Дискретная математика (1й курс) — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Экзамен (2020 г.))
(→‎Литература)
 
(не показаны 43 промежуточных версий 3 участников)
Строка 4: Строка 4:
 
*проф.  [[Селезнева Светлана Николаевна| Селезнева Светлана Николаевна]]
 
*проф.  [[Селезнева Светлана Николаевна| Селезнева Светлана Николаевна]]
  
−
==Экзамен (2020 г.)==
+
== Экзамен 2024. Вопросы к экзамену по курсу «Дискретная математика» для 2 и 3 потоков, 2024 год.==
  
−
Экзамен письменный. Экзаменационная работа содержит десять заданий разной сложности по содержанию курса. Первые четыре задания - стандартные задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания - формулировки определений или теорем с дополнительными вопросами. Вопросы проясняют понимание студентом определения или теоремы. Они оцениваются также в 3 балла каждое. Оставшиеся два задания - вопросы, связанные с доказательствами, или нестандартные задачи. Они показывают, может ли студент обосновывать утверждения и извлекать новые заключения из полученных знаний в курсе, оцениваются в 4 балла каждое.  
+
Экзамен планируется устный. В билете 2 вопроса (один из части А и один из части В) и задача.
  
−
Работу нужно написать от руки на светлых листах контрастной ручкой. После выполнения работы ее нужно отсканировать или сфотографировать. Затем сканы или фотографии работы в формате pdf, jpg или png отправить на проверку (загрузить по определенной ссылке, ссылка будет разослана старостам групп). На фотографирование или сканирование работы и ее отправку отводится 15 мин. Если работа студента не получена через определенное время после начала экзамена, то считается, что студент работу не сдал.
+
===Часть А===
−
 
+
Часть А – ответ без подготовки, по любым материалам (конспекты, книжки, распечатки лекций и т.д.). Можно смотреть текст на ноутбуке, но нельзя пользоваться мобильными телефонами. Проверяется, насколько осознаны все доказательства (основной вопрос – «почему?»). Определения и формулировки – без конспектов.  
−
[[Media: example-dm1-exam.pdf | Примерный вариант экзаменационной работы]]
+
−
 
+
−
'''Типовые задачи к экзамену'''
+
−
 
+
−
*Найти существенные и фиктивные переменные заданной функции алгебры логики.
+
−
*Найти совершенную ДНФ, совершенную КНФ или полином Жегалкина заданной функции алгебры логики.
+
−
*Подсчитать число функций алгебры логики, зависящих от n переменных, в заданном множестве.
+
−
*Проверить полноту заданной системы функций алгебры логики (конечной или бесконечной).
+
−
*Проверить, является ли данная система функций алгебры логики базисом, или выделить из заданной системы функций алгебры логики все базисы.
+
−
*Записать заданную k-значную функцию в 1-й или 2-й форме.
+
−
*Найти полином по модулю k заданной k-значной функции при заданном простом числе k или проверить, можно ли представить заданную k-значную функцию полиномом по модулю k при заданном составном числе k.
+
−
*Найти число неизоморфных графов с заданными свойствами и изобразить эти графы.
+
−
*Найти код упорядоченного корневого дерева или восстановить упорядоченное корневое дерево по коду.
+
−
*Найти в заданном графе подграф, гомеоморфный графу K_5 или графу K_3,3.
+
−
*Проверить, является ли заданный граф планарным.
+
−
*Проверить, найдется ли планарный граф с заданными свойствами.
+
−
*Найти хроматическое число или хроматический индекс заданного графа.
+
−
*Проверить разделимость заданного алфавитного кода (по алгоритму).
+
−
*Проверить разделимость заданного алфавитного кода по неравенству Макмиллана или построить префиксный код с заданными длинами кодовых слов.
+
−
*Найти оптимальный алфавитный двоичный код по заданному набору частот.
+
−
*Определить, сколько ошибок замещения обнаруживает или исправляет заданный равномерный код.
+
−
*Закодировать или исправить ошибку и декодировать сообщение в коде Хэмминга.
+
−
*Найти кодовое расстояние заданного линейного кода.
+
−
*Найти диаграмму Мура автоматной функции, заданной описанием.
+
−
*Найти диаграмму Мура, каноническую таблицу, канонические уравнения или СФЭ с задержками автоматной функции, заданной одним из перечисленных способов.
+
−
*Построить диаграмму Мура, в которой любые два различных состояния отличимы, для заданной автоматной функции.
+
−
 
+
−
== Вопросы к экзамену по курсу «Дискретная математика», 2020 год.==
+
−
 
+
−
===Часть А===
+
 
<ol>
 
<ol>
−
<li> Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма. Метод ее построения по конъюнктивной нормальной форме (метод Нельсона) (вопрос № 1 только для студентов 2-3 потоков).
 
 
<li> Алгоритм построения вектора коэффициентов полинома Жегалкина (с обоснованием).  
 
<li> Алгоритм построения вектора коэффициентов полинома Жегалкина (с обоснованием).  
 
<li> Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость.
 
<li> Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость.
Строка 47: Строка 16:
 
<li> Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики.
 
<li> Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики.
 
<li> Теорема о предполных классах.
 
<li> Теорема о предполных классах.
−
<li> Теоремы о представлении k-значных функций 2-й формой и полиномами.
 
 
<li> Деревья. Свойства деревьев.
 
<li> Деревья. Свойства деревьев.
 
<li> Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева (с обоснованием).
 
<li> Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева (с обоснованием).
 
<li> Теорема о раскраске планарных графов в 5 цветов.
 
<li> Теорема о раскраске планарных графов в 5 цветов.
−
<li> Алгоритм распознавания взаимной однозначности (разделимости) алфавитного кодирования (с обоснованием).  
+
<li> Алгоритм распознавания взаимной однозначности алфавитного кодирования (с обоснованием).  
−
<li> Теорема Маркова о взаимной однозначности (разделимости) алфавитного кодирования.
+
<li> Теорема Маркова.
 
<li> Неравенство Макмиллана.
 
<li> Неравенство Макмиллана.
 
<li> Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов.
 
<li> Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов.
Строка 60: Строка 28:
 
<li> Схемы из функциональных элементов и элементов задержки. Автоматность осуществляемых ими отображений.
 
<li> Схемы из функциональных элементов и элементов задержки. Автоматность осуществляемых ими отображений.
 
<li> Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементов задержки.  
 
<li> Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементов задержки.  
−
<li> Теорема Мура. Пример автомата, на котором достигается оценка теоремы Мура.
+
<li> Теорема Мура.  
 
<li> Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка ее сложности.
 
<li> Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка ее сложности.
 
</ol>
 
</ol>
  
−
=== Часть В ===  
+
=== Часть В ===
−
<ol start="22">
+
Часть В – ответ без конспектов и других материалов и почти без подготовки (3-5 минут), с доказательствами (можно излагать устно).
 +
<ol start="20">
 
<li> Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций.
 
<li> Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций.
 
<li> Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
 
<li> Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
Строка 75: Строка 44:
 
<li> Лемма о немонотонной функции.
 
<li> Лемма о немонотонной функции.
 
<li> Теорема о максимальном числе функций в базисе в алгебре логики.
 
<li> Теорема о максимальном числе функций в базисе в алгебре логики.
−
<li> k-значные функции. Теорема о представлении k-значных функций 1-й формой.
 
 
<li> Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность.
 
<li> Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность.
 
<li> Корневые деревья. Верхняя оценка их числа.
 
<li> Корневые деревья. Верхняя оценка их числа.
Строка 88: Строка 56:
 
<li> Понятие автоматных функций, их представление диаграммой Мура. Единичная задержка.  
 
<li> Понятие автоматных функций, их представление диаграммой Мура. Единичная задержка.  
 
</ol>
 
</ol>
 +
Третьим пунктом в билете стоит задача по одной из 4 тем: алгебра логики, графы, коды, автоматы.
 +
Задачи решаются без конспектов и любых других материалов.
 +
 +
После ответа на билет возможна прогонка по всему материалу без конспекта (определения, формулировки, идеи доказательств) и добавочные задачи на любые темы.
  
 
===Литература===
 
===Литература===
 
<ol>
 
<ol>
 
<li> Собственный конспект лекций.
 
<li> Собственный конспект лекций.
−
<li> Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012. (Вопросы 3-6, 8, 10-36, 38, 40-42)
+
<li> Лекции (онлайн) Алексеева В.Б. по дискретной математике: https://www.youtube.com/watch?v=SAhzEOVDNEI&list=PLcsjsqLLSfNAY-pm5c4XZQhSl1U_20itT
−
<li> [[Media:Lectdm.doc|Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004.]] Электронный ресурс. (Вопросы 3-6, 8, 10-36, 38, 40-42)
+
<li> Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012. (Вопросы 2-6, 8-33, 35, 37-39)
−
<li> Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986. (Вопросы 1, 3-7, 12-14, 22-31)
+
<li> [[Media:Lectdm.doc|Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004.]] Электронный ресурс. (Вопросы 2-6, 8-33, 35, 37-39)
−
<li> Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. (Вопрос 2 (стр. 53-56) и вопрос 39 (задача 4.9 из главы 7))
+
<li> Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986. (Вопросы 2-5, 10-12, 20-28)
−
<li> [[Media:KNIGA1.pdf|Алексеев В.Б. Введение в теорию сложности алгоритмов.]] М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ, 2002 (Вопрос 9)
+
<li> Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. (Вопрос 1 (стр. 53-56) и вопрос 36 (задача 4.9 из главы 7))
−
<li> Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990 (Вопрос 37 (стр. 36-37 и 237))
+
<li> [[Media:KNIGA1.pdf|Алексеев В.Б. Введение в теорию сложности алгоритмов.]] М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ, 2002 (Вопрос 7)
 +
<li> Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990 (Вопрос 34 (стр. 36-37 и 237))
 +
<li> Весь материал имеется также в книге: Алексеев В.Б. Дискретная математика : учебник. М.: Инфра-М, 2021 (доступна в электронной библиотечной системе (ЭБС) Znanium.com).
 
</ol>
 
</ol>
  
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]

Текущая версия на 12:35, 29 мая 2024

Лекторы

Экзамен 2024. Вопросы к экзамену по курсу «Дискретная математика» для 2 и 3 потоков, 2024 год.

Экзамен планируется устный. В билете 2 вопроса (один из части А и один из части В) и задача.

Часть А

Часть А – ответ без подготовки, по любым материалам (конспекты, книжки, распечатки лекций и т.д.). Можно смотреть текст на ноутбуке, но нельзя пользоваться мобильными телефонами. Проверяется, насколько осознаны все доказательства (основной вопрос – «почему?»). Определения и формулировки – без конспектов.

  1. Алгоритм построения вектора коэффициентов полинома Жегалкина (с обоснованием).
  2. Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость.
  3. Лемма о нелинейной функции.
  4. Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики.
  5. Теорема о предполных классах.
  6. Деревья. Свойства деревьев.
  7. Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева (с обоснованием).
  8. Теорема о раскраске планарных графов в 5 цветов.
  9. Алгоритм распознавания взаимной однозначности алфавитного кодирования (с обоснованием).
  10. Теорема Маркова.
  11. Неравенство Макмиллана.
  12. Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов.
  13. Теорема редукции.
  14. Коды с исправлением r ошибок. Оценка функции Mr(n).
  15. Коды Хэмминга. Оценка функции M1(n).
  16. Схемы из функциональных элементов и элементов задержки. Автоматность осуществляемых ими отображений.
  17. Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементов задержки.
  18. Теорема Мура.
  19. Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка ее сложности.

Часть В

Часть В – ответ без конспектов и других материалов и почти без подготовки (3-5 минут), с доказательствами (можно излагать устно).

  1. Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций.
  2. Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
  3. Полные системы. Примеры полных систем (с доказательством полноты).
  4. Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом.
  5. Понятие замкнутого класса. Замкнутость классов T0, T1, L.
  6. Класс монотонных функций, его замкнутость.
  7. Лемма о несамодвойственной функции.
  8. Лемма о немонотонной функции.
  9. Теорема о максимальном числе функций в базисе в алгебре логики.
  10. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность.
  11. Корневые деревья. Верхняя оценка их числа.
  12. Геометрическая реализация графов. Теорема о реализации графов в трехмерном пространстве.
  13. Планарные (плоские) графы. Формула Эйлера.
  14. Доказательство непланарности графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского (доказательство в одну сторону).
  15. Теорема о раскраске вершин графа в 2 цвета (теорема Кенига).
  16. Оптимальные коды, их свойства.
  17. Линейные двоичные коды. Теорема о кодовом расстоянии линейных кодов.
  18. Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами.
  19. Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель.
  20. Понятие автоматных функций, их представление диаграммой Мура. Единичная задержка.

Третьим пунктом в билете стоит задача по одной из 4 тем: алгебра логики, графы, коды, автоматы. Задачи решаются без конспектов и любых других материалов.

После ответа на билет возможна прогонка по всему материалу без конспекта (определения, формулировки, идеи доказательств) и добавочные задачи на любые темы.

Литература

  1. Собственный конспект лекций.
  2. Лекции (онлайн) Алексеева В.Б. по дискретной математике: https://www.youtube.com/watch?v=SAhzEOVDNEI&list=PLcsjsqLLSfNAY-pm5c4XZQhSl1U_20itT
  3. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012. (Вопросы 2-6, 8-33, 35, 37-39)
  4. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004. Электронный ресурс. (Вопросы 2-6, 8-33, 35, 37-39)
  5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986. (Вопросы 2-5, 10-12, 20-28)
  6. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. (Вопрос 1 (стр. 53-56) и вопрос 36 (задача 4.9 из главы 7))
  7. Алексеев В.Б. Введение в теорию сложности алгоритмов. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ, 2002 (Вопрос 7)
  8. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990 (Вопрос 34 (стр. 36-37 и 237))
  9. Весь материал имеется также в книге: Алексеев В.Б. Дискретная математика : учебник. М.: Инфра-М, 2021 (доступна в электронной библиотечной системе (ЭБС) Znanium.com).
Источник — «https://mk.cs.msu.ru/index.php?title=Дискретная_математика_(1й_курс)&oldid=11192»