Дискретная математика (КФ)

Курс для студентов 1-го курса Казахстанского филиала МГУ, читается во 2-м семестре. Лекции - 32 ч, семинары - 32 ч, отчетность - экзамен.

Лектор - Селезнева Светлана Николаевна

Удаленное обучение

Вопросы по содержанию курса (и другие вопросы, относящиеся к курсу) можно задавать лектору Селезневой Светлане Николаевне по эл. почте selezn@cs.msu.ru

Лекции

Алгебра логики

Лекция 1. Двоичный куб. Наборы, вес набора. Слой n-мерного куба. Частичный порядок на n-мерном кубе. Соседние и противоположные наборы, расстояние между наборами. Лексико-графический порядок на n-мерном кубе.

Лекция 2. Функции алгебры логики. Таблицы истинности. Существенные и несущественные переменные. Формулы. Тождества. Двойственность.

Лекция 3. Разложение функций по переменным. Теорема о совершенной ДНФ. Теорема о совершенной КНФ. Полные системы. Полнота некоторых систем.

Лекция 4. Полиномы Жегалкина. Теорема Жегалкина. Построение полиномов Жегалкина. Полные системы. Полнота некоторых систем.

Лекция 5. Замыкание множества. Замкнутые классы. Замкнутость классов T_0, T_1, L, S, M. Леммы о несамодвойственной, немонотонной и нелинейной функциях.

Лекция 6. Полные системы. Теорема Поста о полноте. Базис в P_2. Теореме о числе функций в базисе P_2. Предполные классы. Теорема о предполных классах в P_2.

Графы

Лекция 7. Графы. Простейшие свойства графов. Пути и цепи. Циклы и связность. Леммы об удалении и добавлении ребер в связных графах. Теорема о числе вершин, числе ребер и числе компонент связности в графе. Орграфы.

Лекция 8. Деревья. Теорема о равносильных определениях дерева. Корневые деревья. Упорядоченные корневые деревья. Оценка числа деревьев с q ребрами.

Лекция 9. Остовные деревья. Кратчайшие остовные деревья. Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева.

Лекция 10. Геометрическое представление графов. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Критерий планарности Понтрягина-Куратовского.

Лекция 11. Раскраски графов. Раскраски графов в два цвета. Раскраски планарных графов.

Коды

Лекция 12. Кодирование. Алфавитные коды. Проверка однозначности алфавитного кода. Теорема Маркова. Неравенство Макмиллана. Префиксные коды. Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов. Дерево префиксного кода.

Лекция 13. Алфавитные коды. Оптимальные коды (коды с минимальной избыточностью). Свойства оптимальных кодов. Теорема редукции. Метод Хаффмана построения оптимального кода.

Лекция 14. Устойчивость кодов к ошибкам. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки, их свойства. Коды Хэмминга.

Автоматы

Лекция 15. Конечные автоматы. Способы их представления. Отличимость состояний конечного автомата. Теорема Мура. Упрощение автоматов.

Литература

1. Слайды к лекциям.
2. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
3. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004. Электронный ресурс.
4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
6. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Либроком, 2006.

Семинары

План семинарских занятий

Дополнительные задачи к семинарским занятиям