКА) без выхода. Теорема о совпадении классов множеств, принимаемых недетерминированными и детерминированными конечными автоматами. Процедура детерминизации НКА. [[Media:dm2-lect8-selezn.pdf|Лекция 8]]
+
*Лекция 10. Вероятностные вычисления. Односторонние ошибки. Классы сложности RP, coRP, RPweak, RPstrong. Их соотношение с классами NP, coNP и между собой.
−
+
−
Задачи к лекции: детерминизировать заданный НКА.  
+
  
−
*Лекция 9. Операции над конечно-автоматными множествами. Дополнение, объединение, пересечение, произведение и итерация автоматных множеств, их автоматность. [[Media:dm2-lect9-selezn.pdf|Лекция 9]]
+
*Лекция 11. Двухсторонние ошибки. Классы сложности BPP, BPPweak, BPPstrong. Соотношение между ними.
  
−
Задачи к лекции: по заданным ДКА без выхода построить НКА, принимающие множества, являющиеся дополнением, объединением, произведением или итерацией множеств, принимаемых исходными ДКА; провести детерминизацию полученных НКА.  
+
*Лекция 12. Классы сложности PP, PPweak.  Их соотношение между собой и с классами NP, PSPACE.
  
−
*Лекция 10. Регулярные выражения и регулярные множества. Теорема о совпадении классов регулярных множеств и автоматных множеств. [[Media:dm2-lect10-selezn.pdf|Лекция 10]]
+
*Лекция 13. Класс сложности ZPP. Его соотношение с классами RP, coRP.
−
+
−
Задачи к лекции: по заданному регулярному выражению построить КА, принимающий регулярное множество, соответствующее этому регулярному выражению; по заданному автоматному множеству построить регулярное выражение, определяющее это автоматное множество.  
+
  
−
*Лекция 11. Конечные автоматы с выходом (КАВ) (конечные автоматы-преобразователи). Диаграммы переходов, канонические уравнения. Автоматные функции. Функция единичной задержки, доказательство ее автоматности. Пример неавтоматной функции. [[Media:dm2-lect11-selezn.pdf|Лекция 11]]
+
*Лекция 14. Алгебраические основы квантовых вычислений. Тензорное произведение линейных пространств, теорема о его согласованности со скалярным произведением (для унитарных пространств). Тензорное произведение линейных операторов, теорема о его дистрибутивности при действии на разложимый вектор.  
−
+
−
Задачи к лекции: по описанию функции доказать ее неавтоматность или доказать ее автоматность, построив диаграмму переходов автомата для этой функции.
+
  
−
*Лекция 12. Схемы из функциональных элементов с элементами задержки (СФЭз), автоматность осуществляемых ими отображений. Реализация КАВ СФЭз. [[Media:dm2-lect12-selezn.pdf|Лекции 12-13]]
+
*Лекция 15. Обратимые классические схемы. Теорема о связи вычислений булевыми схемами и обратимыми схемами.  
  
−
Задачи к лекции: по заданной СФЭз построить КАВ, реализуемый этой схемой; построить СФЭз, реализующий заданный КАВ.
+
*Лекция 16. Квантовые компьютеры и квантовые схемы. Квантовые схемы для двух операторов отражения относительно гиперплоскости, их сложность.  
  
−
*Лекция 13. Упрощение конечных автоматов с выходом. Лемма о двух отличимых состояниях КАВ. Теорема Мура о длине эксперимента, отличающего два отличимые состояния КАВ. 
+
*Лекция 17. Квантовые вычисления. Квантовый алгоритм Гровера для задачи поиска, его сложность.
−
+
−
Задачи к лекции: упростить заданный КАВ, представленный диаграммой переходов.
+
  
 
'''Литература'''
 
'''Литература'''
  
−
# Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
+
# Кузюрин Н.Н., Фомин С.А. Эффективные алгоритмы и сложность вычислений  (авторское электронное издание), стр. 122-147, 161-195, 207-212, 273-291.  
−
# [[Media:dm-alekseev.pdf|Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике]]. М.: МАКС Пресс, 2004.
+
discopal.ispras.ru/img_auth.php/f/f4/Book-advanced-algorithms.pdf
−
# Марченков С.С. Конечные автоматы. М.: Физматлит, 2008 ([[Media:ka-march-part1.pdf|Часть 1]]).
+
или
−
# Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2008.
+
# Кузюрин Н.Н., Фомин С.А. Эффективные алгоритмы и сложность вычислений: Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2007, стр. 99-120, 129-160, 169-173, 227-244.
−
# Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
+
 
−
# [[Media:odm-selezn.pdf|Селезнева С.Н. Основы дискретной математики]]. М.: МАКС Пресс, 2010.
+
# А. Китаев, А. Шень, М. Вялый. Классические и квантовые вычисления. – М.: МЦМНО, ЧеРо, 1999, стр. 48-58, 66-71.
  
 
==Программа семинарских занятий==
 
==Программа семинарских занятий==

Версия 12:58, 30 ноября 2017


Лектор - профессор Алексеев Валерий Борисович.

Курс читается для группы 618/1 в осеннем семестре. Лекции - 3 ч в неделю. Форма отчетности - экзамен.

Объявления

Вопросы к экзамену на январь 2018 года

Программа курса

  • Лекция 1. Вероятностный анализ алгоритмов. Алгоритм динамического программирования для задачи упаковки подмножеств. Его полиномиальность «в среднем».
  • Лекция 2. Алгоритм динамического программирования для задачи «Выполнимость КНФ». Его полиномиальность «в среднем».
  • Лекция 3. Жадный алгоритм для задачи о покрытии. Его точность для почти всех входов.
  • Лекция 4. Вероятностные алгоритмы и их анализ. Вероятностный алгоритм Фрейвалда для проверки матричного тождества с оценкой вероятности ошибки. Вероятностный алгоритм проверки тождеств для многочлена. Оценка вероятности ошибки.
  • Лекция 5. Вероятностные методы в перечислительных задачах. Полностью полиномиальная рандомизированная аппроксимационная схема с двумя параметрами для задачи о мощности объединения множеств. Следствие для задачи о числе выполняющих наборов для ДНФ.
  • Лекция 6. Вероятностные методы в параллельных вычислениях. Параллельный алгоритм для поиска максимального по включению независимого множества в графе. Оценка времени его работы.
  • Лекция 7. Вероятностные методы в распределенных вычислениях. Вероятностный протокол византийского соглашения. Оценка числа раундов.
  • Лекция 8. Вероятностное округление. Приближенный вероятностный алгоритм для задачи «Максимальная выполнимость» на основе линейной релаксации. Оценка его точности в среднем.
  • Лекция 9. Метод условных вероятностей для дерандомизации алгоритмов. Детерминированный алгоритм для задачи «Максимальная выполнимость», построенный путем дерандомизации. Его сложность.
  • Лекция 10. Вероятностные вычисления. Односторонние ошибки. Классы сложности RP, coRP, RPweak, RPstrong. Их соотношение с классами NP, coNP и между собой.
  • Лекция 11. Двухсторонние ошибки. Классы сложности BPP, BPPweak, BPPstrong. Соотношение между ними.
  • Лекция 12. Классы сложности PP, PPweak. Их соотношение между собой и с классами NP, PSPACE.
  • Лекция 13. Класс сложности ZPP. Его соотношение с классами RP, coRP.
  • Лекция 14. Алгебраические основы квантовых вычислений. Тензорное произведение линейных пространств, теорема о его согласованности со скалярным произведением (для унитарных пространств). Тензорное произведение линейных операторов, теорема о его дистрибутивности при действии на разложимый вектор.
  • Лекция 15. Обратимые классические схемы. Теорема о связи вычислений булевыми схемами и обратимыми схемами.
  • Лекция 16. Квантовые компьютеры и квантовые схемы. Квантовые схемы для двух операторов отражения относительно гиперплоскости, их сложность.
  • Лекция 17. Квантовые вычисления. Квантовый алгоритм Гровера для задачи поиска, его сложность.

Литература

  1. Кузюрин Н.Н., Фомин С.А. Эффективные алгоритмы и сложность вычислений (авторское электронное издание), стр. 122-147, 161-195, 207-212, 273-291.

discopal.ispras.ru/img_auth.php/f/f4/Book-advanced-algorithms.pdf или

  1. Кузюрин Н.Н., Фомин С.А. Эффективные алгоритмы и сложность вычислений: Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2007, стр. 99-120, 129-160, 169-173, 227-244.
  1. А. Китаев, А. Шень, М. Вялый. Классические и квантовые вычисления. – М.: МЦМНО, ЧеРо, 1999, стр. 48-58, 66-71.

Программа семинарских занятий

  • Занятие 1. Подсчет числа комбинаторных объектов. Правила суммы и произведения.

[1] Гл. VIII 1.1(1, 2), 1.2(1-2), 1.4(1-3), 1.6, 1.8(1-3), 1.9(1, 2), 1.10(1, 2), 1.11(1-3).

На дом: [1] Гл. VIII 1.1(3), 1.5(1-2), 1.7, 1.8(4-7), 1.9(3), 1.10(3), 1.12(1-3).

  • Занятие 2. Свойства биномиальных коэффициентов и их сумм.

[1] Гл. VIII 1.13(1-4), 1.14(1, 3, 5, 7), 1.18(1, 3, 5, 7, 9, 12), 1.21(1, 3), 1.22(1, 3), 1.25(1, 2).

На дом: [1] Гл. VIII 1.13(5-8), 1.14(2, 4, 6), 1.18(2, 4, 6, 8, 10), 1.21(2, 4), 1.22(2, 4), 1.25(3, 4).

  • Занятие 3. Принцип включений-исключений.

[1] Гл. VIII 2.1(2-3), 2.4(1-2), 2.5(1, 3), 2.6(1, 3, 5), 2.2, 2.7(1, 3), 2.8.

На дом: [1] Гл. VIII 2.5(2), 2.6(2, 4, 6), 2.7(2, 4), 2.9.

  • Занятие 4. Рекуррентные уравнения.

[1] Гл. VIII 3.2(1, 3, 5), 3.3(1, 3, 5), 3.5(1-3), 3.6(2), 3.7(5).

На дом: [1] Гл. VIII 3.2(2, 4, 6), 3.3(2, 4), 3.5(4-5), 3.6(3).

  • Занятие 5. Понятие схемы в некотором базисе. Метод синтеза по ДНФ.

[1] Гл. X 1.4(р. 10.2 а)-в)), 1.1(1-2, 5), 1.18(1-3), 1.2(1-2), 1.5(1-2), 1.7(1-2, 5), 1.8.

На дом: [1] Гл. X 1.1(3-4, 6-7), 1.18(4-6), 1.2(3-4), 1.5(3-4), 1.7(3-4, 6).

  • Занятие 6. Синтез некоторых систем функций алгебры логики.

[1] Гл. X 1.9(1-2), 1.10, 1.11(1-2), 1.12(1, 3), 1.13(1), 1.10, 2.8 (1-3, СФЭ с уменьшением сложности).

На дом: [1] Гл. X 1.9(3), 1.11(3), 1.12(2), 1.13(2), 1.17, 2.8 (4-6, СФЭ с уменьшением сложности).

  • Занятие 7. Контрольная работа по темам "Комбинаторика" и "СФЭ" (2 ч).
  • Занятие 8. Конечные автоматы без выхода (КА) и автоматные множества. Диаграмма переходов.

[2] 1(1-3, 7), 2(1, 3), 9.

На дом: [2] 1(4-6, 8), 2(2, 4), 10.

  • Занятие 9. Недетерминированные конечные автоматы без выхода (НКА). Детерминизация НКА.

[2] 3(1, 3), 4(1, 3), 7(1), 8(1).

На дом: [2] 3(2, 4), 4(2, 4), 7(2), 8(2).

  • Занятие 10. Регулярные выражения и регулярные множества. Упрощения КА.

[2] 5(1, 2), 6(1, 3, 5, 7).

На дом: [2] 5(3, 4), 6(2, 4, 6, 8).

  • Занятие 11. Конечные автоматы с выходом (КАВ). Диаграмма Мура и канонические уравнения.

[1] Гл. IV 1.1(1-4), 1.2(1-2), 2.1(1, 3, 15, 24, 27).

На дом: [1] Гл. IV 1.1(8-12), 1.2(3-4), 2.1(4, 8, 16, 25, 28).

  • Занятие 12. Реализация КАВ СФЭз. Упрощения КАВ.

[1] Гл. IV 2.13(1, 4, 7), 2.14(1, 3), 2.4(1-3).

На дом: [1] Гл. IV 2.13(2, 3, 10), 2.14(2, 4), 2.4(4-6).

  • Занятие 13. Контрольная работа по темам «КА» и «КАВ» (2 ч).

Литература

  1. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
  2. Задачи для семинарских занятий по теме "Конечные автоматы без выхода"
  3. Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2010.
Источник — «https://mk.cs.msu.ru/index.php?title=Вероятностные_и_квантовые_алгоритмы&oldid=4498»