Модели вычислений

Лектор - профессор Захаров Владимир Анатольевич.

Программа курса

Конечные автоматы и регулярные выражения

1. Формальные языки. Операции над языками. Проблемы принадлежности слова языку, пустоты, тотальности, равенства, включения.
2. Недетерминированные конечные автоматы. Вычисления автоматов. Автоматные языки.
3. Детерминированные конечные автоматы. Эквивалентные состояния и эквивалентные автоматы. Алгоритм проверки эквивалентности детерминированных конечных автоматов.
4. Минимальные детерминированные конечные автоматы. Теорема о существовании и единственности минимального детерминированного конечного автомата. Алгоритм минимизации детерминированных конечных автоматов.
5. Алгоритм преобразования конечного автомата к детерминированному виду. Замкнутость класса автоматных языков относительно операций над языками.
6. Теорема о разрастании для автоматных языков. Примеры неавтоматных языков.
7. Регулярные выражения. Алгебра регулярных выражений. Уравнения в регулярных выражениях. Теорема Клини о соответствии между регулярными выражениями и конечными автоматами.
8. Задача проверки соответствия текста шаблону и теоретико-автоматный подход к ее решению. Задача поиска подстроки в строке. Алгоритм Ахо-Карасик.
9. Двусторонние конечные автоматы. Теорема о соответствии между односторонними и двусторонними конечными автоматами.

Вычислимые функции и рекурсивные множества

8. Машины Тьюринга: основные понятия. Арифметические функции, вычислимые по Тьюрингу.
9. Моделирование многоленточных машин Тьюринга одноленточными машинами Тьюринга.
10. Универсальная машина Тьюринга. Теорема Клини о совпадение класса арифметических функций, вычислимых по Тьюрингу, и частично-рекурсивных функций.
11. Существование частично-рекурсивной функции, не имеющей рекурсивных доопределений. Неразрешимость проблем самоприменимости и останова для машин Тьюринга.
12. Сводимость алгоритмических задач. Примеры алгоритмически неразрешимых задач анализа поведения программ.
13. Теорема Райса и примеры ее применения.
14. Рекурсивные множества. Замкнутость класса рекурсивных множеств относительно операций объединения, пересечения и дополнения.
15. Рекурсивно-перечислимые множества. Замкнутость класса рекурсивных множеств относительно операций объединения, пересечения. Незамкнутость класса рекурсивно-перечислимых множеств относительно дополнения.
16. Теоремы о характеристических свойствах рекурсивно-перечислимых множеств относительно рекурсивных функций.

Формальные грамматики и языки

17. Формальные грамматики: основные понятия. Классификация Хомского формальных грамматик (иерархия Хомского).
18. Праволинейные грамматики и языки. Совпадением класса праволинейных языков и класса автоматных языков. Разрешимость проблем принадлежности и эквивалентности для класса праволинейных языков.
19. Теорема о разрастании (лемма о накачке) для автоматных языков. Примеры языков, не являющихся автоматными.
20. Контекстно-свободные грамматики и языки. Примеры контекстно-свободных языков. Замкнутость класса контекстно-свободных языков относительно операции объединения. Разрешимость проблемы принадлежности для контекстно-свободных языков.
21. Нормальная форма Хомского для контекстно-свободных грамматик. Приведение контекстно-свободных грамматик к нормальной форме Хомского.
22. Теорема о разрастании (лемма о накачке) для контекстно-свободных языков. Примеры языков, не являющихся контекстно-свободными.
23. Автоматы с магазинной памятью. Теорема о совпадении класса контекстно-свободных языков и класса языков, распознаваемых автоматами с магазинной памятью.
24. Алгоритм Кока-Янгера-Касами синтаксического анализа контекстно-свободных языков.
25. Незамкнутость класса контекстно-свободных языков относительно операций пересечения и дополнения.
26. Контекстно-зависимые грамматики и языки. Примеры контекстно-зависимых языков. Разрешимость проблемы принадлежности для контекстно-зависимых языков.
27. Грамматики типа 0 и рекурсивно-перечислимые языки.

Алгоритмически неразрешимые математические задачи

28. Проблема соответствий Поста. Теорема об алгоритмической неразрешимости проблемы соответствий Поста.
29. Алгоритмическая неразрешимость проблемы непустоты пересечения, проблемы тотальности и проблемы эквивалентности для контекстно-свободных грамматик.
30. Примеры алгоритмически неразрешимых проблем арифметики, алгебры, комбинаторики.

Литература

1. Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. Т. 1: Синтаксический анализ. - М.: Мир, 1978. - 612 с.
2. Ахо А., Сети Р., Ульман Дж. Компиляторы: принципы, технологии и инструменты. - М.: Вильямс, 2001. - 768 с.
3. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. - М.: МЦНМО, 1999. - 176 с.
4. Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. - М.: Мир, 1983.
5. Льюис Ф., Розенкранц Д, Стирнз Р. Теоретические основы проектирования компиляторов. - М.: Мир, 1979.. - 656 с.
6. Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Теория алгоритмов. - М.: Бином, 2008. - 200 с.
7. Пентус А.Е., Пентус М.Р. Математическая теория формальных языков. Серия "Основы информатики и математики" - М: Бином, 2006. - 247 с.
8. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. - М.: Мир, 1972.
9. Хопкрофт Дж., Мотвани Р., Ульман Дж. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений. - М.: Вильямс, 2002. - 528 с.

Правила проведения экзамена

Экзамен проводится в форме письменной контрольной работы. Время, отведенное на решение задач, составляет 120 мин. Письменная контрольная работа состоит из 10 заданий.

Задания 1-4 - это задачи требующие применения стандартных алгоритмов и методов решения. Правильное решение каждой такой задачи оценивается 2 баллами.

В заданиях 5-8 требуется сформулировать определения основных понятий, введенных в лекционном курсе. Правильное решение каждой такой задачи оценивается 1 баллом.

В задании 9 требуется сформулировать и доказать одну из теорем, рассмотренных в лекционном курсе. Правильное решение каждой такой задачи оценивается 2 баллами.

В задании 10 требуется решить теоретическую задачу, опираясь на сведения, представленные в лекционном курсе. Правильное решение каждой такой задачи оценивается 3 баллами.

Оценка контрольной работы проводится по следующим критериям:

14-17 баллов - отлично,

10-15 баллов - отлично,

7-9 баллов - удовлетворительно.