Версия 15:39, 4 февраля 2021

ВНИМАНИЕ: страница готовится к грядущему семестру (весна 2021) и будет меняться (актуализироваться)

Обязательный курс для студентов 318 группы 6 семестра обучения, а также для студентов 241 и 242 групп (Математическая логика и теория алгоритмов). Курс читает В. В. Подымов.

Объявления

В этом разделе будут выкладываться объявления о текущих изменениях в курсе и на странице курса

Слайды лекций

Слайды будут выкладываться по мере проведения занятий

Слайды прошлых лет

Лекция (вводная). Что такое логика? Содержание лекций. История логики. Логические парадоксы.

Лекция. Логика высказываний: синтаксис, семантика, выполнимость, общезначимость. Метод семантических таблиц в логике высказываний.

Лекция. Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).

Лекция. Выполнимые и общезначимые формулы. Модели. Логическое следствие. Проблема общезначимости формул. Подстановки. Метод семантических таблиц в логике предикатов. Корректность табличного вывода.

Лекция. Полнота табличного вывода в логике предикатов. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.

Лекция. Общая схема метода резолюций. Предварённая нормальная форма. Сколемовская стандартная форма. Системы дизъюнктов. Задача унификации.

Лекция. Алгоритм унификации атомарных формул. Теорема об унификации.

Лекция. Резолютивный вывод. Корректность резолютивного вывода. Применение метода резолюций. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.

Лекция. Полнота резолютивного вывода. Задачи и проблемы. Алгоритмы. Разрешимость. M-сводимость.

Лекция. Машины Тьюринга. Теорема Чёрча. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.

Лекция. Натуральное исчисление высказываний. Натуральное исчисление предикатов. Исчисление предикатов гильбертовского типа.

Лекция. Модальные логики. Эпистемические логики. Темпоральные логики.

Лекция. Формальная верификация программ. Императивные программы. Корректность императивных программ. Логика Хоара. Автоматизация проверки правильности программ.

Лекция. Верификация распределённых систем. Логика линейного времени (LTL). Размеченные системы переходов. Задача верификации (model checking) для LTL.

Лекция. Табличный алгоритм верификации для LTL. Замыкание Фишера-Ладнера. Системы Хинтикки.

Лекция. Аксиоматические теории. Основные свойства теорий. Формальная арифметика. Арифметика Пеано. Теорема Гёделя о неполноте. Определимость. Арифметика Пресбургера.

Лекция..

Семинары

Материалы семинаров будут обновляться по мере проведения занятий

Семинары 1-4 проводятся по этому сборнику задач.

Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к расширенному сборнику задач

Материалы семинара 5 (натуральное исчисление).

Экзамен

Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.

Экзаменационная работа оценивается по шкале от 0 до 33 технических баллов. К оценке за эту работу прибавляются технические баллы, полученные за работу в семестре (выполнение премиальных задач). Согласно набранной сумме технических баллов выставляется оценка:

• хотя бы 27: отлично;
• хотя бы 21, но менее 27: хорошо;
• хотя бы 15, но менее 21: удовлетворительно;
• менее 15: неудовлетворительно.

Баллы за экзаменационную работу складываются из баллов за каждую задачу, предложенную в работе:

• Каждая из задач 1-5 оценивается в 3 балла. Темы задач:
  1. Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
  2. Проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
  3. Проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
  4. По теме логических исчислений, точная формулировка определится позже.
  5. По теме аксиоматических теорий, точная формулировка определится позже.
• Каждая из задач 6-8 оценивается в 2 балла и состоит из двух частей:
  1. Сформулировать утверждение, определение и т.п.
  2. Ответить на вопрос "на понимание", так или иначе связанный с формулировкой.
• Каждая из задач 9-12 оценивается в 3 балла и устроена так:
  • Из нескольких предложенных вариантов ответа выбрать правильные (один, несколько или ни одного) и обосновать выбранные ответы.
  • Невыбранные ответы обосновывать не нужно.

Зачёт

На зачёте оцениваются результаты, относящиеся к решению типовых задач, знанию теории и работе в семестре.

В курсе встретится 5 типовых задач:

1. Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
2. Проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
3. Проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
4. По теме логических исчислений, точная формулировка определится позже.
5. По теме аксиоматических теорий, точная формулировка определится позже.

При проставлении зачёта учитывается 7 технических оценок:

• Пять оценок за типовые задачи, по одной за каждую задачу. Максимальная оценка за каждую задачу - 3 балла.
• Оценка за знание теории. Максимум - 15 баллов.
• Оценка за решение премиальных задач.

Для получения зачёта требуется достичь следующих результатов:

1. Решить хотя бы 4 типовые задачи на 2 балла (т.е. правильно или с незначительными недочётами).
2. Набрать хотя бы 20 баллов суммарно за всё (типовые задачи, теория, премиальные задачи).

В курсе планируются две контрольные работы: первая - в середине семестра, вторая - после завершения лекций. Контрольные работы и попытки зачёта проводятся письменно, длительность каждого мероприятия - 90 минут (одна пара).

Сдача типовых задач

Для решения каждой типовой задачи будет предложено несколько попыток. При проставлении зачёта учитывается максимальная оценка за задачу среди всех попыток её решить.

На первой контрольной работе будут предложены типовые задачи 1-3. На второй контрольной работе и на каждой попытке зачёта будут предложены все типовые задачи.

Сдача теории

Теоретические вопросы даются в форме теста с множественным выбором: из предложенных вариантов ответа требуется выбрать правильные (один, несколько или ни одного), обоснование не требуется. Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.

На первой контрольной работе будет предложено 9 теоретических вопросов. На второй контрольной работе будет предложено 6 теоретических вопросов. Оценка за знание теории складывается из оценок за эти 15 теоретических вопросов.

На каждой попытке зачёта также будет предложено 15 теоретических вопросов. При проставлении зачёта учитывается максимальная оценка среди полученных за контрольные работы и за каждую из попыток зачёта.

Дополнительные бонусы к экзамену и зачёту

Общие условия сдачи решений задач на дополнительные бонусы:

• По умолчанию решения сдаются лично устно. Другие варианты (например, письменное решение на бумаге или по почте) следует обсудить в индивидуальном порядке.
• При подготовке к сдаче и во время сдачи решений можно пользоваться любыми материалами.
• При сдаче проверяется понимание каждой детали решения задачи - следует быть к этому готовым.
• Задача считается решённой, если не осталось неотвеченных вопросов по обоснованию всех шагов решения.

Бонусы за решение задач сформулированы для одной учебной группы и получаются внутри одной группы независимо от другой (например, "первый" трактуется как "первый из группы 318, а также первый из группы 241, а также первый из группы 242").

^* Правило удаления всеобщности

Задачи будут появляться по мере проведения занятий

(1) Полнота табличного вывода в логике предикатов

Адаптировать доказательство теоремы о полноте табличного вывода в логике предикатов к более общему случаю:

• сигнатура алфавита состоит из
  • не более чем счётно-бесконечного числа констант,
  • не более чем счётно-бесконечного числа функциональных символов каждой местности,
  • не более чем счётно-бесконечного числа предикатных символов каждой местности;
• формулы исходной таблицы могут содержать свободные переменные;
• исходная таблица содержит не более чем счётно-бесконечное число формул.

Бонусы за решение задачи:

• первый сдавший: +3 балла
• второй и третий сдавшие: +2 балла

(2) Утверждения об отношении равносильности

Обосновать три утверждения об отношении равносильности в лекции 6, помеченные словом "Самостоятельно" рядом со словом "Доказательство".

Бонус за решение задачи: +2 балла первым двум предоставившим решение задачи

(3) Фундированность троек чисел

Доказать фундированность троек неотрицательных целых чисел относительно лексикографического порядка (лемма в лекции 8, сформулированная в рамках доказательства завершаемости алгоритма унификации, обоснование которой помечено словами "Попробуйте сами").

Бонус за решение задачи: +2 балла первым двум предоставившим решение задачи

(4) Стратегия построения резолютивного вывода

Сформулировать (с обоснованием) список правил, которых достаточно придерживаться, чтобы в резолютивном выводе, строящемся произвольно в рамках этих правил для противоречивой системы дизъюнктов, рано или поздно появился пустой дизъюнкт.

Бонусы за решение задачи:

• первый сдавший: +3 балла
• второй и третий сдавшие: +2 балла

(5) Вычислительные возможности метода резолюций

Сформулировать и обосновать утверждение, дающее ответ на вопрос, поставленный в конце "заключительного примера для метода резолюций" лекции 10.

Бонусы за решение задачи:

• первый сдавший: +3 балла
• второй и третий сдавшие: +2 балла

(6) Исчисление семантических таблиц

Определить аксиомы и правила вывода логического исчисления со следующими свойствами:

• формулы исчисления - семантические таблицы логики предикатов;
• таблица выводима в исчислении тогда и только тогда, когда для неё существует успешный табличный вывод,
• из доказательства для таблицы T можно получить успешный табличный вывод для T, взяв некоторое неразмеченное дерево и доразметив вершины этого дерева таблицами из доказательства.

Бонус за решение задачи: +2 балла первым двум предоставившим решение задачи

(7) Корректность натурального исчисления

Выбрать одно из 4-х правил работы с кванторами в натуральном исчислении (введение/удаление существования/всеобщности) и обосновать корректность этого правила: если формулы над чертой общезначимы, то и формула под чертой общезначима (см. лекцию 12-13).

Для каждого из правил принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одного правила. Бонус за решение: +1 балл

(8) Теорема Гёделя о полноте

Доказать теорему Гёделя о полноте (см. лекцию 12-13).

Бонусы за решение задачи:

• первый сдавший: +10 баллов
• второй и третий сдавшие: +7 баллов

(9) Свойства шкал Крипке

Доказать утверждения о рефлексивности, транзитивности и симметричности шкал Крипке, сформулированные в разделе "Эпистемические логики" лекции 14

Бонус за решение задачи:

• первый сдавший: +3 балла
• второй и третий сдавшие: +2 балла

(10) Задача о трёх мудрецах

Записать и пояснить ход рассуждений мудрецов в задаче о трёх мудрецах (лекция 14) в терминах эпистемической логики.

Бонус за решение задачи: +2 балла первым трём предоставившим решение.

(11) Корректность логики Хоара

Доказать корректность одного из правил логики Хоара (лекция 15, лемма о корректности правил), кроме правил для пустой команды и для присваивания.

Для каждого из правил принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одного правила. Бонус за решение: +2 балла

(12) Слабейшие предусловия

Доказать теорему о слабейшем предусловии (лекция 15).

Бонусы за решение задачи:

• первый сдавший: +3 балла
• второй и третий сдавшие: +2 балла

(13) Законы темпоральных логик

В лекции 16 на слайде под заголовком "законы дистрибутивности" выбрать пару строк (1+2, 3+4, 5+6 или 7+8) и доказать либо опровергнуть равносильность в каждой из этих двух строк.

Для каждой пары строк принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одной пары строк. Бонус за решение: +1 балл

(14) Табличный алгоритм верификации для LTL

Ответить на существенную часть вопросов, сформулированных на последнем слайде последней лекции (17)

Бонус за решение задачи: обсуждается индивидуально.

Программа курса

Классические логики

1. Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость, невыполнимость, общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
2. Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
3. Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
4. Выполнимость, общезначимость и противоречивость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
5. Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
6. Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теоремы о корректности и полноте табличного вывода.
7. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Теорема Чёрча.
8. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.

Метод резолюций в логике предикатов

9. Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
10. Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
11. Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме противоречивости систем дизъюнктов.
12. Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
13. Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
14. Правило резолюции. Правило склейки. Резолютивный вывод. Теорема о корректности резолютивного вывода.
15. Эрбрановский универсум. Эрбрановский базис. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.
16. Лемма об основных дизъюнктах. Лемма о подъёме. Теорема о полноте резолютивного вывода.
17. Метод резолюций: общая схема, применение.

Логические исчисления

18. Логические исчисления. Исчисления высказываний и исчисления предикатов. Доказуемость (выводимость) формул.
19. Натуральное исчисление высказываний. Корректность и полнота исчисления.
20. Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления.
21. Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте.

Неклассические прикладные логики

22. Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
23. Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Корректность и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Корректность вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
24. Верификация распределённых систем. Логика линейного времени: синтаксис, семантика. Основные равносильности в логике линейного времени. Применение темпоральных логик для спецификации поведения распределённых систем.
25. Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Семантика чередующихся вычислений. Задача верификации (проверки моделей; model checking) для логики линейного времени.
26. Табличный алгоритм верификации для логики линейного времени. Упрощение формул. Замыкание Фишера-Ладнера. Согласованные предположения. Система Хинтикки. Сведение задачи верификации к графовым задачам.

Рекомендованная литература

Основная литература

1. Клини С. Математическая логика. М.:Мир, 1973, 480 с.
2. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.:Мир, 1983. 360 с.
3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. Москва, "Физико-математическая литература", 1995 г., 250 с.
4. Метакидес Г., Нероуд А., Принципы логики и логического программирования. Москва, "Факториал", 1998, 288 с.
5. Братко И. Программирование на Прологе для искусственного интеллекта. М.:Мир, 1990, 560 с.
6. Набебин А.А. Логика и Пролог в дискретной математике. М., Изд-во МЭИ, 1997.
7. Кларк Э.М., Грамберг О., Пелед Д. Верификация моделей программ: model checking. Изд-во МЦНМО, Москва, 2002, 405 с.

Дополнительная литература

1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.:Наука, 1984. 319 с.
2. Верещагин Н.К., Шень А. Языки и исчисления. 2004.
3. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2004. 128 с.
4. Лавров И.А. Математическая логика. Учебное пособие для вузов. М.: Академия, 2006.
5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Серия "Классический университетский учебник". Изд.3, 2006, 240 с.
6. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика - М.: 1979.
7. Непейвода Н. Н. Прикладная логика. Новосибирск. 2000 г.
8. Хоггер К., Введение в логическое программирование. М.:Мир, 1988. 348 с.
9. Клоксин У., Меллиш К. Программирование на языке Пролог. М.:Мир, 1987. 336 с.
10. Кларк К.Л., Маккейб Ф.Г. Микро-Пролог: введение в логическое программирование. Москва, "Радио и связь". 1987, 311 с.
11. Стерлинг Л., Шапиро Э., Искусство программирования на языке ПРОЛОГ. Москва, "Мир", 1990, 235 с.
12. Ковальский Р. Логика в решении проблем. М.: Наука, 1990. 277 с.
13. Логический подход к искусственному интеллекту (от модальной логики к логике баз данных). М.:Мир, 1998. 495 с.