Дискретные модели

Программа обязательного курса для студентов магистратуры, 1-й курс, 2-й семестр.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна.

Информация к экзамену

Экзамен проходит в виде письменной работы. На экзамене не разрешается пользоваться никакими материалами. Письменная работа содержит 10 заданий. Задания 1-4 - типовые задачи, каждая из которых оценивается в 3 балла (примерный перечень типовых задач ниже). Каждое из заданий 5-8 - определение или формулировка теоремы с дополнительным вопросом, который проясняет суть определения или теоремы. Каждое из заданий 5-8 оценивается в 3 балла. Задания 9-10 - нестандартные задачи или доказательство теоремы или ее части. Каждое из заданий 9-10 оценивается в 4 балла. Продолжительность работы - 1,5 ч (одна пара).

За письменную работу можно получить не более 30 баллов. Критерии оценок:

не менее 26 баллов - "отлично";

20-25 баллов - "хорошо";

13-19 баллов - "удовлетворительно";

не более 12 баллов - "неудовлетворительно".

Примерный перечень типовых задач к экзамену:

1) подсчитать число комбинаторных объектов определенного вида;

2) доказать заданное тождество для функций k-значной логики;

3) построить полином по модулю k для заданной функции k-значной логики при заданном простом k;

4) выяснить, задается ли полиномом по модулю k заданная функция k-значной логики при заданном составном k;

5) построить остовное дерево для заданного связного графа с заданным числом висячих вершин;

6) построить код заданного остовного дерева полного графа или восстановить остовное дерево полного графа по его коду;

7) найти хроматическое число заданного графа.

Программа курса

• Лекция 1: Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число и рекуррентные формулы для них. Примеры. Свойства комбинаторных чисел. [1] стр. 171-183, [9]
• Лекция 2: Функции алгебры логики. Замкнутый класс и полная система. Теорема Поста о функциональной полноте. Базис замкнутого класса. Теорема о максимальном числе функций алгебры логики. Предполный класс. Теорема о предполных классах алгебры логики. Результаты Э. Поста о замкнутых классах алгебры логики. [1] стр. 33-42, [2] стр. 9-23.
• Лекция 3: Функции k-значной логики. Теоремы о представлении функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k. Полная система. Теорема о полноте системы Поста и следствия из нее. Функция Вебба. [1] стр. 43-50, 69-71, [2] стр. 24-25.
• Лекция 4: Функции k-значной логики. Алгоритм распознавания полноты конечных систем функций k-значной логики. Замкнутый класс и базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании замкнутых классов многозначных логик без базиса и со счетным базисом. Особенности многозначных логик. [1] стр. 50-53, стр. 65-69.
• Лекция 5: Графы. Деревья, остовные деревья. Алгоритм построения остовного дерева связного графа. Теорема о числе остовных деревьев полного графа. Теорема о двух остовных деревьях графа. Теоремы об оценках числа висячих вершин в остовном дереве графа. [3] стр. 77-80, [4] стр. 48-50, [10]
• Лекция 6: Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий Кёнига двураскрашиваемости графа. Теоремы об оценках хроматического числа графа. [3] стр. 284-285, [4] стр. 152-153, [8].
• Лекция 7: Графы. Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Теорема о максимальном числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о максимальном числе ребер в графе без полного графа с n вершинами. Числа Рамсея и их оценки. [3] стр. 270-276, [4] стр. 28-33.

Литература

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
4. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
5. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
6. Kleitman D.J., West D.B.
7. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.
8. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. М.: Наука, 1986.
9. Слайды к лекции 1
10. Слайды к лекции 5