Избранные вопросы дискретной математики — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(О проведении экзамена)
(Лекции)
(не показаны 45 промежуточные версии 1 участника)
Строка 5: Строка 5:
 
==Объявления==
 
==Объявления==
  
<!---'''[[Media:ivdm-exam.pdf|Вопросы к экзамену]]'''
+
<!---Пересдача экзамена состоится 18 февраля (в пятницу) удаленно. Начало в 16 ч 30 мин.
  
[[Media:ivdm-kolok.pdf|Итоги коллоквиумов]]--->
+
ВАЖНО: просьба к каждому студенту, сдающему пересдачу, прислать на эл. почту dm1@cs.msu.ru письмо. В теме письма написать "пересдача по ИВДМ". Ответными письмами будет выслан вариант экзаменационного задания.
 +
 
 +
В день экзамена в 16 ч 30 мин каждый студент по эл. почте получает вариант экзаменационного задания. На выполнение работы отводится 1 ч 30 мин (90 мин). Работу нужно написать от руки на светлых листах контрастной ручкой. Вверху на каждом листе нужно написать фамилию, имя.
 +
 
 +
Выполненную работу нужно отсканировать или сфотографировать. Затем сканы или фотографии выполненной работы в формате pdf, jpg или png нужно прислать ответным письмом на dm1@cs.msu.ru. На сканирование или фотографирование работы и ее отправку отводится 15 мин.
 +
 
 +
Если работа студента не получена через 1 ч 45 мин (105 мин) после начала экзамена, т.е. до 18 ч 15 мин, то считается, что студент работу не сдал.--->
  
 
==Лекции==
 
==Лекции==
  
'''Часть 1. Конечнозначные функции'''.
+
'''Часть 1. Конечные функции'''.
  
'''[[Media:ivdm-l1-selezn.pdf|Лекция 1]]'''. Конечнозначные функции. Элементарные k-значные функции. Способы представления k-значных функций: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
+
'''[[Media:ivdm-l1-selezn.pdf|Лекция 1]]'''. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Представимость функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.
  
'''[[Media:ivdm-l2-selezn.pdf|Лекция 2]]'''. Алгоритм распознавания полноты в P_k. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Теорема Кузнецова о функциональной полноте. Предполные классы.
+
'''[[Media:ivdm-l2-selezn.pdf|Лекция 2]]'''. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
  
 
'''[[Media:ivdm-l3-selezn.pdf|Лекция 3]]'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
 
'''[[Media:ivdm-l3-selezn.pdf|Лекция 3]]'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
 +
<!---'''[[Media:ivdm-l4-selezn.pdf|Лекция 4]]'''. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество, и функций, сохраняющих разбиение, их замкнутость.
  
'''[[Media:ivdm-l4-selezn.pdf|Лекция 4]]'''. Классы функций, сохраняющих предикат, их замкнутость. Предполные классы. Предикатное описание предполных классов.
+
'''[[Media:ivdm-l5-selezn.pdf|Лекция 5]]'''. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k.
  
'''[[Media:ivdm-l5-selezn.pdf|Лекция 5]]'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Существование в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и замкнутых классов со счетным базисом. Соответствие Галуа. Задача обобщенной выполнимости.
+
'''[[Media:ivdm-l6-selezn.pdf|Лекция 6]]'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.  
  
Коллоквиум по теме "Конечнозначные функции".
+
Коллоквиум по теме "Конечные функции".
  
 
'''Часть 2. Теория Пойа'''.
 
'''Часть 2. Теория Пойа'''.
  
'''[[Media:ivdm-l6-selezn.pdf|Лекция 6]]'''. Группы. Симметрическая группа перестановок S_n. Подгруппы. Теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.
+
'''[[Media:ivdm-l7-selezn.pdf|Лекция 7]]'''. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
  
'''[[Media:ivdm-l7-selezn.pdf|Лекция 7]]'''. Подгруппы. Смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.
+
'''[[Media:ivdm-l8-selezn.pdf|Лекция 8]]'''. Перестановки. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.
  
'''[[Media:ivdm-l8-selezn.pdf|Лекция 8]]'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы. Теорема Пойа. Производящие функции. Перечисляющий ряд для цветов и перечисляющий ряд для раскрасок. Теорема Пойа (общий случай). Примеры.
+
'''[[Media:ivdm-l9-selezn.pdf|Лекция 9]]'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок по группе. Теорема Пойа. Примеры.
 
+
Коллоквиум по теме "Теория Пойа".
+
  
 
'''Часть 3. Конечные поля'''.
 
'''Часть 3. Конечные поля'''.
  
'''[[Media:ivdm-l9-selezn.pdf|Лекция 9]]'''. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.
+
'''[[Media:ivdm-l10-selezn.pdf|Лекция 10]]'''. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.
  
'''[[Media:ivdm-l10-selezn.pdf|Лекция 10]]'''. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.
+
'''[[Media:ivdm-l11-selezn.pdf|Лекция 11]]'''. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.
 
+
'''[[Media:ivdm-l11-selezn.pdf|Лекция 11]]'''. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.
+
 
+
Коллоквиум по теме "Конечные поля".
+
  
 +
<!---'''Лекция 12'''. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.
 +
Коллоквиум по теме "Конечные поля".--->
 
'''Литература'''
 
'''Литература'''
  
Строка 68: Строка 71:
 
'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
 
'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
  
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.5, 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
+
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.2(1, 3), 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
  
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.6, 1.11(5, 10), 1.12, 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.9, 2.11(1, 2).
+
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.2(2, 4), 1.6, 1.11(5, 10), 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.11(1, 2).
  
 
'''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.  
 
'''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.  
Строка 78: Строка 81:
 
На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.
 
На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.
  
'''Занятие 3'''. Распознавание полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.  
+
'''Занятие 3'''. Проверка полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.  
  
 
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
 
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
Строка 84: Строка 87:
 
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).
 
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).
  
'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.  
+
<!---'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.  
  
 
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
 
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
Строка 112: Строка 115:
 
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
 
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
  
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).
+
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).--->
 
+
 
==О проведении экзамена==
 
==О проведении экзамена==
  
Экзамен устный. В билете два теоретических вопроса и задача. Ответ на вопросы билета без подготовки. При ответе на первый вопрос можно пользоваться любыми бумажными источниками (конспектами лекций, распечатками, книгами). При ответе на второй вопрос никакими источниками пользоваться не разрешается. Задача на одну из трех тем. В течение семестра по каждой из этих тем состоятся коллоквиумы. На каждом из них можно получить одну из трех оценок: 1 (освобождение от задачи), 0,5 или 0 (дополнительная задача). При наличии дополнительных задач по итогам коллоквиумов студент решает эти задачи до того, как вытянет билет. На пересдаче нет освобождения от задач и дополнительных задач: студент отвечает на два теоретических вопроса в билете и решает задачу из билета.
 
  
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]

Версия 19:11, 14 сентября 2022

Курс читает Селезнева Светлана Николаевна

Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен.

Объявления

Лекции

Часть 1. Конечные функции.

Лекция 1. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Представимость функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.

Лекция 2. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Лекция 3. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции. Литература

Основная:

  1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
  2. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
  3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
  4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
  5. Задачи для семинарских занятий по теме "Группы. Теория Пойа".
  6. Задачи для семинарских занятий по теме "Конечные поля".

Дополнительная:

  1. Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1.
  2. Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1.
  3. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1.
  4. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006.
  5. Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017.

Семинары

Занятие 1. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.

[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.2(1, 3), 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).

На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.2(2, 4), 1.6, 1.11(5, 10), 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.11(1, 2).

Занятие 2. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.

[4] Гл. III 2.1(1 а, б, г, д), 2.2(1, 2), 2.13(1, 2, 5, 6), 2.16(1, 3), 2.19(1, 2, 3, 4).

На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.

Занятие 3. Проверка полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.

[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).

На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).

О проведении экзамена