Дискретные модели управляющих систем

Обязательный курс для аспирантов 1 г/о кафедр ИО, МК, ММП

Курс читает доцент Селезнева Светлана Николаевна

Объявления

Экзамен по "Дискретным моделям управляющих систем"

Вопросы к экзамену

1. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, их число и рекуррентные формулы для них. Сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями.
2. Верхняя оценка биномиального коэффициента. Поведение последовательности биномиальных коэффициентов. Асимптотика суммы биномиальных коэффициентов.
3. Графы и сети. Оценка числа деревьев с h ребрами. Оценка числа псевдографов с h ребрами. Оценка числа п-сетей с h ребрами.
4. Формула Эйлера для планарных графов. Непланарность графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского.
5. Наследственные свойства графов. Теорема о числе ребер в графах с наследственным свойством. Теорема о числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о числе ребер в графе без полного графа с n вершинами.
6. Числа Рамсея. Верхняя и нижняя оценки чисел Рамсея.
7. Полнота в k-значной логике. Теоремы о представимости функций k-значной логики в 1-й и во 2-й формах. Теорема о полноте системы Поста в k-значной логике. Теорема о полноте системы полиномов.
8. Теорема о существовании алгоритма распознавания полноты в k-значной логике.
9. Существенные функции. Леммы о существенных функциях: лемма о трех наборах, основная лемма, лемма о квадрате.
10. Теорема Яблонского о полноте систем функций k-значной логики, содержащих все функции одной переменной, принимающие не более (k-1) значений.
11. Замкнутый класс и базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и со счетным базисом.
12. Конечные автоматы-преобразователи. Отличимость состояний автомата. Теорема Мура о длине эксперимента, отличающего два отличимых состояния конечного автомата. Проблема полноты для конечных автоматов.
13. Проблема полноты для конечных автоматов. Операция суперпозиции. Теорема о несуществовании конечных полных систем в функциональной системе автоматных функций с операцией суперпозиции.
14. Зависимость с запаздыванием. Операция обратной связи. Теорема о существовании конечных полных систем в функциональной системе автоматных функций с операциями суперпозиции и обратной связи. Несводимость операций суперпозиции и обратной связи друг к другу.
15. Схемы из функциональных элементов (СФЭ). Метод Лупанова построения СФЭ в базисе из элементов конъюнкции, дизъюнкции и отрицания для функций алгебры логики.

Лекции

Лекция 1. Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики комбинаторных чисел.

Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, их число рекуррентные формулы для них. Сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями. Оценки и асимптотики биномиальных коэффициентов. Оценки и асимптотики сумм биномиальных коэффициентов. [1] стр. 171-183, 213-214, [6]

Лекция 2. Графы и сети. Оценки графов и сетей различных типов. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Теорема Понтрягина-Куратовского.

Графы и сети. Оценка числа деревьев с h ребрами. Оценка числа псевдографов с h ребрами. Оценка числа п-сетей с h ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Непланарность графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского. [1] стр. 222-227, [2] стр. 33-37

Лекция 3. Экстремальная теория графов. Теорема Турана. Теорема Рамсея.

Наследственные свойства графов. Теорема о числе ребер в графах с наследственным свойством. Теорема о числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о числе ребер в графе без полного графа с n вершинами. Числа Рамсея. Оценки чисел Рамсея. [5] стр. 28-31

Лекция 4. Проблема полноты. Теорема о полноте систем функций двузначной логики. Алгоритм распознавания полноты систем функций k-значной логики.

Полные системы. Теорема Поста о полноте систем функций двузначной логики. Теорема о полноте системы Поста в k-значной логике. Теорема о существовании алгоритма распознавания полноты в k-значной логике. [1] стр. 43-53

Лекция 5. Теорема Слупецкого. Особенности k-значных логик.

Теорема Яблонского о полноте систем функций k-значной логики, содержащих все функции одной переменной, принимающие не более (k-1) значений. Теорема Слупецкого. Замкнутый класс и базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и со счетным базисом. [1] стр. 56-71.

Лекция 6. Эксперименты с автоматами. Алгоритмическая неразрешимость проблемы полноты для автоматов.

Конечные автоматы-преобразователи. Отличимость состояний автомата. Теорема Мура о длине эксперимента, отличающего два отличимых состояния конечного автомата. Проблема полноты для конечных автоматов. Теорема о существовании конечных полных систем автоматов. Теорема о несводимости операций суперпозиции и обратной связи друг к другу. Теорема об алгоритмической неразрешимости распознавания полноты систем автоматов. [2] стр. 83-86, [1] стр. 86-113

Лекция 7. Проблема минимизации ДНФ. Локальные алгоритмы. Построение ДНФ сумма тупиковых в классе локальных алгоритмов. Невозможность построения ДНФ сумма минимальных в классе локальных алгоритмов. [3] стр. 12-21

Лекция 8. Асимптотически наилучший метод синтеза СФЭ. Инвариантные классы и их свойства. Синтез СФЭ для функций из некоторых инвариантных классов. [4] стр. 65-69, , [3] стр. 5-10

Лекция 9. Нижние оценки сложности реализации функций алгебры логики π-схемами и формулами.

Лекция 10. Эквивалентные преобразования формул двузначной логики. Пример Линдона.

Лекция 11. Логический подход к контролю исправности и диагностике неисправностей управляющих систем. Тесты.

Лекция 12. Конечные поля и их основные свойства. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема.

Литература

1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
3. Сапоженко А.А. Некоторые вопросы сложности алгоритмов. М.: Издательский отдел ф-та ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001.
4. Нигматуллин Р.Г. Сложность булевых функций. Казань: Изд-во Казанского университета, 1983.
5. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
6. Слайды к лекции 1
7. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.

Вопросы к экзамену

(весенний семестр 2014/2015 учебного года, аспиранты 1 г/о кафедр ИО, МК, ММП, лектор — доцент С.Н. Селезнева)