Избранные вопросы дискретной математики

Курс читает Селезнева Светлана Николаевна

Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен.

Объявления

Пересдача экзамена состоится 18 февраля (в пятницу) удаленно. Начало в 16 ч 30 мин.

ВАЖНО: просьба к каждому студенту, сдающему пересдачу, прислать на эл. почту dm1@cs.msu.ru письмо. В теме письма написать "пересдача по ИВДМ". Ответными письмами будет выслан вариант экзаменационного задания.

В день экзамена в 16 ч 30 мин каждый студент по эл. почте получает вариант экзаменационного задания. На выполнение работы отводится 1 ч 30 мин (90 мин). Работу нужно написать от руки на светлых листах контрастной ручкой. Вверху на каждом листе нужно написать фамилию, имя.

Выполненную работу нужно отсканировать или сфотографировать. Затем сканы или фотографии выполненной работы в формате pdf, jpg или png нужно прислать ответным письмом на dm1@cs.msu.ru. На сканирование или фотографирование работы и ее отправку отводится 15 мин.

Если работа студента не получена через 1 ч 45 мин (105 мин) после начала экзамена, т.е. до 18 ч 15 мин, то считается, что студент работу не сдал.

Лекции

Часть 1. Конечные функции.

Лекция 1. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Теоремы о представлении функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.

Лекция 2. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Лекция 3. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество, и функций, сохраняющих разбиение, их замкнутость.

Лекция 4. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.

Лекция 5. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k.

Лекция 6. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.

Коллоквиум по теме "Конечные функции".

Часть 2. Теория Пойа.

Лекция 7. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.

Лекция 8. Перестановки. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.

Лекция 9. Раскраски. Эквивалентность раскрасок по группе. Теорема Пойа. Примеры.

Часть 3. Конечные поля.

Лекция 10. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.

Лекция 11. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.

Коллоквиум по теме "Конечные поля".

Литература

Основная:

1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
5. Задачи для семинарских занятий по теме "Группы. Теория Пойа".
6. Задачи для семинарских занятий по теме "Конечные поля".

Дополнительная:

1. Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1.
2. Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1.
3. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1.
4. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006.
5. Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017.

Семинары

Занятие 1. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.

[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.5, 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).

На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.6, 1.11(5, 10), 1.12, 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.9, 2.11(1, 2).

Занятие 2. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.

[4] Гл. III 2.1(1 а, б, г, д), 2.2(1, 2), 2.13(1, 2, 5, 6), 2.16(1, 3), 2.19(1, 2, 3, 4).

На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.

Занятие 3. Проверка полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.

[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).

На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).

Занятие 4. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.

[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).

На дом: [5] 2.1(3, 4), 2.2(1, 3), 2.3(2, 4, 6, 8), 2.4(1, 3, 5), 2.5(1, 3, 5, 7), 2.6(1, 4), 2.7(2).

Занятие 5. Раскраски. Теорема Пойа (частный случай).

[5] 2.8(2, 3, 6), 2.12(1, 2 (1-2)), 2.13(1, 2).

На дом: [5] 2.8(1, 4, 5, 7, 8), 2.12(2 (3-4)), 2.13(3), 2.14(2, 3), 2.15(2, 3).

Занятие 6. Раскраски. Теорема Пойа (общий случай).

[5] 2.9(1-4), 2.10(2, 4), 2.11(1, 2), 2.16(1, 3), 2.17(1,3).

На дом: [5] 2.9(5-8), 2.10(1, 3), 2.11(3, 4), 2.16(2, 4), 2.17(2, 4).

Занятие 7. Построение конечных полей.

[6] 3.1(1, 3, 5, 7), 3.3(1, 3, 5, 7), 3.4(1, 3, 5, 7), 3.5(1, 3), 3.7(1, 3).

На дом: [6] 3.1(2, 4, 6, 8), 3.3(2, 4, 6, 8), 3.4(2, 4, 6, 8), 3.5(2, 4), 3.7(2, 4).

Занятие 8. Вычисления в конечных полях.

[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).

На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).