Дискретная математика (1й курс) — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Часть А)
(→‎Часть В)
Строка 34: Строка 34:
 
'''Ответ без конспектов и почти без подготовки (3-5 минут), с доказательствами (можно излагать устно).'''
 
'''Ответ без конспектов и почти без подготовки (3-5 минут), с доказательствами (можно излагать устно).'''
 
<ol start="18">
 
<ol start="18">
−
<li> Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций.
+
<li> Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций.
−
<li> Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
+
<li> Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
−
<li> Полные системы. Примеры полных систем (с доказательством полноты).
+
<li> Полные системы. Примеры полных систем (с доказательством полноты).
−
<li> Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом.  
+
<li> Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом.
−
<li> Понятие замкнутого класса. Замкнутость классов T<sub>0</sub>, T<sub>1</sub> и L.  
+
<li> Понятие замкнутого класса. Замкнутость классов   
−
<li> Класс монотонных функций, его замкнутость.
+
<li> Класс монотонных функций, его замкнутость.
−
<li> Лемма о несамодвойственной функции.
+
<li> Лемма о несамодвойственной функции.
−
<li> Лемма о немонотонной функции.
+
<li> Лемма о немонотонной функции.
−
<li> Теорема о максимальном числе функций в базисе в алгебре логики.
+
<li> Теорема о максимальном числе функций в базисе в алгебре логики.
−
<li> Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность.
+
<li> k-значные функции. Теорема о существовании конечной полной системы в Pk.
−
<li> Корневые деревья. Верхняя оценка их числа.
+
<li> Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность.
−
<li> Геометрическая реализация графов. Теорема о реализации графов в трехмерном пространстве.
+
<li> Корневые деревья. Верхняя оценка их числа.
−
<li> Планарные (плоские) графы. Формула Эйлера.
+
<li> Геометрическая реализация графов. Теорема о реализации графов в трехмерном пространстве.
−
<li> Доказательство непланарности графов K<sub>5</sub> и K<sub>3,3</sub>. Теорема Понтрягина-Куратовского (доказательство в одну сторону).
+
<li> Планарные (плоские) графы. Формула Эйлера.
−
<li> Оптимальные коды, их свойства.
+
<li> Доказательство непланарности графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского (доказательство в одну сторону).
−
<li> Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами.
+
<li> Теорема о раскраске вершин графа в 2 цвета (теорема Кенига).
−
<li> Понятие автоматных функций, их представление диаграммой Мура. Единичная задержка.
+
<li> Оптимальные коды, их свойства.
−
<li> Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель.
+
<li> Линейные двоичные коды. Теорема о кодовом расстоянии линейных кодов.
 +
<li> Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами.
 +
<li> Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель.
 +
<li> Понятие автоматных функций, их представление диаграммой Мура. Единичная задержка.  
 +
<li> Несуществование эксперимента, определяющего начальное состояние автомата.
 
</ol>
 
</ol>
  

Версия 22:09, 19 мая 2014

Лекторы

Вопросы к экзамену по курсу «Дискретная математика».

В билете 2 вопроса (один из части А и один из части В) и задача.

Часть А

Ответ без подготовки, по любым материалам (конспекты, книжки, распечатки лекций и т.д.). Проверяется, насколько осознаны все доказательства (основной вопрос – «почему?»). Определение и формулировки — без конспектов.

  1. Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма. Метод ее построения по конъюнктивной нормальной форме (метод Нельсона).
  2. Алгоритм построения вектора коэффициентов полинома Жегалкина (с обоснованием).
  3. Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость.
  4. Лемма о нелинейной функции.
  5. Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики.
  6. Теорема о предполных классах.
  7. Теоремы о представлении k-значных функций 2-й формой и полиномами.
  8. Деревья. Свойства деревьев.
  9. Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева (с обоснованием).
  10. Теорема о раскраске планарных графов в 5 цветов.
  11. Алгоритм распознавания взаимной однозначности алфавитного кодирования (с обоснованием). Теорема Маркова.
  12. Неравенство Макмиллана.
  13. Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов.
  14. Теорема редукции.
  15. Коды с исправлением r ошибок. Оценка функции Mr(n).
  16. Коды Хэмминга. Оценка функции M1(n).
  17. Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка ее сложности.
  18. Схемы из функциональных элементов и элементов задержки. Автоматность осуществляемых ими отображений.
  19. Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементов задержки.
  20. Теорема Мура. Пример автомата, на котором достигается оценка теоремы Мура.

    Часть В

    Ответ без конспектов и почти без подготовки (3-5 минут), с доказательствами (можно излагать устно).

    1. Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций.
    2. Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
    3. Полные системы. Примеры полных систем (с доказательством полноты).
    4. Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом.
    5. Понятие замкнутого класса. Замкнутость классов
    6. Класс монотонных функций, его замкнутость.
    7. Лемма о несамодвойственной функции.
    8. Лемма о немонотонной функции.
    9. Теорема о максимальном числе функций в базисе в алгебре логики.
    10. k-значные функции. Теорема о существовании конечной полной системы в Pk.
    11. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность.
    12. Корневые деревья. Верхняя оценка их числа.
    13. Геометрическая реализация графов. Теорема о реализации графов в трехмерном пространстве.
    14. Планарные (плоские) графы. Формула Эйлера.
    15. Доказательство непланарности графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского (доказательство в одну сторону).
    16. Теорема о раскраске вершин графа в 2 цвета (теорема Кенига).
    17. Оптимальные коды, их свойства.
    18. Линейные двоичные коды. Теорема о кодовом расстоянии линейных кодов.
    19. Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами.
    20. Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель.
    21. Понятие автоматных функций, их представление диаграммой Мура. Единичная задержка.
    22. Несуществование эксперимента, определяющего начальное состояние автомата.

    По результатам контрольных работ по каждой из четырех тем (алгебра логики, графы, коды, автоматы) у каждого студента должна стоять одна из трех оценок — 0, 1/2 или 1. Оценка 0 означает, что на экзамене студент должен решить дополнительную задачу по данной теме, оценка 1/2, — что студент решает задачу по данной теме только в случае, если она выпадает в билете. Оценка 1 означает, что на экзамене студент не должен решать по данной теме как дополнительные задачи, так и задачу из билета. Дополнительные задачи решаются до выбора билета. Студенты, не решившие достаточное количество дополнительных задач, удаляются с экзамена с оценкой «неудовлетворительно», количество решенных задач может ограничить сверху оценку, получаемую на экзамене.

    Задачи решаются без конспектов.

    После ответа на билет возможна прогонка по всему материалу (определения, формулировки, идеи доказательств) и добавочные задачи на любые темы (не путать с дополнительными!).
Источник — «https://mk.cs.msu.ru/index.php?title=Дискретная_математика_(1й_курс)&oldid=1102»