Дискретные модели управляющих систем

Обязательный курс для аспирантов 1 г/о кафедр ИО, МК, ММП

Курс читает доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лекции

Лекция 1. Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики комбинаторных чисел.

Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, их число рекуррентные формулы для них. Сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями. Оценки и асимптотики биномиальных коэффициентов. Оценки и асимптотики сумм биномиальных коэффициентов.

Лекция 2. Графы и сети. Оценки графов и сетей различных типов. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Теорема Понтрягина-Куратовского.

Графы и сети. Оценка числа деревьев с h ребрами. Оценка числа псевдографов с h ребрами. Оценка числа п-сетей с h ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Непланарность графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского.

Лекция 3. Экстремальная теория графов. Теорема Турана. Теорема Рамсея.

Наследственные свойства графов. Теорема о числе ребер в графах с наследственным свойством. Теорема о числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о числе ребер в графе без полного графа с n вершинами. Числа Рамсея. Оценки чисел Рамсея.

Лекция 4. Проблема полноты. Теорема о полноте систем функций двузначной логики. Алгоритм распознавания полноты систем функций k-значной логики.

Полные системы. Теорема Поста о полноте систем функций двузначной логики. Теорема о полноте системы Поста в k-значной логике. Теорема о существовании алгоритма распознавания полноты в k-значной логике.

Лекция 5. Теорема Слупецкого. Особенности k-значных логик.

Теорема Яблонского о полноте систем функций k-значной логики, содержащих все функции одной переменной, принимающие не более (k-1) значений. Теорема Слупецкого. Замкнутый класс и базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и со счетным базисом.

Лекция 6. Эксперименты с автоматами. Алгоритмическая неразрешимость проблемы полноты для автоматов.

Конечные автоматы-преобразователи. Отличимость состояний автомата. Теорема Мура о длине эксперимента, отличающего два отличимых состояния конечного автомата. Проблема полноты для конечных автоматов. Теорема о существовании конечных полных систем автоматов. Теорема о несводимости операций суперпозиции и обратной связи друг к другу. Теорема об алгоритмической неразрешимости распознавания полноты систем автоматов.

Лекция 7. Проблема минимизации ДНФ. Локальные алгоритмы. Построение ДНФ сумма тупиковых в классе локальных алгоритмов. Невозможность построения ДНФ сумма минимальных в классе локальных алгоритмов.

Лекция 8. Асимптотически наилучший метод синтеза СФЭ. Инвариантные классы и их свойства. Синтез СФЭ для функций из некоторых инвариантных классов.

Лекция 9. Нижние оценки сложности реализации функций алгебры логики π-схемами и формулами.

Лекция 10. Эквивалентные преобразования формул двузначной логики. Пример Линдона.

Лекция 11. Логический подход к контролю исправности и диагностике неисправностей управляющих систем. Тесты.

Лекция 12. Конечные поля и их основные свойства. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема.

Литература

1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Сапоженко А.А. Некоторые вопросы сложности алгоритмов. М.: Издательский отдел ф-та ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001.
3. Нигматуллин Р.Г. Сложность булевых функций. Казань: Изд-во Казанского университета, 1983.
4. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
5. Слайды к лекции 1
6. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.

Вопросы к экзамену

(весенний семестр 2014/2015 учебного года, аспиранты 1 г/о кафедр ИО, МК, ММП, лектор — доцент С.Н. Селезнева)

Литература

1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Сапоженко А.А. Некоторые вопросы сложности алгоритмов. М.: Издательский отдел ф-та ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001.
3. Нигматуллин Р.Г. Сложность булевых функций. Казань: Изд-во Казанского университета, 1983.
4. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
5. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.