Математическая логика (318, 319/2, 241, 242) — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 99 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
Обязательный курс для студентов 318 группы 6 семестра обучения, ''а также для студентов 241 и 242 групп (Математическая логика и теория алгоритмов)''. Курс читает [[Подымов Владислав Васильевич|В. В. Подымов]].
+
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
  
'''Объявления'''
+
Актуальность информации: весенний семестр 2023/2024 учебного года.
  
''В этом разделе будут выкладываться объявления о текущих изменениях в курсе и на странице курса''
+
Обязательный курс для студентов групп 318 и 319/2, ''а также 241 и 242 (Математическая логика и теория алгоритмов)''. Курс читает [[Подымов Владислав Васильевич|В. В. Подымов]].
 
+
* 2020.04.27 19:31 Обновлена информация о принятых решениях бонусных задач
+
* 2020.04.27 11:30 Появились бонусные задачи 7, 8
+
* 2020.04.27 02:00 Выложены слайды лекции 12-13
+
* 2020.04.17 15:50 Статистика предоставленных решений бонусных задач переехала из подразделов 6.1, 6.2, ... в единую таблицу в разделе 6
+
* 2020.02.10 13:05 Страница подготовлена к началу весеннего семестра 2019/2020 учебного года
+
  
 
= Слайды лекций =
 
= Слайды лекций =
  
''Слайды будут выкладываться по мере проведения занятий''
+
[[Media: Mathlog_318_b1.pdf|Блок 1]] (вводный). Что такое логика. Несколько логических парадоксов. Чего ожидать в курсе.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_1.pdf|Лекция 1]]''' (вводная). Что такое логика? Содержание лекций. История логики. Логические парадоксы.
+
[[Media: Mathlog_318_b2.pdf|Блок 2]]. Логика высказываний: синтаксис, семантика.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_2.pdf|Лекция 2.]]''' Логика высказываний: синтаксис, семантика, выполнимость, общезначимость. Метод семантических таблиц в логике высказываний.
+
[[Media: Mathlog_318_b3.pdf|Блок 3]]. Логика предикатов: синтаксис, семантика.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_3.pdf|Лекция 3.]]''' Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
+
[[Media: Mathlog_318_b4.pdf|Блок 4]]. Как формализовать предложение на языке логики предикатов (пример).
  
'''Лекции [[Media: LectLog_3.pdf|4]] и [[Media: LectLog4.pdf|5]] (рассказывал [[Захаров Владимир Анатольевич|В. А. Захаров]]; желающие могут посмотреть [[Media: Mathlog_318_lecture_4_5.pdf|то же самое другими словами]] от В. В. Подымова).''' Выполнимые и общезначимые формулы. Модели. Логическое следствие. Проблема общезначимости формул. Подстановки. Метод семантических таблиц в логике предикатов. Корректность табличного вывода.
+
[[Media: Mathlog_318_b5.pdf|Блок 5]]. Логика высказываний: выполнимые и общезначимые формулы.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_6.pdf|Лекция 6.]]''' Полнота табличного вывода в логике предикатов. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.
+
[[Media: Mathlog_318_b6.pdf|Блок 6]]. Логика предикатов: выполнимые и общезначимые формулы; модели формул; логическое следствие; проблема общезначимости формул (постановка).
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_7.pdf|Лекция 7.]]''' Общая схема метода резолюций. Предварённая нормальная форма. Сколемовская стандартная форма. Системы дизъюнктов. Задача унификации.
+
[[Media: Mathlog_318_b7.pdf|Блок 7]]. Логика предикатов: можно ли проверить общезначимость формулы "в лоб"?
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_8.pdf|Лекция 8.]]''' Алгоритм унификации атомарных формул. Теорема об унификации.
+
[[Media: Mathlog_318_b8.pdf|Блок 8]]. Метод семантических таблиц: семантические таблицы.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_9.pdf|Лекция 9.]]''' Резолютивный вывод. Корректность резолютивного вывода. Применение метода резолюций. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.
+
[[Media: Mathlog_318_b9.pdf|Блок 9]]. Подстановки (основные определения).
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_10.pdf|Лекция 10.]]''' Полнота резолютивного вывода. Задачи и проблемы. Алгоритмы. Разрешимость. M-сводимость.
+
[[Media: Mathlog_318_b10.pdf|Блок 10]]. Метод семантических таблиц: табличный вывод.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_11.pdf|Лекция 11.]]''' Машины Тьюринга. Теорема Чёрча. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.
+
[[Media: Mathlog_318_b11.pdf|Блок 11]]. Метод семантических таблиц: корректность табличного вывода.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_12_13.pdf|Лекция 12-13.]]''' Натуральное исчисление высказываний. Натуральное исчисление предикатов. Исчисление предикатов гильбертовского типа.
+
[[Media: Mathlog_318_b12.pdf|Блок 12]]. Метод семантических таблиц: полнота табличного вывода.
  
== Временный архив слайдов: 2018-2019 учебный год ==
+
[[Media: Mathlog_318_b13.pdf|Блок 13]]. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Автоматизация доказательства теорем.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_12.pdf|Лекция 12.]]''' Логические исчисления. Исчисление высказываний гильбертовского типа. Корректность и полнота исчисления высказываний.
+
[[Media: Mathlog_318_b14.pdf|Блок 14]]. Общая схема метода резолюций.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_13.pdf|Лекция 13.]]''' Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте (формулировка). Натуральное исчисление высказываний, его корректность и полнота. Натуральное исчисление предикатов, его корректность и полнота. Натуральный вывод формул.
+
[[Media: Mathlog_318_b15.pdf|Блок 15]]. Равносильность формул.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_14.pdf|Лекция 14.]]''' Модальные логики. Эпистемические логики. Темпоральные логики.
+
[[Media: Mathlog_318_b16.pdf|Блок 16]]. Предварённая нормальная форма (ПНФ).
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_15.pdf|Лекция 15.]]''' Формальная верификация программ. Императивные программы. Корректность императивных программ. Логика Хоара. Автоматизация проверки правильности программ.
+
[[Media: Mathlog_318_b17.pdf|Блок 17]]. Сколемовская стандартная форма (ССФ).
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_16.pdf|Лекция 16.]]''' Верификация распределённых систем. Логика линейного времени (LTL). Размеченные системы переходов. Задача верификации (model checking) для LTL.
+
[[Media: Mathlog_318_b18.pdf|Блок 18]]. Системы дизъюнктов.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_17.pdf|Лекция 17.]]''' Табличный алгоритм верификации для LTL. Замыкание Фишера-Ладнера. Системы Хинтикки.
+
[[Media: Mathlog_318_b19.pdf|Блок 19]]. Композиция подстановок. Постановка задачи унификации.
  
== Временный архив слайдов: 2017-2018 учебный год ==
+
[[Media: Mathlog_318_b20.pdf|Блок 20]]. Алгоритм унификации атомарных формул.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_11_12.pdf|Лекция 11-12.]]''' Аксиоматические теории. Основные свойства теорий. Формальная арифметика. Арифметика Пеано. Теорема Гёделя о неполноте. Определимость. Арифметика Пресбургера.
+
[[Media: Mathlog_318_b21.pdf|Блок 21]]. Монотонность и транзитивность отношения логического следования.
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_14_15.pdf|Лекция 14-15.]]''' Модальные логики. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени (LTL). Логика деревьев вычислений (CTL). Верификация распределённых систем. Задача верификации для LTL. Табличный алгоритм верификации для LTL.
+
[[Media: Mathlog_318_b22.pdf|Блок 22]]. Резолютивный вывод. Корректность резолютивного вывода.
  
== Временный архив слайдов: 2016-2017 учебный год ==
+
[[Media: Mathlog_318_b23.pdf|Блок 23]]. Обоснование общезначимости формулы методом резолюций (пример).
  
'''[[Media: Mathlog_318_lecture_16_17.pdf|16-17]]'''.
+
[[Media: Mathlog_318_b24.pdf|Блок 24]]. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях.
  
= Семинары =
+
[[Media: Mathlog_318_b25.pdf|Блок 25]]. Теорема Эрбрана. Полнота резолютивного вывода.
  
''Материалы семинаров будут обновляться по мере проведения занятий''
+
[[Media: Mathlog_318_b26.pdf|Блок 26]]. Даша, Саша, Паша, пиво и метод семантических таблиц с методом резолюций.
  
Семинары 1-4 проводятся по [[Media:MatLog_tasks.pdf| этому сборнику задач.]]
+
[[Media: Mathlog_318_b27.pdf|Блок 27]]. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.
  
Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к [[Media:MatLog_exer.pdf| расширенному сборнику задач]]
+
[[Media: Mathlog_318_b28.pdf|Блок 28]]. Натуральное исчисление высказываний: основные определения.
  
[[Media:Mllp_318_seminar_definability.pdf| Материалы семинара 5 (выразимость).]]
+
[[Media: Mathlog_318_b29.pdf|Блок 29]]. Натуральное исчисление высказываний: правило монотонности, закон исключённого третьего, корректность.
  
[[Media:Mathlog_318_seminar_natural_inference.pdf| Материалы семинара 6 (натуральное исчисление).]]
+
[[Media: Mathlog_318_b30.pdf|Блок 30]]. Натуральное исчисление высказываний: правило сечения, правило полного перебора, правило приведения к абсурду, полнота.
  
= Контрольная работа =
+
[[Media: Mathlog_318_b31.pdf|Блок 31]]. Натуральное исчисление предикатов: основные определения, корректность.
  
Формат проведения и длительность контрольной работы: письменно, 95 минут.
+
[[Media: Mathlog_318_b32.pdf|Блок 32]]. Гильбертовское исчисление предикатов. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).
  
В рамках контрольной работы требуется решить
+
''Слайды будут появляться по мере чтения лекций.''
  
* '''три задачи''':
+
== Прошлогодние слайды ==
** построить формулу логики предикатов, адекватно описывающую высказывание, записанное на естественном языке;
+
** доказать общезначимость формулы логики предикатов, используя метод семантических таблиц
+
*** (правила табличного вывода будут выданы вместе с заданием контрольной);
+
** доказать общезначимость формулы логики предикатов, используя метод резолюций;
+
* '''девять теоретических вопросов''', проверяющих знание материала, изложенного в лекциях вплоть до конца обсуждения метода резолюций.
+
  
Контрольная работа оценивается по шкале '''от 0 до 15 баллов'''.
+
[[Media: Mathlog_318_b33.pdf|Блок 33]]. Натуральное исчисление предикатов: полнота.
Итоговые баллы за работу - это сумма баллов за задачи и теоретические вопросы.
+
  
Правильно решённая задача оценивается в '''2 балла'''.
+
[[Media: Mathlog_318_b34.pdf|Блок 34]]. Задачи и проблемы. Алгоритмы. Разрешимость. M-сводимость.
Задача, решённая с ошибками, может быть оценена числом баллов от 0 до 2 в зависимости от качества и количества ошибок.
+
  
Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в '''1 балл'''.
+
[[Media: Mathlog_318_b35.pdf|Блок 35]]. Машины Тьюринга (МТ).
В каждом теоретическом вопросе предлагается несколько вариантов ответа.
+
Среди этих ответов может быть один, ни одного или несколько правильных.
+
Для правильного решения теоретического вопроса следует отметить '''все''' правильные ответы и только их.
+
Обоснование того, почему выбраны или не выбраны те или иные ответы, '''не требуется'''.
+
  
'''Группы 241, 242:''' баллы, набранные за контрольную работу, суммируются с другими баллами, требуемыми для получения зачёта.
+
[[Media: Mathlog_318_b36.pdf|Блок 36]]. Теорема Чёрча.
  
'''Группа 318:''' по результатам контрольной работы определяется <span style="background:#DDFFDD">бонус</span> или <span style="background:#FFDDDD">штраф</span>, суммирующийся с баллами за экзаменационную работу:
+
[[Media: Mathlog_318_b37.pdf|Блок 37]]. Аксиоматические теории первого порядка. Проблема общезначимости формул в теории.
* набрано хотя бы 14 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>;
+
* набрано хотя бы 12, но менее 14 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>;
+
* набрано хотя бы 10, но менее 12 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>;
+
* набрано хотя бы 8, но менее 10 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+0 баллов</span>;
+
* набрано хотя бы 6, но менее 8 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-1 балл</span>;
+
* набрано хотя бы 4, но менее 6 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-2 балла</span>;
+
* набрано менее 4 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-3 балла</span>;
+
* контрольная работа пропущена по неуважительной причине: штраф <span style="background:#FFDDDD">-3 балла</span>;
+
* контрольная работа пропущена по уважительной причине: бонус <span style="background:#DDFFDD">+0 баллов</span>.
+
  
= Экзамен =
+
[[Media: Mathlog_318_b38.pdf|Блок 38]]. Основные свойства аксиоматических теорий.
  
''Прошлогодняя информация, в скором времени обновится.''
+
[[Media: Mathlog_318_b39.pdf|Блок 39]]. Арифметические интерпретации и теории.
  
Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.
+
[[Media: Mathlog_318_b40.pdf|Блок 40]]. Определения и выразимость.
  
Экзаменационная работа оценивается по шкале '''от 0 до 30 баллов''' (''промежуточные баллы'').
+
[[Media: Mathlog_318_b41.pdf|Блок 41]]. Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте.
Итоговые баллы за экзаменационную работу - это сумма промежуточных баллов, бонусов и штрафов по итогам контрольной работы, а также других бонусов, если удалось их получить.
+
В зависимости от полученных итоговых баллов за экзаменационную работу выставляется оценка за экзамен:
+
* набрано хотя бы 24 балла: '''отлично''';
+
* набрано хотя бы 18, но менее 24 баллов: '''хорошо''';
+
* набрано хотя бы 12, но менее 18 баллов: '''удовлетворительно''';
+
* набрано менее 12 баллов: '''неудовлетворительно'''.
+
  
Промежуточные баллы складываются из баллов, полученных за решение каждой задачи в работе.
+
[[Media: Mathlog_318_b42.pdf|Блок 42]]. Арифметика Пресбургера.
Описание задач и оценки за их безошибочное решение:
+
* '''Задача 1 (3 балла)''': предложить формулу логики предикатов, адекватно описывающую заданное утверждение, записанное на естественном языке.
+
* '''Задача 2 (3 балла)''': проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
+
* '''Задача 3 (3 балла)''': проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
+
* '''Задача 4 (3 балла)''': предложить аксиому, определяющую арифметическое понятие в заданной сигнатуре.
+
* '''Задача 5 (3 балла)''': предложить доказательство формулы или соответствующей секвенции в натуральном исчислении предикатов.
+
* '''Задачи 6-8 (2 балла за каждую)''' состоят из двух частей: а) сформулировать теорему или определение, рассказанные в лекциях; б) ответить на вопрос, так или иначе связанный с первой частью, '''без пояснений''' (как правило - "да" или "нет", либо привести какой-либо пример).
+
* '''Задачи 9-11 (3 балла за каждую)''': из предложенных вариантов ответа на заданный вопрос выбрать правильные (один, несколько или ни одного), правильность каждого выбранного ответа обосновать ('''невыбранные ответы обосновывать не нужно''').
+
  
= Зачёт =
+
[[Media: Mathlog_318_b43.pdf|Блок 43]]. Модальные логики.
  
''Прошлогодняя информация, в скором времени обновится.''
+
[[Media: Mathlog_318_b44.pdf|Блок 44]]. Эпистемические логики.
  
После завершения лекций будет проведена вторая контрольная работа. Эта работа будет содержать
+
[[Media: Mathlog_318_b45.pdf|Блок 45]]. Темпоральные логики.
* Две задачи, идентичные задачам 4, 5 экзамена, каждая из которых оценивается в 2 балла.
+
* Пять теоретических вопросов по лекциям, проведённым после контрольной работы, аналогичные теоретическим вопросам первой контрольной работы. Каждый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.
+
  
Для получения зачёта необходимо набрать не менее '''16 баллов''' по итогам двух контрольных работ и сдачи других заданий.
+
[[Media: Mathlog_318_b46.pdf|Блок 46]]. Интуиционистская логика.
  
Не получившим зачёт по результатам второй контрольной работы будут предоставлены дополнительные попытки получения зачёта. На этих попытках:
+
[[Media: Mathlog_318_b47.pdf|Блок 47]]. Формальная верификация.
* Сохраняются баллы за каждую задачу, суммарный балл за теоретические вопросы первой контрольной работы, суммарный балл за теоретические вопросы второй контрольной работы.
+
* Предоставляется возможность поднять каждый из этих баллов, решив соответствующие части новых вариантов контрольных работ.
+
  
= Дополнительные бонусы к экзамену и зачёту =
+
[[Media: Mathlog_318_b48.pdf|Блок 48]]. Модельные императивные программы. Постановка задачи верификации программ.
  
Общие условия сдачи решений задач на дополнительные бонусы:
+
[[Media: Mathlog_318_b49.pdf|Блок 49]]. Логика Хоара. Автоматизация проверки правильности программ.
* По умолчанию решения сдаются лично устно. Другие варианты (например, письменное решение на бумаге или по почте) следует обсудить в индивидуальном порядке.  
+
* При подготовке к сдаче и во время сдачи решений можно пользоваться любыми материалами.
+
* При сдаче проверяется понимание каждой детали решения задачи - следует быть к этому готовым.
+
* Задача считается решённой, если не осталось неотвеченных вопросов по обоснованию всех шагов решения.
+
  
'''Бонусы за решение задач сформулированы для одной учебной группы''' и получаются внутри одной группы независимо от другой (например, "''первый''" трактуется как "''первый из группы 318, а также первый из группы 241, а также первый из группы 242''".
+
[[Media: Mathlog_318_b50.pdf|Блок 50]]. Проверка правильности распределённых систем. Пара слов о методе model checking.
  
{| class="wikitable"
+
[[Media: Mathlog_318_b51.pdf|Блок 51]]. Размеченные системы переходов.
|colspan=2|Номер задачи
+
|1
+
|2
+
|3
+
|4
+
|5
+
|6
+
|7
+
|8
+
|-
+
|colspan=2|Сколько решений оценивается
+
|3
+
|2
+
|2
+
|3
+
|3
+
|2
+
|4
+
|3
+
|-
+
|rowspan="3"|Сколько решений сдано в группе
+
|241
+
|0
+
|1
+
|0
+
|0
+
|0
+
|0
+
|0
+
|0
+
|-
+
|242
+
|0
+
|0
+
|0
+
|0
+
|0
+
|0
+
|0
+
|0
+
|-
+
|318
+
|0
+
|1
+
|1
+
|0
+
|0
+
|1
+
|0
+
|0
+
|}
+
  
''Задачи будут появляться по мере проведения занятий''
+
[[Media: Mathlog_318_b52.pdf|Блок 52]]. Спецификация систем при помощи темпоральных логик.
  
== (1) Полнота табличного вывода в логике предикатов ==
+
[[Media: Mathlog_318_b53.pdf|Блок 53]]. Алгоритм model checking для CTL.
  
Адаптировать доказательство теоремы о полноте табличного вывода в логике предикатов к более общему случаю:
+
= Семинары =
* сигнатура алфавита состоит из
+
** не более чем счётно-бесконечного числа констант,
+
** не более чем счётно-бесконечного числа функциональных символов каждой местности,
+
** не более чем счётно-бесконечного числа предикатных символов каждой местности;
+
* формулы исходной таблицы могут содержать свободные переменные;
+
* исходная таблица содержит не более чем счётно-бесконечное число формул.
+
  
Бонусы за решение задачи:
+
''Материалы семинаров будут обновляться по мере проведения занятий''
* '''первый''' сдавший: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
+
* '''второй''' и '''третий''' сдавшие: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
+
  
== (2) Утверждения об отношении равносильности ==
+
Семинары 1-4 проводятся по [[Media:MatLog_tasks.pdf| этому сборнику задач.]]
  
Обосновать три утверждения об отношении равносильности в лекции 6, помеченные словом "Самостоятельно" рядом со словом "Доказательство".
+
Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к [[Media:MatLog_exer.pdf| расширенному сборнику задач]]
  
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение задачи
+
[[Media:Mathlog_318_seminar_natural_inference.pdf| Материалы семинара 5-6 (натуральное исчисление).]]
  
== (3) Фундированность троек чисел ==
+
= Контрольные работы =
  
Доказать фундированность троек неотрицательных целых чисел относительно лексикографического порядка (лемма в лекции 8, сформулированная в рамках доказательства завершаемости алгоритма унификации, обоснование которой помечено словами "Попробуйте сами").
+
Контрольные работы проводятся письменно, длительность каждой - 90 минут.
  
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение задачи
+
В контрольных работах встретятся 4 типовые задачи со следующими темами:
 +
# Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
 +
# Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
 +
# Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
 +
# Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.
  
== (4) Стратегия построения резолютивного вывода ==
+
Оценка решений типовых задач:
 +
* Максимальная оценка - 4 балла.
 +
* Если решение в целом верно, но содержит редкие ошибки серьёзнее опечаток, то оно оценивается в 3 балла.
 +
* Если решение содержит серьёзные ошибки, но имеет структуру, в целом разумно соотносящуюся с правильной, то задача оценивается в 2 балла.
 +
* Если в решении обнаружены правильные элементы, в заметном, но всё же малом количестве, то задача оценивается в 1 балл.
  
Сформулировать (с обоснованием) список правил, которых достаточно придерживаться, чтобы в резолютивном выводе, строящемся произвольно в рамках этих правил для противоречивой системы дизъюнктов, рано или поздно появился пустой дизъюнкт.
+
Теоретические вопросы даются в форме теста с множественным выбором: из предложенных вариантов ответа требуется выбрать правильные (один, несколько или ни одного), обоснование не требуется.
 +
Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.
  
Бонусы за решение задачи:
+
'''Первая контрольная работа''' будет содержать
* '''первый''' сдавший: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
+
* 3 типовые задачи по темам 1-3 и
* '''второй''' и '''третий''' сдавшие: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
+
* 9 теоретических вопросов по прочитанным лекциям.
  
== (5) Вычислительные возможности метода резолюций ==
+
'''Вторая контрольная работа''' будет содержать
 +
* 4 типовые задачи по всем темам и
 +
* 5 теоретических вопросов по лекциям, не попавшим в первую контрольную работу.
  
Сформулировать и обосновать утверждение, дающее ответ на вопрос, поставленный в конце "заключительного примера для метода резолюций" лекции 10.
+
'''Остальные контрольные работы''' будут содержать
 +
* 4 типовые задачи по всем темам и
 +
* 14 теоретических вопросов по всем лекциям.
  
Бонусы за решение задачи:
+
= Зачёт =
* '''первый''' сдавший: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
+
* '''второй''' и '''третий''' сдавшие: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
+
  
== (6) Исчисление семантических таблиц ==
+
На зачёте оцениваются результаты, относящиеся к решению типовых задач, знанию теории и работе в семестре.
 +
При проставлении зачёта учитывается 6 технических оценок:
 +
* Четыре оценки за типовые задачи, по одной за каждую задачу.
 +
* Оценка за знание теории. Максимум - 14 баллов.
 +
* Оценка за решение премиальных задач.
  
Определить аксиомы и правила вывода логического исчисления со следующими свойствами:
+
Для получения зачёта требуется получить два результата:
* формулы исчисления - семантические таблицы логики предикатов;
+
# Набрать хотя бы 11 баллов за типовые задачи.
* таблица выводима в исчислении тогда и только тогда, когда для неё существует успешный табличный вывод,
+
# Набрать хотя бы 20 баллов суммарно за всё (типовые задачи, теория, премиальные задачи).
* из доказательства для таблицы T можно получить успешный табличный вывод для T, взяв некоторое неразмеченное дерево и доразметив вершины этого дерева таблицами из доказательства.
+
  
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение задачи
+
Баллы за типовые задачи и за теорию набираются на [[#Контрольные работы|контрольных работах]].
  
== (7) Корректность натурального исчисления ==
+
Для решения каждой типовой задачи будет предложено несколько попыток.
 +
При проставлении зачёта учитывается '''максимальная''' оценка за задачу среди всех попыток её решить.
  
Выбрать одно из 4-х правил работы с кванторами в натуральном исчислении (введение/удаление существования/всеобщности) и обосновать корректность этого правила: если формулы над чертой общезначимы, то и формула под чертой общезначима (см. лекцию 12-13).
+
При проставлении зачёта учитывается '''максимальная''' оценка за теорию среди полученных
 +
* суммарно за первые две контрольные работы и
 +
* за каждую из следующих контрольных работ.
  
Для каждого из правил принимается только одно решение, и от одного студента принимается решение только для одного правила.
+
= Экзамен =
Бонус за решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
+
  
== (8) Теорема Гёделя о полноте ==
+
Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.
  
Доказать теорему Гёделя о полноте (см. лекцию 12-13).
+
Экзаменационная работа содержит 10 задач и оценивается по шкале от 0 до 37 технических баллов.
 +
К этим техническим баллам прибавляются баллы за выполнение премиальных задач и поощрение/штраф за [[#Контрольная работа|контрольную работу]].
 +
Согласно набранной сумме технических баллов выставляется оценка:
 +
* хотя бы 30: '''отлично''';
 +
* хотя бы 23, но менее 30: '''хорошо''';
 +
* хотя бы 16, но менее 23: '''удовлетворительно''';
 +
* менее 16: '''неудовлетворительно'''.
  
Бонусы за решение задачи:
+
Баллы за экзаменационную работу складываются из баллов за каждую задачу, предложенную в работе:
* '''первый''' сдавший: <span style="background:#DDFFDD">+10 баллов</span>
+
* Каждая из задач 1-4 оценивается в 4 балла. Темы задач:
* '''второй''' и '''третий''' сдавшие: <span style="background:#DDFFDD">+7 баллов</span>
+
*# Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
 +
*# Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
 +
*# Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
 +
*# Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.
 +
* Каждая из задач 5-7 оценивается в 3 балла и состоит из трёх частей:
 +
*# Сформулировать утверждение, определение и т.п.
 +
*# Ответить на вопрос "на понимание", так или иначе связанный с формулировкой.
 +
*# Аргументировать (обосновать) ответ на вопрос.
 +
* Каждая из задач 8-10 оценивается в 4 балла и устроена так:
 +
** Из нескольких предложенных вариантов ответа выбрать правильные (один, несколько или ни одного) и '''обосновать''' выбранные ответы.
 +
** Невыбранные ответы обосновывать не нужно.
  
<!--
+
== Контрольная работа ==
  
== Изоморфизм и элементарная эквивалентность интерпретаций ==
+
На оценку за экзамен влияет первая [[#Контрольные работы|контрольная работа]].
 +
Максимальная техническая оценка за эту работу - 21 балл.
 +
В зависимости от технических баллов, набранных за первую контрольную работу, определяется поощрение или штраф к техническим баллам за экзамен:
 +
* Набрано хотя бы 19 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>;
 +
* Набрано хотя бы 16, но менее 19 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>;
 +
* Набрано хотя бы 13, но менее 16 баллов: бонус <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>;
 +
* Набрано хотя бы 10, но менее 13 баллов: <span style="background:#CCCCCC">0 баллов</span>;
 +
* Набрано хотя бы 7, но менее 10 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-1 балл</span>;
 +
* Набрано хотя бы 4, но менее 7 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-2 балла</span>;
 +
* Набрано менее 4 баллов: штраф <span style="background:#FFDDDD">-3 балла</span>;
 +
* Неявка без уважительной причины: штраф <span style="background:#FFDDDD">-3 балла</span>;
 +
* Неявка по уважительной причине: <span style="background:#CCCCCC">0 баллов</span>.
  
=== Описание задачи ===
+
= Премиальные задачи =
  
Доказать утверждение на слайде 24 лекции 10 о соотношении понятий изоморфизма и элементарной эквивалентности интерпретаций.
+
Общие условия сдачи решений премиальных задач:
 +
* Можно как прислать письменное решение, так и обсудить решение устно. Если прислано письменное решение и к нему есть вопросы, то для ответов на эти вопросы может потребоваться дополнительное устное обсуждение.
 +
* При подготовке решения и во время его сдачи можно пользоваться любыми материалами.
 +
* При сдаче может быть проверено понимание '''каждой''' детали предложенного решения - следует быть к этому готовым.
 +
* Решение принимается, когда по нему не остаётся неотвеченных вопросов.
  
Бонусы за решение задачи:
+
'''Бонусы за решение задач формулируются для одной учебной группы''' и распределяются внутри одной группы независимо от другой.
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
+
Например, "''первый''" трактуется как "''первый в группе 318, а также первый в группе 319/2, а также ...''".
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
+
  
=== Количество предоставленных решений ===
+
Условия задач и статистика принятых решений будут обновляться и доводиться до слушателей по мере чтения курса.
 
+
'''Группа 318:''' 1
+
 
+
== <s>Теорема Гёделя о неполноте</s> ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Доказать теорему Гёделя о неполноте ('''лекция 10'''): либо адаптировать доказательство в лекции к общему случаю и доказать лемму о диагонали и утверждение об арифметизуемости графика, либо предоставить независимое доказательство.
+
 
+
Бонусы за решение задачи:
+
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+14 баллов</span>
+
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+11 баллов</span>
+
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+8 баллов</span>
+
 
+
=== Количество предоставленных решений ===
+
 
+
'''Группа 318:''' 3 (все баллы розданы)
+
 
+
== Арифметика Пресбургера и математическая индукция ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Указать все места в доказательстве разрешимости арифметики Пресбургера ('''лекция 11'''), в которых существенно используется наличие схемы аксиом индукции в этой арифметике, и объяснить способ использования.
+
 
+
Бонусы за решение задачи:
+
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
+
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
+
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
+
 
+
=== Количество предоставленных решений ===
+
 
+
'''Группа 318:''' 0
+
 
+
== <s>Определение экспоненты</s> ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Предложить (с обоснованием) определение одноместной функции 2^x (два в степени икс) в арифметической интерпретации на целых неотрицательных числах с сигнатурой <{0}, {+, x, s}, {=}> (семинар 5, задача 1, пункт 19).
+
 
+
''Если в обосновании будут содержаться китайская теорема об остатках, малая теорема Ферма или что-либо другое нетривиальное, то обоснование этого - часть решения''
+
 
+
Бонусы за решение задачи:
+
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+5 баллов</span>
+
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+4 балла</span>
+
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
+
 
+
=== Количество предоставленных решений ===
+
 
+
'''Группа 318:''' 3 (все баллы розданы)
+
 
+
 
+
== Свойства шкал Крипке ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Доказать утверждения о рефлексивности, транзитивности и симметричности шкал Крипке, сформулированные в разделе "Эпистемические логики" '''лекции 14'''
+
 
+
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение.
+
 
+
=== Количество предоставленных решений ===
+
 
+
'''Группа 318:''' 1
+
 
+
== <s>Задача о трёх мудрецах</s> ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Записать и пояснить законы рассуждений и ход рассуждений мудрецов в ''задаче о трёх мудрецах'' ('''лекция 14''') в терминах эпистемической логики.
+
 
+
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> первым '''двум''' предоставившим решение.
+
 
+
=== Количество предоставленных решений ===
+
 
+
'''Группа 318:''' 2 (все баллы розданы)
+
 
+
== Корректность правил логики Хоара ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Доказать корректность одного из правил логики Хоара ('''лекция 15, лемма о корректности правил'''), кроме правила R0 для пустой команды.
+
 
+
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> каждому решившему.
+
 
+
Ограничения на приём решений:
+
* От каждого принимается обоснование корректности не более чем одного правила.
+
* Обоснование корректности каждого правила принимается не более одного раза (в группе).
+
 
+
=== Принятые правила ===
+
 
+
'''Группа 318:''' -
+
 
+
== Слабейшие предусловия ==
+
 
+
Доказать теорему о слабейшем предусловии ('''лекция 15''').
+
 
+
Бонусы за решение задачи:
+
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 баллов</span>
+
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
+
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span>
+
 
+
=== Количество предоставленных решений ===
+
 
+
'''Группа 318:''' 0
+
 
+
== Законы темпоральных логик ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
* Выбрать один темпоральный оператор логики линейного времени.
+
** Если выбран оператор U, то также выбрать ''право'' или ''лево''.
+
* Доказать или опровергнуть два закона дистрибутивности, сформулированные для выбранного оператора в '''лекции 16'''.
+
** Если выбран оператор U, то это два закона дистрибутивности для ''правого'' или ''левого'' аргумента, в зависимости от сделанного выбора.
+
 
+
Бонус за решение задачи: <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> '''каждому''' предоставившему решение.
+
 
+
Ограничения на приём решений:
+
* От каждого принимается обоснование/опровержение не более чем одной пары законов.
+
* Обоснование/опровержение каждой пары законов принимается не более одного раза (в группе).
+
 
+
=== Операторы, для которых решения уже предоставлены ===
+
 
+
'''Группа 318:''' -
+
 
+
== Табличный алгоритм верификации для LTL ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Ответить на существенную часть вопросов, сформулированных на последнем слайде '''лекции 17''' 
+
 
+
Бонус за решение задачи: '''обсуждается индивидуально'''.
+
 
+
 
+
== Полнота семантической резолюции ==
+
 
+
=== Описание задачи ===
+
 
+
Доказать теорему полноты семантической резолюции (лекция 9).
+
 
+
Бонусы за решение задачи:
+
* '''первый''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span>
+
* '''второй''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span>
+
* '''третий''' предоставивший решение: <span style="background:#DDFFDD">+1 балла</span>
+
 
+
=== Количество предоставленных решений ===
+
 
+
'''Группа 318:''' 0
+
 
+
'''Группа 241:''' 0
+
 
+
== Законы темпоральной логики ==
+
 
+
Все пункты задачи относятся к ''законам темпоральной логики'' ('''лекция 17''').
+
 
+
* Выбрать одну пару двойственных левых частей для предполагаемых законов дистрибутивности (1+2, 3+4, 5+6, 7+8), сформулировать правые части, описывающие дистрибутивность операций в естественном понимании, и доказать и/или опровергнуть полученные законы.
+
* Доказать закон неподвижной точки для одного из операторов U, R.
+
* Сформулировать закон, ''не более тривиальный'', чем законы дистрибутивности для темпоральных операторов, и доказать его.
+
 
+
Один сдающий может выбрать только '''один''' закон (или пару законов дистрибутивности), '''не выбранный ранее''' другими сдавшими. <span style="background:#DDFFDD">+1 балл</span> каждому решившему.
+
 
+
''Статистика:''
+
 
+
* решены законы дистрибутивности 1+2, 3+4
+
* один решивший: законы из разных пар, поэтому пары остаются незанятыми
+
 
+
== Model checking для LTL ==
+
 
+
Доказать (додоказать) утверждение, представленное в слайдах '''лекции 18'''.
+
 
+
* Утверждение на слайде 18 (106): однозначное задание согласованных предположений атомарными высказываниями и Next-time-формулами. <span style="background:#DDFFDD">+2 балла</span> каждому решившему.
+
* Обоснование табличного метода model checking, достаточность, индуктивный переход, Until-формула: предложить обоснование для этого случая. <span style="background:#DDFFDD">+3 балла</span> каждому решившему.
+
 
+
-->
+
  
 
= Программа курса =
 
= Программа курса =
  
''Программа будет уточняться по мере проведения занятий''
+
''Программа будет обновляться согласно фактически прочитанному материалу''
  
 
== Классические логики ==
 
== Классические логики ==
 
<ol>
 
<ol>
<li> Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость, невыполнимость, общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
+
<li> Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость и общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
 
<li> Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
 
<li> Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
 
<li> Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
 
<li> Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
<li> Выполнимость, общезначимость и противоречивость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
+
<li> Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
 
<li> Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
 
<li> Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
 
<li> Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теоремы о корректности и полноте табличного вывода.
 
<li> Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теоремы о корректности и полноте табличного вывода.
<li> Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Теорема Чёрча.
+
<li> Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева.
 +
<li> Машины Тьюринга. Теорема Чёрча.
 
<li> Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.
 
<li> Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.
 
</ol>
 
</ol>
  
 
== Метод резолюций в логике предикатов ==
 
== Метод резолюций в логике предикатов ==
<ol start="9">
+
<ol start="10">
 
<li> Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
 
<li> Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
 
<li> Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
 
<li> Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
<li> Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме противоречивости систем дизъюнктов.
+
<li> Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме невыполнимости систем дизъюнктов.
 
<li> Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
 
<li> Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
 
<li> Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
 
<li> Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
Строка 495: Строка 263:
 
</ol>
 
</ol>
  
== Аксиоматические теории и исчисления ==
+
== Логические исчисления ==
<ol start="18">
+
<ol start="19">
<li> Аксиомы, теоремы и теории. Выполнимость, противоречивость и общезначимость формул в теории. Проблема общезначимости формул логики предикатов в теории.
+
<li> Логические исчисления. Исчисления высказываний и исчисления предикатов. Выводимость и доказуемость формул.
<li> Основные свойства интерпретаций: непротиворечивость, полнота, разрешимость, адекватность интерпретациям.
+
<li> Натуральное исчисление высказываний. Правило монотонности. Закон исключённого третьего. Правило сечения. Правило полного перебора. Правило приведения к абсурду. Корректность и полнота исчисления.
<li> Формальная арифметика. Арифметика Пеано. Теорема Гёделя о неполноте.
+
<li> Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления.
<li> Выразимость символов сигнатуры в интерпретациях. Теорема о расширении теории. Теорема о подстановке определения.
+
<li> Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).
<li> Арифметика Пресбургера.
+
</ol>
<li> Логические исчисления. Исчисления предикатов. Доказуемость (выводимость) формул.
+
 
<li> Исчисление высказываний гильбертовского типа. Корректность и полнота исчисления.
+
== Аксиоматические теории ==
<li> Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте.
+
<ol start="23">
<li> Натуральное исчисление высказываний. Корректность и полнота исчисления.
+
<li> Аксиоматические теории первого порядка: основные определения, проблема общезначимости формул в теории.
<li> Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления. Натуральный вывод формул.
+
<li> Основные свойства аксиоматических теорий: непротиворечивость, элементарность, полнота, разрешимость.
 +
<li> Определения и выразимость в интерпретациях. Теорема о подстановке определения.
 +
<li> Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте (формулировка и схема доказательства).
 +
<li> Арифметика Пресбургера, её разрешимость и выразительность.
 
</ol>
 
</ol>
  
Строка 512: Строка 283:
 
<ol start="28">
 
<ol start="28">
 
<li> Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
 
<li> Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
<li> Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Корректность и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Теорема корректности вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
+
<li> Интуиционистская логика.
<li> Верификация распределённых систем. Логика линейного времени: синтаксис, семантика. Основные равносильности в логике линейного времени. Применение темпоральных логик для спецификации поведения распределённых систем.
+
<li> Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Полная и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Корректность вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
<li> Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Семантика чередующихся вычислений. Задача верификации (проверки моделей; model checking) для логики линейного времени.
+
<li> Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Логика деревьев вычислений (CTL): синтаксис, семантика, основные равносильности, применение для спецификации поведения распределённых систем. Задача проверки моделей (model checking) относительно CTL: формулировка, решающий алгоритм.
<li> Табличный алгоритм верификации для логики линейного времени. Упрощение формул. Замыкание Фишера-Ладнера. Согласованные предположения. Система Хинтикки. Сведение задачи верификации к графовым задачам.
+
 
</ol>
 
</ol>
 
<!--
 
 
== Аксиоматические теории первого порядка ==
 
<ol start="21">
 
<li> Аксиомы. Аксиоматическая теория первого порядка: определение; выполнимость, общезначимость и противоречивость формул в теории. Проблемы общезначимости и выполнимости формул логики предикатов в теории.
 
<li> Основные свойства теорий: непротиворечивость, разрешимость, категоричность, полнота. Изоморфизм и элементарная эквивалентность интерпретаций. Связь изоморфизма интерпретаций, элементарной эквивалентности интерпретаций и полноты теорий.
 
<li> Теория частичных порядков. Теория равенства: непротиворечивость, разрешимость, некатегоричность.
 
<li> Исчисление предикатов: схемы аксиом, правило modus ponens, правило обобщения, логический вывод. Теорема Гёделя о полноте. Аксиоматические теории и исчисления.
 
<li> Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте. Нумерации Гёделя. Арифметизуемые отношения.
 
<li> Арифметика Пресбургера: непротиворечивость, разрешимость, полнота.
 
<li> Бескванторные теории первого порядка. Теории с равенством. Преимущества проблемы выполнимости формул в теории перед проблемой общезначимости.
 
<li> Теория равенства с неинтерпретируемыми функциями, разрешимость теории: сведение проблемы выполнимости в теории к проблеме выполнимости булевых формул.
 
<li> Линейная арифметика. Виды линейных арифметик. NP-полнота линейной целочисленной арифметики.
 
<li> Комбинация решающих алгоритмов для проблем выполнимости формул в теориях и в логике высказываний. Остовная проверка выполнимости формул в теориях. Интеграция алгоритмов проверки выполнимости формул в теориях в алгоритм DPLL.
 
</ol>
 
 
== Аксиоматическая теория множеств ==
 
<ol start="31">
 
<li> Наивная теория множеств. Сравнение мощностей множеств. Кардинальные числа в наивной теории множеств.
 
<li> Теорема Кантора. Теорема об объединении множества, неограниченного по мощности. Теорема Кантора-Бернштейна.
 
<li> Примеры кардинальных чисел. Конечность множеств мощности меньше счётной. Континуум-гипотеза в наивной теории множеств.
 
<li> Выразительные возможности наивной теории множеств: натуральные числа, кортежи, функции. Парадоксы теории множеств.
 
<li> Аксиоматические теории множеств. Теория Цермело-Френкеля: аксиомы и схемы аксиом, доказательство существования основных множеств наивной теории, исключение основных парадоксов теории множеств. Вопросы непротиворечивости теории Цермело-Френкеля.
 
<li> Определимость функций и отношений в теории. Применение определений для расширения теории.
 
<li> Аксиома выбора. Непротиворечивость теорий Цермело-Френкеля с аксиомой выбора и её отрицанием.
 
<li> Ординальные числа. Основные свойства ординальных чисел. Арифметика ординальных чисел.
 
<li> Теорема Цермело. Кардинальные числа в теории Цермело-Френкеля с аксиомой выбора.
 
<li> Континуум-гипотеза в теории Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. Непротиворечивость теорий Цермело-Френкеля с аксиомой выбора и континуум-гипотезой, её отрицанием.
 
</ol>
 
 
== Неклассические прикладные логики ==
 
<ol start="41">
 
<li> Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики.
 
<li> Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Корректность и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Теорема корректности вывода в логике Хоара.
 
<li> Верификация распределённых систем. Логика линейного времени: синтаксис, семантика. Основные равносильности в логике линейного времени. Применение темпоральных логик для спецификации поведения распределённых систем.
 
<li> Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Семантика чередующихся вычислений. Задача проверки выполнимости формул логики линейного времени на размеченных системах переходов.
 
<li> Позитивная форма формул логики линейного времени. Замыкание Фишера-Ладнера. Согласованные множества формул. Системы Хинтикки. Табличный метод проверки выполнимости формул логики линейного времени на размеченных системах переходов.
 
</ol>
 
 
-->
 
  
 
= Рекомендованная литература =
 
= Рекомендованная литература =

Текущая версия на 15:16, 26 марта 2024


Актуальность информации: весенний семестр 2023/2024 учебного года.

Обязательный курс для студентов групп 318 и 319/2, а также 241 и 242 (Математическая логика и теория алгоритмов). Курс читает В. В. Подымов.

Слайды лекций

Блок 1 (вводный). Что такое логика. Несколько логических парадоксов. Чего ожидать в курсе.

Блок 2. Логика высказываний: синтаксис, семантика.

Блок 3. Логика предикатов: синтаксис, семантика.

Блок 4. Как формализовать предложение на языке логики предикатов (пример).

Блок 5. Логика высказываний: выполнимые и общезначимые формулы.

Блок 6. Логика предикатов: выполнимые и общезначимые формулы; модели формул; логическое следствие; проблема общезначимости формул (постановка).

Блок 7. Логика предикатов: можно ли проверить общезначимость формулы "в лоб"?

Блок 8. Метод семантических таблиц: семантические таблицы.

Блок 9. Подстановки (основные определения).

Блок 10. Метод семантических таблиц: табличный вывод.

Блок 11. Метод семантических таблиц: корректность табличного вывода.

Блок 12. Метод семантических таблиц: полнота табличного вывода.

Блок 13. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Автоматизация доказательства теорем.

Блок 14. Общая схема метода резолюций.

Блок 15. Равносильность формул.

Блок 16. Предварённая нормальная форма (ПНФ).

Блок 17. Сколемовская стандартная форма (ССФ).

Блок 18. Системы дизъюнктов.

Блок 19. Композиция подстановок. Постановка задачи унификации.

Блок 20. Алгоритм унификации атомарных формул.

Блок 21. Монотонность и транзитивность отношения логического следования.

Блок 22. Резолютивный вывод. Корректность резолютивного вывода.

Блок 23. Обоснование общезначимости формулы методом резолюций (пример).

Блок 24. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях.

Блок 25. Теорема Эрбрана. Полнота резолютивного вывода.

Блок 26. Даша, Саша, Паша, пиво и метод семантических таблиц с методом резолюций.

Блок 27. Как устроены математические доказательства. Логические исчисления.

Блок 28. Натуральное исчисление высказываний: основные определения.

Блок 29. Натуральное исчисление высказываний: правило монотонности, закон исключённого третьего, корректность.

Блок 30. Натуральное исчисление высказываний: правило сечения, правило полного перебора, правило приведения к абсурду, полнота.

Блок 31. Натуральное исчисление предикатов: основные определения, корректность.

Блок 32. Гильбертовское исчисление предикатов. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).

Слайды будут появляться по мере чтения лекций.

Прошлогодние слайды

Блок 33. Натуральное исчисление предикатов: полнота.

Блок 34. Задачи и проблемы. Алгоритмы. Разрешимость. M-сводимость.

Блок 35. Машины Тьюринга (МТ).

Блок 36. Теорема Чёрча.

Блок 37. Аксиоматические теории первого порядка. Проблема общезначимости формул в теории.

Блок 38. Основные свойства аксиоматических теорий.

Блок 39. Арифметические интерпретации и теории.

Блок 40. Определения и выразимость.

Блок 41. Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте.

Блок 42. Арифметика Пресбургера.

Блок 43. Модальные логики.

Блок 44. Эпистемические логики.

Блок 45. Темпоральные логики.

Блок 46. Интуиционистская логика.

Блок 47. Формальная верификация.

Блок 48. Модельные императивные программы. Постановка задачи верификации программ.

Блок 49. Логика Хоара. Автоматизация проверки правильности программ.

Блок 50. Проверка правильности распределённых систем. Пара слов о методе model checking.

Блок 51. Размеченные системы переходов.

Блок 52. Спецификация систем при помощи темпоральных логик.

Блок 53. Алгоритм model checking для CTL.

Семинары

Материалы семинаров будут обновляться по мере проведения занятий

Семинары 1-4 проводятся по этому сборнику задач.

Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к расширенному сборнику задач

Материалы семинара 5-6 (натуральное исчисление).

Контрольные работы

Контрольные работы проводятся письменно, длительность каждой - 90 минут.

В контрольных работах встретятся 4 типовые задачи со следующими темами:

  1. Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
  2. Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
  3. Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
  4. Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.

Оценка решений типовых задач:

  • Максимальная оценка - 4 балла.
  • Если решение в целом верно, но содержит редкие ошибки серьёзнее опечаток, то оно оценивается в 3 балла.
  • Если решение содержит серьёзные ошибки, но имеет структуру, в целом разумно соотносящуюся с правильной, то задача оценивается в 2 балла.
  • Если в решении обнаружены правильные элементы, в заметном, но всё же малом количестве, то задача оценивается в 1 балл.

Теоретические вопросы даются в форме теста с множественным выбором: из предложенных вариантов ответа требуется выбрать правильные (один, несколько или ни одного), обоснование не требуется. Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.

Первая контрольная работа будет содержать

  • 3 типовые задачи по темам 1-3 и
  • 9 теоретических вопросов по прочитанным лекциям.

Вторая контрольная работа будет содержать

  • 4 типовые задачи по всем темам и
  • 5 теоретических вопросов по лекциям, не попавшим в первую контрольную работу.

Остальные контрольные работы будут содержать

  • 4 типовые задачи по всем темам и
  • 14 теоретических вопросов по всем лекциям.

Зачёт

На зачёте оцениваются результаты, относящиеся к решению типовых задач, знанию теории и работе в семестре. При проставлении зачёта учитывается 6 технических оценок:

  • Четыре оценки за типовые задачи, по одной за каждую задачу.
  • Оценка за знание теории. Максимум - 14 баллов.
  • Оценка за решение премиальных задач.

Для получения зачёта требуется получить два результата:

  1. Набрать хотя бы 11 баллов за типовые задачи.
  2. Набрать хотя бы 20 баллов суммарно за всё (типовые задачи, теория, премиальные задачи).

Баллы за типовые задачи и за теорию набираются на контрольных работах.

Для решения каждой типовой задачи будет предложено несколько попыток. При проставлении зачёта учитывается максимальная оценка за задачу среди всех попыток её решить.

При проставлении зачёта учитывается максимальная оценка за теорию среди полученных

  • суммарно за первые две контрольные работы и
  • за каждую из следующих контрольных работ.

Экзамен

Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.

Экзаменационная работа содержит 10 задач и оценивается по шкале от 0 до 37 технических баллов. К этим техническим баллам прибавляются баллы за выполнение премиальных задач и поощрение/штраф за контрольную работу. Согласно набранной сумме технических баллов выставляется оценка:

  • хотя бы 30: отлично;
  • хотя бы 23, но менее 30: хорошо;
  • хотя бы 16, но менее 23: удовлетворительно;
  • менее 16: неудовлетворительно.

Баллы за экзаменационную работу складываются из баллов за каждую задачу, предложенную в работе:

  • Каждая из задач 1-4 оценивается в 4 балла. Темы задач:
    1. Формализовать в логике предикатов предложение, записанное на естественном языке.
    2. Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
    3. Обосновать общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
    4. Доказать формулу в натуральном исчислении предикатов.
  • Каждая из задач 5-7 оценивается в 3 балла и состоит из трёх частей:
    1. Сформулировать утверждение, определение и т.п.
    2. Ответить на вопрос "на понимание", так или иначе связанный с формулировкой.
    3. Аргументировать (обосновать) ответ на вопрос.
  • Каждая из задач 8-10 оценивается в 4 балла и устроена так:
    • Из нескольких предложенных вариантов ответа выбрать правильные (один, несколько или ни одного) и обосновать выбранные ответы.
    • Невыбранные ответы обосновывать не нужно.

Контрольная работа

На оценку за экзамен влияет первая контрольная работа. Максимальная техническая оценка за эту работу - 21 балл. В зависимости от технических баллов, набранных за первую контрольную работу, определяется поощрение или штраф к техническим баллам за экзамен:

  • Набрано хотя бы 19 баллов: бонус +3 балла;
  • Набрано хотя бы 16, но менее 19 баллов: бонус +2 балла;
  • Набрано хотя бы 13, но менее 16 баллов: бонус +1 балл;
  • Набрано хотя бы 10, но менее 13 баллов: 0 баллов;
  • Набрано хотя бы 7, но менее 10 баллов: штраф -1 балл;
  • Набрано хотя бы 4, но менее 7 баллов: штраф -2 балла;
  • Набрано менее 4 баллов: штраф -3 балла;
  • Неявка без уважительной причины: штраф -3 балла;
  • Неявка по уважительной причине: 0 баллов.

Премиальные задачи

Общие условия сдачи решений премиальных задач:

  • Можно как прислать письменное решение, так и обсудить решение устно. Если прислано письменное решение и к нему есть вопросы, то для ответов на эти вопросы может потребоваться дополнительное устное обсуждение.
  • При подготовке решения и во время его сдачи можно пользоваться любыми материалами.
  • При сдаче может быть проверено понимание каждой детали предложенного решения - следует быть к этому готовым.
  • Решение принимается, когда по нему не остаётся неотвеченных вопросов.

Бонусы за решение задач формулируются для одной учебной группы и распределяются внутри одной группы независимо от другой. Например, "первый" трактуется как "первый в группе 318, а также первый в группе 319/2, а также ...".

Условия задач и статистика принятых решений будут обновляться и доводиться до слушателей по мере чтения курса.

Программа курса

Программа будет обновляться согласно фактически прочитанному материалу

Классические логики

  1. Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость и общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
  2. Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
  3. Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
  4. Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
  5. Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
  6. Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теоремы о корректности и полноте табличного вывода.
  7. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева.
  8. Машины Тьюринга. Теорема Чёрча.
  9. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.

Метод резолюций в логике предикатов

  1. Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
  2. Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
  3. Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме невыполнимости систем дизъюнктов.
  4. Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
  5. Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
  6. Правило резолюции. Правило склейки. Резолютивный вывод. Теорема о корректности резолютивного вывода.
  7. Эрбрановский универсум. Эрбрановский базис. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.
  8. Лемма об основных дизъюнктах. Лемма о подъёме. Теорема о полноте резолютивного вывода.
  9. Метод резолюций: общая схема, применение.

Логические исчисления

  1. Логические исчисления. Исчисления высказываний и исчисления предикатов. Выводимость и доказуемость формул.
  2. Натуральное исчисление высказываний. Правило монотонности. Закон исключённого третьего. Правило сечения. Правило полного перебора. Правило приведения к абсурду. Корректность и полнота исчисления.
  3. Натуральное исчисление предикатов. Корректность и полнота исчисления.
  4. Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема Гёделя о полноте (формулировка).

Аксиоматические теории

  1. Аксиоматические теории первого порядка: основные определения, проблема общезначимости формул в теории.
  2. Основные свойства аксиоматических теорий: непротиворечивость, элементарность, полнота, разрешимость.
  3. Определения и выразимость в интерпретациях. Теорема о подстановке определения.
  4. Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте (формулировка и схема доказательства).
  5. Арифметика Пресбургера, её разрешимость и выразительность.

Неклассические прикладные логики

  1. Модальные логики. Шкалы и модели Крипке для модальных логик. Эпистемические логики. Темпоральные логики. Логика линейного времени. Логика деревьев вычислений.
  2. Интуиционистская логика.
  3. Формальная верификация программ. Модель императивных программ: синтаксис, операционная семантика. Предусловия и постусловия. Полная и частичная корректность программ. Тройки Хоара. Логика Хоара. Корректность вывода в логике Хоара. Слабейшее предусловие. Инвариант цикла.
  4. Размеченные системы переходов. Моделирование программ системами переходов. Логика деревьев вычислений (CTL): синтаксис, семантика, основные равносильности, применение для спецификации поведения распределённых систем. Задача проверки моделей (model checking) относительно CTL: формулировка, решающий алгоритм.

Рекомендованная литература

Основная литература

  1. Клини С. Математическая логика. М.:Мир, 1973, 480 с.
  2. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.:Мир, 1983. 360 с.
  3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. Москва, "Физико-математическая литература", 1995 г., 250 с.
  4. Метакидес Г., Нероуд А., Принципы логики и логического программирования. Москва, "Факториал", 1998, 288 с.
  5. Братко И. Программирование на Прологе для искусственного интеллекта. М.:Мир, 1990, 560 с.
  6. Набебин А.А. Логика и Пролог в дискретной математике. М., Изд-во МЭИ, 1997.
  7. Кларк Э.М., Грамберг О., Пелед Д. Верификация моделей программ: model checking. Изд-во МЦНМО, Москва, 2002, 405 с.

Дополнительная литература

  1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.:Наука, 1984. 319 с.
  2. Верещагин Н.К., Шень А. Языки и исчисления. 2004.
  3. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2004. 128 с.
  4. Лавров И.А. Математическая логика. Учебное пособие для вузов. М.: Академия, 2006.
  5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Серия "Классический университетский учебник". Изд.3, 2006, 240 с.
  6. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика - М.: 1979.
  7. Непейвода Н. Н. Прикладная логика. Новосибирск. 2000 г.
  8. Хоггер К., Введение в логическое программирование. М.:Мир, 1988. 348 с.
  9. Клоксин У., Меллиш К. Программирование на языке Пролог. М.:Мир, 1987. 336 с.
  10. Кларк К.Л., Маккейб Ф.Г. Микро-Пролог: введение в логическое программирование. Москва, "Радио и связь". 1987, 311 с.
  11. Стерлинг Л., Шапиро Э., Искусство программирования на языке ПРОЛОГ. Москва, "Мир", 1990, 235 с.
  12. Ковальский Р. Логика в решении проблем. М.: Наука, 1990. 277 с.
  13. Логический подход к искусственному интеллекту (от модальной логики к логике баз данных). М.:Мир, 1998. 495 с.