Графы и их приложения
Спецкурс для аспирантов.
Лектор - Селезнева Светлана Николаевна
Аннотация. В курсе рассматриваются основные структурные свойства графов и показывается их применение при решении подходящих задач. Разбираются простейшие свойства графов, связность и k-связность, деревья и остовные деревья, вершинные и реберные раскраски графов, наследственные свойства графов и экстремальные графы, числа Рамсея, статистические свойства графов и потоки в сетях. Кроме того, уделяется внимание алгоритмическим вопросам, связанным с графами, в частности, труднорешаемым графовым задачам. Приводятся как классические, так и достаточно новые результаты, относящиеся к свойствам графов.
Объявления
Экзамен состоится в субботу, 25 декабря 2021 г., в 10 ч 30 мин (по московскому времени) удаленно.
В 10 ч 30 мин на эл. почту аспирантам рассылаются экзаменационные задания. Из каких заданий состоит экзаменационная работа приведено ниже на этой странице. На выполнение работы отводится 1 ч 30 мин (90 мин). Работу нужно написать от руки на светлых листах контрастной ручкой. Выполненную работу нужно отсканировать или сфотографировать. Затем скан или фотографию работы (в формате pdf, jpg или png) нужно отослать ответным письмом. На сканирование/фотографирование и отправку работы отводится 15 мин. Т.е. выполненную работу нужно отослать до 12 ч 15 мин (иначе считается, что аспирант работу не сдал).
Лектор проверяет работы. При этом если в нескольких работах встречаются совпадающие решения какого-то задания, то это задание не засчитывается во всех этих работах. Затем итоги экзамена появляются на странице курса и объявляется время, когда аспиранты могут задать вопросы лектору по оценкам в своих работах. После этого оценки за экзамен выставляются в ведомость.
Все вопросы, связанные с отсутствием интернета во время экзамена, будут решаться отдельно в каждом случае.
Вопросы по содержанию курса можно направлять по эл. почте лектору Селезневой Светлане Николаевне.
Лекции
Лекция 1. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья.
Лекция 2. Точки сочленения и мосты. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Компоненты двусвязности (блоки) графа. Дерево блоков и точек сочленения графа.
Лекция 3. Деревья. Остовные деревья. Число остовных деревьев в помеченном полном графе. Достижимость промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве.
Лекция 4. Раскраски вершин графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Существование графа без треугольников с произвольно большим хроматическим числом.
Лекция 5. Раскраски ребер графов. Хроматический индекс графа. Хроматический индекс двудольных графов. Верхняя и нижняя оценки хроматического индекса графа.
Лекция 6. Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Наибольшее число ребер в графах с наследственным свойством. Наибольшее число ребер в планарных графах. Наибольшее число ребер в графах без полного подграфа с n вершинами.
Лекция 7. Числа Рамсея. Верхняя оценка числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея.
Лекция 8. Сеть. Поток в сети. Теорема о величине максимального потока в сети. Нахождение максимального потока в сети.
Лекция 9. Труднорешаемые графовые задачи распознавания. NP-полнота задачи k-раскраски графов при каждом заданном числе k \ge 3.
Литература
Основная:
1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Либроком, 2009.
2. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.
Дополнительная:
3. Diestel R. Graph Theory. Springer, 2010.
4. Карпов Д.В. Теория графов
5. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
6. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
7. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.
8. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.
9. Дасгупта С., Пападимитриу Х., Вазирани У. Алгоритмы. М.: МЦНМО, 2014.
10. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.
11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
Экзамен
Экзамен письменный. Продолжительность экзамена – 1,5 астрономических часа (90 минут). В проверочной работе десять заданий разной сложности по содержанию курса. Первые четыре задания – стандартные задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания – формулировки определений или теорем с дополнительным вопросом. Вопрос проясняет понимание аспирантом формулировки. Они оцениваются также в три балла каждое. Оставшиеся два задания – вопросы или задачи повышенной сложности. Они показывают, может ли аспирант извлекать новые сведения из полученных знаний в курсе. Всего за работу можно получить не более 32 баллов. Критерии оценок: не менее 27 баллов – «отлично», 21-26 баллов – «хорошо», 15-20 баллов – «удовлетворительно», менее 14 баллов – «неудовлетворительно».
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Точки сочленения и мосты в графе. Теорема о равносильных определениях точки сочленения. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Теорема о равносильных определениях двусвязного графа.
2. Компоненты двусвязности (блоки) в графе. Критерий принадлежности двух вершин графа одной компоненте двусвязности. Свойства компонент двусвязности графа. Теорема о дереве блоков и точек сочленения графа.
3. Остовные деревья в графе. Теорема Кэли о числе остовных деревьев помеченного полного графа.
4. Остовные деревья в графе. Теорема о достижимости промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве графа.
5. Остовные деревья в графе. Теорема об оценке числа висячих вершин в остовном дереве графа.
6. Хроматическое число графа. Критерий Кенига двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа.
7. Хроматическое число графа. Теорема Брукса о верхней оценке хроматического числа графа.
8. Хроматическое число графа. Теорема Зыкова о существовании графов без треугольников с произвольно большим хроматическим числом.
9. Хроматический индекс графа. Теорема о хроматическом индексе полного графа.
10. Хроматический индекс графа. Теорема Кенига о хроматическом индексе двудольного графа.
11. Хроматический индекс графа. Теорема Визинга о верхней оценке хроматического индекса графа.
12. Наследственные свойства графов. Теорема об оценке наибольшего числа ребер в графе с наследственным свойством.
13. Наследственные свойства графов. Планарные графы, теорема о наибольшем числе ребер в планарном графе.
14. Наследственные свойства графов. Теорема о наибольшем числе ребер в графе без треугольников.
15. Наследственные свойства графов. Теорема Турана о наибольшем числе ребер в графе без полного подграфа с n вершинами.
16. Числа Рамсея. Теорема о верхней оценке числа Рамсея.
17. Числа Рамсея. Теорема Эрдеша о нижней оценке числа Рамсея.
18. Обходы графов. Алгоритмы построения остовных деревьев на основе обходов графа.
19. Компоненты двусвязности графа. Алгоритм построения компонент двусвязности графа на основе обхода в глубину.
20. Потоки в сетях. Теорема Форда и Фалкерсона о величине максимального потока в сети.
21. Потоки в сетях. Алгоритм расстановки пометок для построения максимального потока в сети.
22. Паросочетания в графах. Алгоритм построения наибольшего паросочетания в двудольном графе на основе построения максимального потока в сети.
23. Труднорешаемые графовые задачи. NP-полнота задачи k-раскраски графа при каждом заданном числе k \ge 3.
