Дискретные функции и выполнимость ограничений — различия между версиями
(→Программа семинарских занятий) |
(→Программа курса) |
||
| Строка 22: | Строка 22: | ||
'''Лекция 8'''. Нижняя единица и верхний ноль функции. Лемма о нахождении всех нижних единиц функции алгебры логики по ее полиному Жегалкина. Полиномиальность задачи распознавания монотонности функции алгебры логики, заданной в виде полинома Жегалкина. | '''Лекция 8'''. Нижняя единица и верхний ноль функции. Лемма о нахождении всех нижних единиц функции алгебры логики по ее полиному Жегалкина. Полиномиальность задачи распознавания монотонности функции алгебры логики, заданной в виде полинома Жегалкина. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 9'''. NP-полнота задачи распознавания несамодвойственности функции алгебры логики, заданной в виде ДНФ. Четные функции. Лемма о соотношении между самодвойственными и четными функциями алгебры логики. Леммы о свойствах полиномов Жегалкина четных функций алгебры логики. Полиномиальность задачи распознавания самодвойственности функции алгебры логики, заданной в виде полинома Жегалкина. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 10'''. NP-полнота задачи выполнимости системы функций алгебры логики, заданных в виде полиномов Жегалкина. Вес функции алгебры логики. NP-трудность задачи распознавания равенства веса n-местной функции алгебры логики, заданной в виде полинома Жегалкина, числу 2^{n-1}. Выражение коэффициентов полинома Жегалкина функции алгебры логики через ее значения. Критерий четности веса функции алгебры логики. Полиномиальность задачи распознавания кратности веса функции алгебры логики, заданной в виде полинома Жегалкина, числу 2^m, где m -- заранее известное натуральное число. | ||
==Программа семинарских занятий== | ==Программа семинарских занятий== | ||
Версия 19:51, 11 ноября 2015
Обязательный курс магистерской программы "Дискретные структуры и алгоритмы"
Лекции - 2 ч в неделю, семинары - 1 ч в неделю
Лектор — доцент Селезнева Светлана Николаевна
Программа курса
Лекция 1. Единичный n-мерный куб. Функции алгебры логики. Полином Жегалкина. Некоторые свойства полиномов Жегалкина функций алгебры логики.
Лекция 2. Поляризованные полиномиальные формы (ППФ). Длина функции в классе ППФ. Теорема Перязева о длине функций алгебры логики в классе ППФ. Теорема о длине почти всех функций в классе ППФ. Сложность системы функций в классе ППФ. Теорема о сложности систем функций алгебры логики, содержащих хотя бы две функции, в классе ППФ.
Лекция 3. Полиномиальные нормальные формы (ПНФ). Длина функции в классе ПНФ. Нижняя мощностная оценка длины функций алгебры логики в классе ПНФ. Теорема Кириченко об оценке длины функций алгебры логики в классе ПНФ через затеняющее множество куба.
Лекция 4. Покрытия матриц. Градиентное покрытие матрицы. Лемма о градиентном покрытии. Оценка затеняющего множества куба. Верхняя оценка длины функций алгебры логики в классе ПНФ.
Лекция 5. Приближения функций алгебры логики полиномами. Леммы о свойствах биномиальных коэффициентов и их сумм. Теорема о ранге полиномов, приближающих функции алгебры логики с заданной точностью.
Лекция 6. Приближения функций алгебры логики полиномами. Лемма о приближении функции алгебры логики на множестве. Теорема о длине полиномов, приближающих функции алгебры логики с заданной точностью.
Лекция 7. Задачи распознавания свойств. Задачи из классов P и NP. Полиномиальные, NP-трудные и NP-полные задачи. Линейные функции алгебры логики. Обоснование нелинейности функции. NP-полнота задачи распознавания нелинейности функции алгебры логики, заданной в виде ДНФ. Монотонные функции алгебры логики. Обоснование немонотонности функции. NP-полнота задачи распознавания немонотонности функции алгебры логики, заданной в виде ДНФ.
Лекция 8. Нижняя единица и верхний ноль функции. Лемма о нахождении всех нижних единиц функции алгебры логики по ее полиному Жегалкина. Полиномиальность задачи распознавания монотонности функции алгебры логики, заданной в виде полинома Жегалкина.
Лекция 9. NP-полнота задачи распознавания несамодвойственности функции алгебры логики, заданной в виде ДНФ. Четные функции. Лемма о соотношении между самодвойственными и четными функциями алгебры логики. Леммы о свойствах полиномов Жегалкина четных функций алгебры логики. Полиномиальность задачи распознавания самодвойственности функции алгебры логики, заданной в виде полинома Жегалкина.
Лекция 10. NP-полнота задачи выполнимости системы функций алгебры логики, заданных в виде полиномов Жегалкина. Вес функции алгебры логики. NP-трудность задачи распознавания равенства веса n-местной функции алгебры логики, заданной в виде полинома Жегалкина, числу 2^{n-1}. Выражение коэффициентов полинома Жегалкина функции алгебры логики через ее значения. Критерий четности веса функции алгебры логики. Полиномиальность задачи распознавания кратности веса функции алгебры логики, заданной в виде полинома Жегалкина, числу 2^m, где m -- заранее известное натуральное число.
Программа семинарских занятий
Семинар 1. ППФ.
Семинар 2. 1. Найти точную оценку длины функций алгебры логики, зависящих от 2-х переменных, в классе ПНФ.
2. Найти точную оценку длины функций алгебры логики, зависящих от 3-х переменных, в классе ПНФ.
Семинар 3. 1. Найти градиентное покрытие заданных матриц.
Семинар 4. 1. Найти точную оценку ранга полиномов, приближающих функции алгебры логики, с точностью до одной точки.
2. Найти точную оценку ранга полиномов, приближающих функции алгебры логики, с точностью до двух точек.
3. Найти асимптотику длины полиномов, приближающих функции алгебры логики, с точностью до одной точки.
Семинар 5. 1. Доказать полиномиальность задач распознавания линейности функции алгебры логики, заданной совершенной ДНФ и сокращенной ДНФ.
2. Доказать полиномиальность задач распознавания монотонности функции алгебры логики, заданной совершенной ДНФ и сокращенной ДНФ.
3. Доказать полиномиальность задачи распознавания самодвойственности функции алгебры логики, заданной совершенной ДНФ.
4. Доказать полиномиальность проверки несуществования двух противоположных выполняющих наборов монотонной ДНФ.
