Избранные вопросы дискретной математики

Курс читает Селезнева Светлана Николаевна

Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен.

Лекции

Часть 1. Конечнозначные функции.

Лекция 1. Конечнозначные функции. Элементарные k-значные функции. Способы представления k-значных функций: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Лекция 2. Алгоритм распознавания полноты в P_k. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Теорема Кузнецова о функциональной полноте. Предполные классы.

Лекция 3. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.

Лекция 4. Классы функций, сохраняющих предикат, их замкнутость. Предполные классы. Предикатное описание предполных классов.

Лекция 5. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Существование в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и замкнутых классов со счетным базисом. Соответствие Галуа. Задача обобщенной выполнимости.

Коллоквиум по теме "Конечнозначные функции".

Часть 2. Теория Пойа.

Лекция 6. Группы. Симметрическая группа перестановок S_n. Подгруппы. Теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.

Лекция 7. Подгруппы. Смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.

Лекция 8. Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы. Теорема Пойа. Производящие функции. Перечисляющий ряд для цветов и перечисляющий ряд для раскрасок. Теорема Пойа (общий случай). Примеры.

Коллоквиум по теме "Теория Пойа".

Часть 3. Конечные поля.

Лекция 9. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.

Лекция 10. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.

Лекция 11. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.

Коллоквиум по теме "Конечные поля".

Литература

1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
5. Задачи для семинарских занятий по теме "Группы. Теория Пойа".
6. Задачи для семинарских занятий по теме "Конечные поля".

Дополнительная литература

1. Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1.
2. Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1.
3. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1.
4. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006.
5. Марченков С.С. Основы теории булевых функций. М.: Физматлит, 2014. Глава 4.
6. Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017.

Семинары

Занятие 1. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.

[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.5, 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).

На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.6, 1.11(5, 10), 1.12, 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.9, 2.11(1, 2).

Занятие 2. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.

[4] Гл. III 2.1(1 а, б, г, д), 2.2(1, 2), 2.13(1, 2, 5, 6), 2.16(1, 3), 2.19(1, 2, 3, 4).

На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.

Занятие 3. Распознавание полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.

[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).

На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).

Занятие 4. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.

[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).

На дом: [5] 2.1(3, 4), 2.2(1, 3), 2.3(2, 4, 6, 8), 2.4(1, 3, 5), 2.5(1, 3, 5, 7), 2.6(1, 4), 2.7(2).

Занятие 5. Раскраски. Теорема Пойа (частный случай).

[5] 2.8(2, 3, 6), 2.12(1, 2 (1-2)), 2.13(1, 2).

На дом: [5] 2.8(1, 4, 5, 7, 8), 2.12(2 (3-4)), 2.13(3), 2.14(2, 3), 2.15(2, 3).

Занятие 6. Раскраски. Теорема Пойа (общий случай).

[5] 2.9(1-4), 2.10(2, 4), 2.11(1, 2), 2.16(1, 3), 2.17(1,3).

На дом: [5] 2.9(5-8), 2.10(1, 3), 2.11(3, 4), 2.16(2, 4), 2.17(2, 4).

Занятие 7. Построение конечных полей.

[6] 3.1(1, 3, 5, 7), 3.3(1, 3, 5, 7), 3.4(1, 3, 5, 7), 3.5(1, 3), 3.7(1, 3).

На дом: [6] 3.1(2, 4, 6, 8), 3.3(2, 4, 6, 8), 3.4(2, 4, 6, 8), 3.5(2, 4), 3.7(2, 4).

Занятие 8. Вычисления в конечных полях.

[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).

На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).

О проведении экзамена

Экзамен устный. В билете два теоретических вопроса и задача. Ответ на вопросы билета без подготовки. При ответе на первый вопрос можно пользоваться любыми бумажными источниками (конспектами лекций, распечатками, книгами). При ответе на второй вопрос никакими источниками пользоваться не разрешается. Задача на одну из трех тем. В течение семестра по каждой из этих тем состоятся коллоквиумы. На каждом из них можно получить одну из трех оценок: 1 (освобождение от задачи), 0,5 или 0 (дополнительная задача). При наличии дополнительных задач по итогам коллоквиумов студент решает эти задачи до того, как возьмет билет.