Избранные вопросы дискретной математики

Курс читает Селезнева С.Н.

О курсе

Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре. Форма отчетности - экзамен. Экзамен проходит письменно. При написании экзаменационной работы не разрешается пользоваться никакими материалами. За экзаменационную работу студент получает определенное количество баллов.

В течение семестра по курсу проходят три письменных коллоквиума. При написании коллоквиума не разрешается пользоваться никакими материалами. За каждый коллоквиум студент получает дополнительные (со знаком "+") или штрафные (со знаком "-") баллы (н/я или 0 - (-3) балла, 1-4 - (-2) балла, 5-9 - (-1) балл, 10-14 - 0 баллов, 15-19 - (+1) балл, 20-24 - (+2) балла, 25 - (+3) балла).

Оценка на экзамене по курсу выставляется по следующему правилу: количество баллов, полученное студентом за экзаменационную работу, увеличивается на дополнительные баллы за коллоквиумы или уменьшается на штрафные баллы за коллоквиумы; по вычисленному значению выводится оценка по критериям экзамена. На пересдаче дополнительные и штрафные баллы не учитываются, оценка за экзамен выводится только по баллам за экзаменационную работу.

Экзаменационная работа состоит из 14 заданий. Задания 1-5 - стандартные задачи (перечень типов предлагаемых задач ниже). Проверяется, насколько студент усвоил методы решения задач по курсу. Каждая задача оценивается в 3 балла. Задания 6-10 - определения и формулировки теорем с дополнительным вопросом. Дополнительный вопрос проясняет, насколько студент понимает определение или формулировку теоремы, может ли привести их частный случай или пояснить на примере. Каждое из заданий 6-10 оценивается в 3 балла. Задания 11-13 - доказательства теорем курса или их частей и частных случаев. Проверяется, как студент усвоил доказательства основных утверждений курса. Каждое из заданий 11-13 оценивается в 3 балла. Задание 14 - нестандартная задача. Проверяется, насколько студент может применять полученные в курсе знания при решении новых задач. Задание 14 оценивается в 4 балла. Продолжительность написания экзаменационной работы - 2 астрономических часа (120 минут).

Критерии оценок:

• 36-43 баллов - "отлично";
• 27-35 баллов - "хорошо";
• 17-26 баллов - "удовлетворительно";
• менее 17 баллов - "неудовлетворительно".

Примерный вариант экзаменационной работы с решениями заданий

Лекции

Лекция 1: Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число. Примеры.

Лекция 2: Биномиальные и полиномиальные коэффициенты, их свойства. Метод производящих функций (конечный случай). Оценки биномиальных коэффициентов и их сумм.

Лекция 3: Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма ЧУМ. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи. Теорема Дилуорса. Единичный n-мерный куб, его длина и ширина.

Лекция 4: Теорема Анселя о разбиении n-мерного куба на цепи. Оценки числа монотонных функций алгебры логики. Расшифровка монотонных функций алгебры логики.

Лекция 5: Покрытия множества и покрытия матрицы. Лемма о градиентном покрытии. Оценки мощности затеняющего множества n-мерного куба и длины полиномиальных нормальных форм функций алгебры логики.

Лекция 6: Коллоквиум 1.

Лекция 7: Функция Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса. Принцип включений-исключений.

Лекция 8: Линейные однородные и неоднородные рекуррентные уравнения.

Лекция 9: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли.

Лекция 10: Подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.

Лекция 11: Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы перестановок. Теорема Пойа (частный случай). Производящие функции. Перечисляющий ряд для фигур и перечисляющий ряд для функций. Теорема Пойа (общий случай). Примеры.

Лекция 12: Коллоквиум 2.

Лекция 13: Функции k-значной логики и способы их представления. Полные системы. Полнота системы Поста.

Лекция 14: Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Кольцо многочленов.

Лекция 15: Поля. Теорема о поле из p^n элементов, где p -- простое число, n > 1.

Лекция 16: Коллоквиум 3.

Вопросы к экзамену

(осенний семестр 2014/2015 учебного года, группа 318, лектор — доцент С.Н. Селезнева)

• Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, их число и рекуррентные формулы для них. Сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями.
• Теоремы о свойствах последовательности биномиальных коэффициентов. Полиномиальные коэффициенты. Теорема о верхней оценке биномиального коэффициента и ее следствие. Теорема об асимптотике некоторой суммы биномиальных коэффициентов.
• Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма ЧУМ. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи. Теорема Дилуорса. n-мерный куб. Теоремы о длине и ширине n-мерного куба. Изоморфизм ЧУМ.
• Теорема Анселя о разбиениии n-мерного куба на цепи. Теорема о числе монотонных функций алгебры логики. Теорема о расшифровке монотонных функций алгебры логики.
• Покрытие множества и покрытие матрицы. Градиентное покрытие. Лемма о градиентном покрытии. Теорема об оценках мощности затеняющего множества n-мерного куба. Оценки длины полиномиальных нормальных форм функций алгебры логики.
• Функция Мёбиуса на ЧУМ. Функция Мёбиуса на n-мерном кубе. Формула обращения Мёбиуса. Формула включений-исключений. Задача о подсчете числа перестановок-беспорядков.
• Последовательности. Однородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ). Частные и общие решения ЛОРУ. Теорема о линейной комбинации частных решений ЛОРУ. Характеристический многочлен ЛОРУ. Теоремы о частном решении ЛОРУ. Теоремы об общем решении ЛОРУ. Линейные неоднородные рекуррентные уравнения (ЛНРУ). Теоремы об общем решении ЛНРУ.
• Группы, виды групп. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок и ее свойства. Подгруппы. Теорема Кэли. Представления Кэли.
• Подгруппы, смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Нормальные подгруппы, фактор-группа. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда.
• Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы перестановок. Теорема Пойа (частный случай). Производящие функции. Перечисляющий ряд для фигур и перечисляющий ряд для функций. Теорема Пойа (общий случай, только формулировка).
• Кольца, виды колец. Теорема о конечном целостном кольце. Кольцо многочленов. Теорема о наследовании свойств кольца в кольце многочленов над этим кольцом. Подкольцо. Идеал кольца. Главный идеал кольца. Кольцо главных идеалов. Деление с остатком многочленов над полем. Теорема о кольце многочленов над полем как кольце главных идеалов. Вычеты по модулю идеала. Фактор-кольцо.
• Неприводимые и приводимые многочлены над полем. Корень многочлена. Критерий неприводимости над полем многочленов степени два и три. Теорема о фактор-кольце кольца многочленов над полем по модулю главного идеала. Поле остатков неприводимого многочлена над конечным полем, операции сложения и умножения в нем. Вычисление обратного элемента по алгоритму Евклида. Понятие расширения поля. Мультипликативная группа конечного поля и ее свойства (только формулировка теоремы).
• Функции конечнозначных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значных логик: таблицы, формулы. Теоремы о представимости функций k-значных логик в I-й и II-й формах. Теорема о представимости функций k-значных логик полиномами. Операция замыкания. Замкнутый класс и полная система. Теорема о полноте системы Поста и ее следствия.

Литература

• Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
• Ансель Ж. О числе монотонных булевых функций от n переменных. В кн. Кибернетический сборник. Новая серия. Вып. 5. М.: Мир, 1968, с. 53-57.
• Де Брейн Н. Дж. Теория перечисления Пойа. В сб. ст. Прикладная комбинаторная математика, под ред. Э. Бакенбаха. М.: Мир, 1966, с. 61-107.

Задачи

• Подсчитать число объектов с заданными свойствами.
• Найти значение суммы комбинаторных чисел или доказать комбинаторное тождество.
• Применить формулу включений-исключений для нахождения искомого значения.
• Найти длину или ширину заданного конечного ЧУМ или построить ЧУМ с заданными свойствами.
• Найти градиентное покрытие заданной матрицы и оценить его мощность.
• Решить данное ЛОРУ или ЛНРУ.
• Найти цикловой индекс группы перестановок.
• Найти число орбит раскрасок (возможно, с ограничениями) относительно данной группы перестановок.
• Определить приводимость или неприводимость многочлена над полем.
• Выяснить, является ли заданное фактор-кольцо кольца многочленов по модулю главного идеала полем.
• Построить таблицы сложения и умножения элементов поля остатков неприводимого многочлена над конечным полем.
• По алгоритму Евклида найти обратный элемент в поле остатков неприводимого многочлена над конечным полем.
• Записать данную функцию k-значной логики в I-й, II-й формах или полиномом.
• Выяснить, представима ли заданная функция k-значной логики (при составном k) полиномом.

Литература

• Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004. Гл. III 1.11, 2.7, 2.20, 2.21, 2.22, 2.23; гл. IV 2.1, 2.17, 2.18; гл. V 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5; гл. VIII 4.1, 4.3, 4.4, 4.9, 4.10.
• Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М., Мир, 1988.