Графы и их применения — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Программа курса)
(→‎Список задач)
 
(не показаны 23 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
Обязательный курс магистерской программы "Дискретные структуры и алгоритмы"
 
Обязательный курс магистерской программы "Дискретные структуры и алгоритмы"
  
−
Курс читается в 1-м семестре магистратуры, 2 ч лекций, 1 ч семинаров
+
Курс читается в 1-м семестре магистратуры, 1 ч лекций, 1 ч семинаров
  
−
Лекторы: [[Селезнева Светлана Николаевна]], [[Бухман Антон Владимирович]]
+
Лектор: [[Бухман Антон Владимирович]]
  
−
==Программа курса==
 
  
−
'''Часть 1'''.
+
== Программа курса Графы и их применения. ==
  
−
[[Media:gip-l1-selezn.pdf|'''Лекция 1''']]. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья.
 
  
−
[[Media:gip-l2-selezn.pdf|'''Лекция 2''']]. Точки сочленения и мосты. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Компоненты двусвязности (блоки) графа. Дерево блоков и точек сочленения графа.
+
'''Занятие 1.
 +
1. Введение. Обзор курса. - 20 минут
 +
2. Семинар. Задачи на повторение курса по графам.
  
−
[[Media:gip-l3-selezn.pdf|'''Лекция 3''']]. Деревья. Остовные деревья. Число остовных деревьев помеченного полного графа. Достижимость промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве.
+
'''Занятие 2.
 +
1. Семинар. Задачи на повторение -- продолжение.
 +
2. Лекция. Алгоритмы на графах. Алгоритмическая модель. Сложность. Представление графов.
  
−
[[Media:gip-l4-selezn.pdf|'''Лекция 4''']]. Раскраски вершин графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Существование графов без треугольников с произвольно большим хроматическим числом.
+
'''Занятие 3.
 +
1. Обходы графов.
 +
2. Поиск компонент вершинной двусвязности.
 +
3. Разбор задач на двусвязность.
  
−
[[Media:gip-l5-selezn.pdf|'''Лекция 5''']]. Раскраски ребер графов. Хроматический индекс графа. Хроматический индекс двудольных графов. Верхняя и нижняя оценки хроматического индекса графа.
+
'''Занятие 4.
 +
1. Поиск множества фундаментальных циклов
 +
2. Поиск компонент сильной связности.  
  
−
[[Media:gip-l6-selezn.pdf|'''Лекция 6''']]. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графах с наследственным свойством. Наибольшее число ребер в планарных графах. Наибольшее число ребер в графах без полного подграфа с n вершинами.
+
'''Занятие 5.
 +
1. Матроиды и жадные алгоритмы.
 +
2. Минимальные остовные деревья. Алгоритмы Краскала, Прима.
  
−
[[Media:gip-l7-selezn.pdf|'''Лекция 7''']]. Числа Рамсея. Верхняя оценка числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея.
+
'''Занятие 6.
 +
1. Переборные алгоритмы для построения всех остовных деревьев.
 +
2. Коды Прюфера. Число остовных деревьев для полного графа
  
−
'''Часть 2'''.
+
'''Занятие 7.
 +
1. Числа Рамсея. Оценка чисел Рамсея.
 +
2. Обобщение чисел Рамсея. Применение чисел Рамсея.
  
−
'''Лекция 8'''. Поиск в глубину и поиск в ширину в графе. Нахождение остовного дерева графа поиском в глубину и поиском в ширину. Отыскание фундаментального множества циклов в графе. Критерий разделяющей вершины на основе поиска в глубину. Нахождение компонент двусвязности графа.
+
'''Занятие 8.
 +
1. Паросочетания теорема Холла
 +
2. Совершенные п.с., Теорема Пуанкаре для них, латинский квадрат.
  
−
'''Лекция 9'''. Алгоритмы поиска кратчайшего остовного дерева. Жадные алгоритмы и их свойства.
+
'''Занятие 9.
 +
1. Семинар по пройденным темам.
  
−
'''Лекция 10'''. Потоки в сетях. Максимальный поток в сети. Теорема о величине максимального потока в сети. Алгоритмы отыскания максимального потока.
+
'''Занятие 10.
 +
1. Алгоритм Куна для поиска максимальных паросочетаний
 +
2. Вершинное покрытие двудольного графа. Взвешенные паросочетания.
 +
3. Венгерский алгоритм.
  
−
==Программа семинарских занятий==
+
'''Занятие 11.
 +
1. Гамильтонов цикл. Достаточные признаки гамильтоновости графа.
 +
2. Задача коммивояжёра. ЗКНТ.
 +
2. Эйлеров цикл. Задача китайского почтальона.
  
−
'''Семинар 1'''. Простейшие свойства графов (повторение).
+
'''Занятие 12.
−
[5] Гл. 6: 1.3, 1.4, 1.5, 1.13, 1.16, 1.21, 1.22, 1.27, 1.28, 1.29, 1.31, 3.10, 3.14, задачи лекции 1.
+
1. Последовательности деБрёйна.
 +
2. Теорема о числе последовательностей.
  
−
'''Семинар 2'''. Связность, двусвязность графов. Остовные деревья.
+
'''Занятие 13.
−
[5] Гл. 6: 1.24, 1.17, 3.15, задачи лекций 2 и 3.
+
1. Некоторые NP полные задачи на графах.
 +
2. Обзор пройденного материала.
  
−
'''Семинар 3'''. Раскраски графов. Хроматическое число и хроматический индекс графа.
+
'''Занятие 14.
−
[5] Гл. 6: 2.18, 2.19, 2.20, 2.21, задачи лекций 4 и 5.  
+
Семинар по пройденным темам.
  
−
'''Семинар 4'''. Наследственные свойства графов. Числа Рамсея.
+
'''Занятие 15.
−
[5] Гл. 6: 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.13, 2.17, задачи лекций 6 и 7.
+
Итоговая контрольная работа по курсу
  
−
==Литература==
 
  
−
'''Основная''':
 
  
−
1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Либроком, 2009.
+
== Вопросы к экзамену ==
  
−
2. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.
+
1. Точка сочленения, компонента двусвязности. Необходимое и достаточное условия для точки сочленения. Алгоритм поиска точек сочленения и компонент двусвязности.
 +
''В. Липский Комбинаторика для программистов. Раздел 2.6 Нахождение компонент двусвязности. С. 95-99''
  
−
3. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
+
2. Множество фундаментальных циклов. Теорема о построении множества фундаментальных циклов. Алгоритм построения множества фундаментальных циклов.
 +
''В. Липский. Комбинаторика для программистов. Раздел 2.5 Отысканиефундаментального множества циклов. С. 92-95''
  
−
4. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.
+
3. Компонента сильной связности. Линейный алгоритм построения компонент сильной связности.
 +
''Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Раздел 23.1.5 Сильно связные компоненты. С. 473 - 477''
  
−
5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
+
4. Матроиды определения, свойства. Примеры матроидов (универсальный, матричный, графовый, матроид трансверсалей) с обоснование.
 +
''Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Раздел 17.4 С. 341-343''
  
−
'''Дополнительная''':
+
5. Матроиды и жадные алгоритмы
 +
''Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Раздел 17.4 С. 343-345''
  
−
6. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
+
6. Минимальные остовные деревья. Алгоритм Краскала и Прима.
 +
''Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Раздел 24 С. 482-490''
  
−
7. Алексеев В.Б. Введение в теорию сложности алгоритмов. М.: Издательский отдел ф-та ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 2002.
+
7. Переборные алгоритмы для построения всех остовных деревьев.
 +
''Кристофидес Теория графов - Алгоритмический подход. раздел 7.2 Построение всех остовных деревьев графа. С. 148-158
 +
''
  
−
8. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.
+
8. Числа Рамсея
 +
''Карпов. Теория графов. С. 477-479''
  
−
9. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
+
9. Оценки чисел Рамсея
 +
''Карпов. Теория графов С. 479-481''
  
−
10. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. М.: Наука, 1986.
+
10. Обобщение чисел Рамсея
 +
''Карпов. Теория графов С. 482-484''
  
−
11. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.  
+
11. Паросочетания, теорема Холла.
 +
''А. Эвнин Вокруг теоремы Холла С.5-6''
  
−
12. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова, 2007.
+
12. Совершенные п.с., Теорема Пуанкаре для них, латинский квадрат.
 +
''А. Эвнин Вокруг теоремы Холла С. 7,18''
  
−
13. Diestel R. Graph Theory. Springer, 2010.
+
13. Лемма Бержа. Алгоритм Куна для поиска максимальных паросочетаний
−
 
+
''Claude Berge. Two theorems in graph theory // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1957. — September 15 (т. 43, вып. 9). — С. 842–844. — doi:10.1073/pnas.43.9.842
 +
Kuhn, H.W. (1955) The Hungarian Method for the assignment problem. Naval Research Logistics Quarterly, 2, 83-97.
 +
C 83-87''
 +
 
 +
14. Венгерский алгоритм. Покрытие единиц матрицы строками и столбцами
 +
''Kuhn, H.W. (1955) The Hungarian Method for the assignment problem. Naval Research Logistics Quarterly, 2, 83-97.
 +
C 887-91''
 +
 
 +
15. Последовательность де Брёйна. Оценка числа последовательностей деБрёйна.
 +
''de Bruijn N. G. A combinatorial problem // Koninklijke Nederlandse Akademie v. Wetenschappen. 1946. — v. 49. — pp. 758—764''
 +
16. Задача коммивояжёра и ЗКНТ.
 +
''Гэри, Джонсон Вычислительные машины и труднорешаемые задачи
 +
С 189-190''
 +
 
 +
17. Достаточные признаки гамильтоновости графа.
 +
 
 +
''R.Diestel Graph Theory. Springer 2000, C 213-216''
 +
 
 +
18. Эйлеровы графы и задача китайского почтальона.
 +
''Кристофидес Теория графов - Алгоритмический подход. раздел 7.2 Построение всех остовных деревьев графа. С. 227-239''
 +
 
 +
== Список литературы ==
 +
 
 +
 
 +
В. Липский Комбинаторика для программистов. М.Мир, 1988
 +
 
 +
Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Третье издание. Вильямс, 2013
 +
 
 +
Кристофидес Теория графов - Алгоритмический подход. М.Мир 1978
 +
 
 +
Д.В. Карпов Теория графов. https://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/graphs_dk.pdf
 +
 
 +
А. Ю. Эвнин, Вокруг теоремы Холла, Матем. обр., 2005, выпуск 3(34), 2–23
 +
 
 +
Гери Джонсон Вычислительные машины и труднорешаемые задачи
 +
 
 +
== Темы задач ==
 +
 
 +
1. Поиск компонент двусвязности
 +
 
 +
2. Множество фундаментальных циклов
 +
 
 +
3. Компоненты сильной связности
 +
 
 +
4. Коды Прюфера
 +
 
 +
5. Алгоритм Куна.
 +
 
 +
6. Венгерский алгоритм
 +
 
 +
7. Покрытие матрицы
 +
 
 +
8. Задача китайского почтальона
 +
 
 +
9. Задача коммивояжёра, МВГ
 +
 
 +
10. Задачи на теорему Холла
 +
 
 +
11. Гамильтоновость
 +
 
 +
12. Теория Рамсея
 +
 
 +
13. Задачи теории сложности на графах
 +
 
 +
14. Матроиды, жадные алгоритмы
  
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Магистерская программа Дискретные структуры и алгоритмы]]
 
[[Категория:Магистерская программа Дискретные структуры и алгоритмы]]

Текущая версия на 13:47, 13 июня 2023

Обязательный курс магистерской программы "Дискретные структуры и алгоритмы"

Курс читается в 1-м семестре магистратуры, 1 ч лекций, 1 ч семинаров

Лектор: Бухман Антон Владимирович


Программа курса Графы и их применения.

Занятие 1. 1. Введение. Обзор курса. - 20 минут 2. Семинар. Задачи на повторение курса по графам.

Занятие 2. 1. Семинар. Задачи на повторение -- продолжение. 2. Лекция. Алгоритмы на графах. Алгоритмическая модель. Сложность. Представление графов.

Занятие 3. 1. Обходы графов. 2. Поиск компонент вершинной двусвязности. 3. Разбор задач на двусвязность.

Занятие 4. 1. Поиск множества фундаментальных циклов 2. Поиск компонент сильной связности.

Занятие 5. 1. Матроиды и жадные алгоритмы. 2. Минимальные остовные деревья. Алгоритмы Краскала, Прима.

Занятие 6. 1. Переборные алгоритмы для построения всех остовных деревьев. 2. Коды Прюфера. Число остовных деревьев для полного графа

Занятие 7. 1. Числа Рамсея. Оценка чисел Рамсея. 2. Обобщение чисел Рамсея. Применение чисел Рамсея.

Занятие 8. 1. Паросочетания теорема Холла 2. Совершенные п.с., Теорема Пуанкаре для них, латинский квадрат.

Занятие 9. 1. Семинар по пройденным темам.

Занятие 10. 1. Алгоритм Куна для поиска максимальных паросочетаний 2. Вершинное покрытие двудольного графа. Взвешенные паросочетания. 3. Венгерский алгоритм.

Занятие 11. 1. Гамильтонов цикл. Достаточные признаки гамильтоновости графа. 2. Задача коммивояжёра. ЗКНТ. 2. Эйлеров цикл. Задача китайского почтальона.

Занятие 12. 1. Последовательности деБрёйна. 2. Теорема о числе последовательностей.

Занятие 13. 1. Некоторые NP полные задачи на графах. 2. Обзор пройденного материала.

Занятие 14. Семинар по пройденным темам.

Занятие 15. Итоговая контрольная работа по курсу


Вопросы к экзамену

1. Точка сочленения, компонента двусвязности. Необходимое и достаточное условия для точки сочленения. Алгоритм поиска точек сочленения и компонент двусвязности. В. Липский Комбинаторика для программистов. Раздел 2.6 Нахождение компонент двусвязности. С. 95-99

2. Множество фундаментальных циклов. Теорема о построении множества фундаментальных циклов. Алгоритм построения множества фундаментальных циклов. В. Липский. Комбинаторика для программистов. Раздел 2.5 Отысканиефундаментального множества циклов. С. 92-95

3. Компонента сильной связности. Линейный алгоритм построения компонент сильной связности. Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Раздел 23.1.5 Сильно связные компоненты. С. 473 - 477

4. Матроиды определения, свойства. Примеры матроидов (универсальный, матричный, графовый, матроид трансверсалей) с обоснование. Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Раздел 17.4 С. 341-343

5. Матроиды и жадные алгоритмы Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Раздел 17.4 С. 343-345

6. Минимальные остовные деревья. Алгоритм Краскала и Прима. Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Раздел 24 С. 482-490

7. Переборные алгоритмы для построения всех остовных деревьев. Кристофидес Теория графов - Алгоритмический подход. раздел 7.2 Построение всех остовных деревьев графа. С. 148-158

8. Числа Рамсея Карпов. Теория графов. С. 477-479

9. Оценки чисел Рамсея Карпов. Теория графов С. 479-481

10. Обобщение чисел Рамсея Карпов. Теория графов С. 482-484

11. Паросочетания, теорема Холла. А. Эвнин Вокруг теоремы Холла С.5-6

12. Совершенные п.с., Теорема Пуанкаре для них, латинский квадрат. А. Эвнин Вокруг теоремы Холла С. 7,18

13. Лемма Бержа. Алгоритм Куна для поиска максимальных паросочетаний Claude Berge. Two theorems in graph theory // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1957. — September 15 (т. 43, вып. 9). — С. 842–844. — doi:10.1073/pnas.43.9.842 Kuhn, H.W. (1955) The Hungarian Method for the assignment problem. Naval Research Logistics Quarterly, 2, 83-97. C 83-87

14. Венгерский алгоритм. Покрытие единиц матрицы строками и столбцами Kuhn, H.W. (1955) The Hungarian Method for the assignment problem. Naval Research Logistics Quarterly, 2, 83-97. C 887-91

15. Последовательность де Брёйна. Оценка числа последовательностей деБрёйна. de Bruijn N. G. A combinatorial problem // Koninklijke Nederlandse Akademie v. Wetenschappen. 1946. — v. 49. — pp. 758—764 16. Задача коммивояжёра и ЗКНТ. Гэри, Джонсон Вычислительные машины и труднорешаемые задачи С 189-190

17. Достаточные признаки гамильтоновости графа.

R.Diestel Graph Theory. Springer 2000, C 213-216

18. Эйлеровы графы и задача китайского почтальона. Кристофидес Теория графов - Алгоритмический подход. раздел 7.2 Построение всех остовных деревьев графа. С. 227-239

Список литературы

В. Липский Комбинаторика для программистов. М.Мир, 1988

Кормен и др. Алгоритмы построение и анализ. Третье издание. Вильямс, 2013

Кристофидес Теория графов - Алгоритмический подход. М.Мир 1978

Д.В. Карпов Теория графов. https://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/graphs_dk.pdf

А. Ю. Эвнин, Вокруг теоремы Холла, Матем. обр., 2005, выпуск 3(34), 2–23

Гери Джонсон Вычислительные машины и труднорешаемые задачи

Темы задач

1. Поиск компонент двусвязности

2. Множество фундаментальных циклов

3. Компоненты сильной связности

4. Коды Прюфера

5. Алгоритм Куна.

6. Венгерский алгоритм

7. Покрытие матрицы

8. Задача китайского почтальона

9. Задача коммивояжёра, МВГ

10. Задачи на теорему Холла

11. Гамильтоновость

12. Теория Рамсея

13. Задачи теории сложности на графах

14. Матроиды, жадные алгоритмы

Источник — «https://mk.cs.msu.ru/index.php?title=Графы_и_их_применения&oldid=10337»