Избранные вопросы дискретной математики — различия между версиями
(→Объявления) |
(→Лекции) |
||
(не показаны 38 промежуточные версии 1 участника) | |||
Строка 5: | Строка 5: | ||
==Объявления== | ==Объявления== | ||
− | <!---''' | + | <!---'''Экзамен - 8 января'''. '''Начало в 10 ч'''. |
− | + | Консультация к экзамену состоится 6 января с помощью zoom; ссылка такая же, как и для лекций. Начало в 10 ч.---> | |
==Лекции== | ==Лекции== | ||
− | '''Часть 1. | + | '''Часть 1. Конечные функции'''. |
− | '''[[Media:ivdm-l1-selezn.pdf|Лекция 1]]'''. | + | '''[[Media:ivdm-l1-selezn.pdf|Лекция 1]]'''. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Теоремы о представлении функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах. |
− | '''[[Media:ivdm-l2-selezn.pdf|Лекция 2]]'''. | + | '''[[Media:ivdm-l2-selezn.pdf|Лекция 2]]'''. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба. |
− | '''[[Media:ivdm-l3-selezn.pdf|Лекция 3]]'''. | + | '''[[Media:ivdm-l3-selezn.pdf|Лекция 3]]'''. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество, и функций, сохраняющих разбиение, их замкнутость. |
− | '''[[Media:ivdm-l4-selezn.pdf|Лекция 4]]'''. | + | '''[[Media:ivdm-l4-selezn.pdf|Лекция 4]]'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции. |
− | '''[[Media:ivdm-l5-selezn.pdf|Лекция 5]]'''. | + | '''[[Media:ivdm-l5-selezn.pdf|Лекция 5]]'''. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k. |
− | + | '''[[Media:ivdm-l6-selezn.pdf|Лекция 6]]'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k. | |
− | + | Коллоквиум по теме "Конечные функции". | |
− | ''' | + | '''Часть 2. Теория Пойа'''. |
− | '''[[Media:ivdm-l7-selezn.pdf|Лекция 7]]'''. Подгруппы. Смежные классы | + | '''[[Media:ivdm-l7-selezn.pdf|Лекция 7]]'''. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. |
− | '''[[Media:ivdm-l8-selezn.pdf|Лекция 8]]'''. | + | '''[[Media:ivdm-l8-selezn.pdf|Лекция 8]]'''. Перестановки. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда. |
− | + | '''[[Media:ivdm-l9-selezn.pdf|Лекция 9]]'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок по группе. Теорема Пойа. Примеры. | |
'''Часть 3. Конечные поля'''. | '''Часть 3. Конечные поля'''. | ||
− | '''[[Media:ivdm- | + | '''[[Media:ivdm-l10-selezn.pdf|Лекция 10]]'''. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3. |
− | '''[[Media:ivdm- | + | '''[[Media:ivdm-l11-selezn.pdf|Лекция 11]]'''. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля. |
− | + | ||
− | + | ||
+ | <!---'''Лекция 12'''. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.---> | ||
Коллоквиум по теме "Конечные поля". | Коллоквиум по теме "Конечные поля". | ||
'''Литература''' | '''Литература''' | ||
+ | |||
+ | Основная: | ||
# Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001. | # Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001. | ||
Строка 53: | Строка 54: | ||
# [[Media:ivdm-sem.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Группы. Теория Пойа". | # [[Media:ivdm-sem.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Группы. Теория Пойа". | ||
# [[Media:ivdm-sem3.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Конечные поля". | # [[Media:ivdm-sem3.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Конечные поля". | ||
+ | |||
+ | Дополнительная: | ||
+ | |||
+ | # Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1. | ||
+ | # Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1. | ||
+ | # Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1. | ||
+ | # Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006. | ||
+ | # Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017. | ||
==Семинары== | ==Семинары== | ||
Строка 68: | Строка 77: | ||
На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15. | На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15. | ||
− | '''Занятие 3'''. | + | '''Занятие 3'''. Проверка полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы. |
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3). | [4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3). | ||
Строка 106: | Строка 115: | ||
==О проведении экзамена== | ==О проведении экзамена== | ||
− | + | ||
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]] | [[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]] |
Версия 22:04, 1 декабря 2021
Курс читает Селезнева Светлана Николаевна
Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен.
Содержание
Объявления
Лекции
Часть 1. Конечные функции.
Лекция 1. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Теоремы о представлении функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.
Лекция 2. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
Лекция 3. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество, и функций, сохраняющих разбиение, их замкнутость.
Лекция 4. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
Лекция 5. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k.
Лекция 6. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.
Коллоквиум по теме "Конечные функции".
Часть 2. Теория Пойа.
Лекция 7. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
Лекция 8. Перестановки. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.
Лекция 9. Раскраски. Эквивалентность раскрасок по группе. Теорема Пойа. Примеры.
Часть 3. Конечные поля.
Лекция 10. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.
Лекция 11. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.
Коллоквиум по теме "Конечные поля".
Литература
Основная:
- Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
- Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
- Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
- Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
- Задачи для семинарских занятий по теме "Группы. Теория Пойа".
- Задачи для семинарских занятий по теме "Конечные поля".
Дополнительная:
- Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1.
- Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1.
- Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1.
- Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006.
- Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017.
Семинары
Занятие 1. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.5, 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.6, 1.11(5, 10), 1.12, 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.9, 2.11(1, 2).
Занятие 2. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.
[4] Гл. III 2.1(1 а, б, г, д), 2.2(1, 2), 2.13(1, 2, 5, 6), 2.16(1, 3), 2.19(1, 2, 3, 4).
На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.
Занятие 3. Проверка полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).
Занятие 4. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
На дом: [5] 2.1(3, 4), 2.2(1, 3), 2.3(2, 4, 6, 8), 2.4(1, 3, 5), 2.5(1, 3, 5, 7), 2.6(1, 4), 2.7(2).
Занятие 5. Раскраски. Теорема Пойа (частный случай).
[5] 2.8(2, 3, 6), 2.12(1, 2 (1-2)), 2.13(1, 2).
На дом: [5] 2.8(1, 4, 5, 7, 8), 2.12(2 (3-4)), 2.13(3), 2.14(2, 3), 2.15(2, 3).
Занятие 6. Раскраски. Теорема Пойа (общий случай).
[5] 2.9(1-4), 2.10(2, 4), 2.11(1, 2), 2.16(1, 3), 2.17(1,3).
На дом: [5] 2.9(5-8), 2.10(1, 3), 2.11(3, 4), 2.16(2, 4), 2.17(2, 4).
Занятие 7. Построение конечных полей.
[6] 3.1(1, 3, 5, 7), 3.3(1, 3, 5, 7), 3.4(1, 3, 5, 7), 3.5(1, 3), 3.7(1, 3).
На дом: [6] 3.1(2, 4, 6, 8), 3.3(2, 4, 6, 8), 3.4(2, 4, 6, 8), 3.5(2, 4), 3.7(2, 4).
Занятие 8. Вычисления в конечных полях.
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).