Графы и их применения
Обязательный курс магистерской программы "Дискретные структуры и алгоритмы"
Курс читается в 1-м семестре магистратуры, 1 ч лекций, 1 ч семинаров
Лектор: Бухман Антон Владимирович
Программа курса
Лекция 1. Числа Рамсея. Верхняя и нижняя оценки.
Лекция 2. Обобщение чисел Рамсея. Примеры их использования.
Лекция 3. Теоремы о раскрасках графа.
Лекция 4. Поиск в глубину и поиск в ширину в графе. Нахождение остовного дерева графа поиском в глубину и поиском в ширину. Отыскание фундаментального множества циклов в графе. Критерий разделяющей вершины на основе поиска в глубину. Нахождение компонент двусвязности графа.
Лекция 5. Алгоритмы поиска кратчайшего остовного дерева. Матроиды и жадные алгоритмы. Теорема Радо-Эдмонса.
Лекция 6. Потоки в сетях. Максимальный поток в сети. Теорема Форда-Фалкерсона о величине максимального потока в сети. Алгоритмы отыскания максимального потока в сети.
Лекция 7. Паросочетания в графах. Теорема Холла. Паросочетания в двудольных графах. Алгоритм отыскания наибольшего паросочетания двудольного графа на основе построения максимального потока в сети.
Лекция 8. Паросочетания в графах. Теорема Куна. Теорема Эдмонса. Алгоритмы отыскания наибольших паросочетаний в двудольных графах и в произвольных графах.
Лекция 9. Эйлеровы пути и циклы в графах. Критерий эйлеровости графа. Задача китайского почтальона. Гамильтоновы пути и циклы в графах. Достаточные условия гамильтоновости графа.
Лекция 10. Гамильтоновы циклы в графах. Задача коммивояжера с неравенством треугольника и без него. Приближенные алгоритмы. Переборные алгоритмы, дерево решений. Алгоритм перебора всех остовных деревьев графа.
Лекция 11. Изоморфизм графов. Полиномиальный алгоритм проверки изоморфизма деревьев. Построение выпуклого n-угольника на достаточно большом множестве точек.
Литература
Основная:
1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Либроком, 2009.
2. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.
3. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
4. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.
5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
Дополнительная:
6. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
7. Алексеев В.Б. Введение в теорию сложности алгоритмов. М.: Издательский отдел ф-та ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 2002.
8. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.
9. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
10. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. М.: Наука, 1986.
11. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.
12. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова, 2007.
13. Diestel R. Graph Theory. Springer, 2010.
