Дискретная математика (КФ) — различия между версиями
Материал из Кафедра математической кибернетики
(→Лекции) |
|||
| (не показаны 26 промежуточные версии 1 участника) | |||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
Лектор - [[Селезнева Светлана Николаевна]] | Лектор - [[Селезнева Светлана Николаевна]] | ||
| − | == | + | ==Экзамен== |
| − | + | '''Экзамен состоится 14 июня очно'''. | |
| − | + | Экзамен письменный. Экзаменационная работа содержит восемь заданий по содержанию курса. Первые четыре задания - задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания - формулировки определений или теорем с дополнительными вопросами. Вопросы проясняют понимание студентом определения или теоремы. Они оцениваются также в 3 балла каждое. Список вопросов и задач приведен на этой странице. | |
| − | + | Продолжительность написания работы - 1 ч 30 мин (90 мин). | |
| − | + | [[Media: example-dm-kf-exam.pdf | Примерный вариант экзаменационной работы]] | |
| − | + | Экзамен проводится очно в аудитории. Работу следует написать разборчиво от руки на светлых листах контрастной ручкой. Каждый лист работы нужно подписать: фамилию, инициалы и номер группы. После окончания экзамена выполненные работы сдаются принимающему экзамен. | |
| − | + | <!---Итоги экзамена появятся 18 июня в 14 ч (по московскому времени) (время появления итогов экзамена изменено). Затем до 15 ч (по московскому времени) 17 июня на почту dm1@cs.msu.ru можно прислать вопросы по оцениванию заданий в работах. После всех обсуждений оценки выставляются в ведомость.---> | |
| − | + | '''Вопросы к экзамену''' | |
| − | + | *Функции алгебры логики. Таблицы истинности. Существенные и несущественные переменные. Формулы. Тождества. | |
| + | *Разложение функций по переменным. Теорема о совершенной ДНФ. Теорема о совершенной КНФ. | ||
| + | *Полнота в алгебре логики, полные системы. Полнота некоторых систем. | ||
| + | *Полиномы Жегалкина. Теорема Жегалкина. Построение полиномов Жегалкина. | ||
| + | *Замыкание множества, замкнутые классы. Замкнутость классов T_0, T_1, L, S, M. | ||
| + | *Леммы о несамодвойственной, немонотонной и нелинейной функциях. | ||
| + | *Теорема Поста о полноте. | ||
| + | *Базис в P_2. Теореме о числе функций в базисе P_2. | ||
| + | *Предполные классы. Теорема о предполных классах в P_2. | ||
| + | *Графы. Пути и цепи. Циклы и связность. Леммы об удалении и добавлении ребер в связных графах. Теорема о числе вершин, числе ребер и числе компонент связности в графе. | ||
| + | *Деревья. Теорема о равносильных определениях дерева. | ||
| + | *Корневые деревья. Упорядоченные корневые деревья. Оценка числа деревьев с q ребрами. | ||
| + | *Остовные деревья. Кратчайшие остовные деревья. Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева. | ||
| + | *Геометрическое представление графов. Теорема о геометрическом представлении графов в трехмерном пространстве. | ||
| + | *Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Критерий планарности Понтрягина-Куратовского. | ||
| + | *Раскраски графов. Раскраски графов в два цвета. | ||
| + | *Теорема о раскраске планарного графа. | ||
| + | *Кодирование. Алфавитные коды. Проверка однозначности алфавитного кода. Теорема Маркова. | ||
| + | *Неравенство Макмиллана. | ||
| + | *Префиксные коды. Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов. | ||
| + | *Оптимальные коды (коды с минимальной избыточностью). Свойства оптимальных кодов. | ||
| + | *Теорема редукции. Метод Хаффмана построения оптимального кода. | ||
| + | *Устойчивость кодов к ошибкам. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки, их свойства. | ||
| + | *Коды Хэмминга. | ||
| + | *Конечные автоматы. Способы их представления. | ||
| + | *Отличимость состояний конечного автомата. Теорема Мура. Упрощение автоматов. | ||
| − | + | '''Литература''' | |
| + | <ol> | ||
| + | <li> Слайды к лекциям. | ||
| + | <li> Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012. | ||
| + | <li> [[Media:Lectdm.doc|Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004.]] Электронный ресурс. | ||
| + | <li> Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986. | ||
| + | <li> Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. | ||
| + | <li> Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Либроком, 2006. | ||
| + | </ol> | ||
| − | + | '''Задачи к экзамену''' | |
| − | + | *Найти существенные и фиктивные переменные заданной функции алгебры логики. | |
| + | *Найти совершенную ДНФ, совершенную КНФ или полином Жегалкина заданной функции алгебры логики. | ||
| + | *Подсчитать число функций алгебры логики, зависящих от n переменных, в заданном множестве. | ||
| + | *Проверить полноту заданной системы функций алгебры логики (конечной или бесконечной). | ||
| + | *Проверить, является ли данная система функций алгебры логики базисом, или выделить из заданной системы функций алгебры логики все базисы. | ||
| + | *Найти число неизоморфных графов с заданными свойствами и изобразить эти графы. | ||
| + | *Найти код упорядоченного корневого дерева или восстановить упорядоченное корневое дерево по коду. | ||
| + | *Найти в заданном графе подграф, гомеоморфный графу K_5 или графу K_3,3. | ||
| + | *Проверить, является ли заданный граф планарным. | ||
| + | *Проверить, найдется ли планарный граф с заданными свойствами. | ||
| + | *Найти хроматическое число или хроматический индекс заданного графа. | ||
| + | *Проверить разделимость заданного алфавитного кода (по алгоритму). | ||
| + | *Проверить разделимость заданного алфавитного кода по неравенству Макмиллана или построить префиксный код с заданными длинами кодовых слов. | ||
| + | *Найти оптимальный алфавитный двоичный код по заданному набору частот. | ||
| + | *Определить, сколько ошибок замещения обнаруживает или исправляет заданный равномерный код. | ||
| + | *Кодировать или исправить ошибку и декодировать сообщение в коде Хэмминга. | ||
| + | *Найти диаграмму Мура автоматной функции, заданной описанием. | ||
| + | *Найти диаграмму Мура, каноническую таблицу или канонические уравнения автоматной функции, заданной одним из перечисленных способов. | ||
| + | *Построить диаграмму Мура, не содержащую недостижимых и неотличимых состояний, для заданной автоматной функции. | ||
| − | + | ==Удаленное обучение== | |
| − | + | Вопросы по содержанию курса (и другие вопросы, относящиеся к курсу) можно задавать лектору Селезневой Светлане Николаевне по эл. почте selezn@cs.msu.ru | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Текущая версия на 22:35, 15 мая 2024
Курс для студентов 1-го курса Казахстанского филиала МГУ, читается во 2-м семестре. Лекции - 32 ч, семинары - 32 ч, отчетность - экзамен.
Лектор - Селезнева Светлана Николаевна
Экзамен
Экзамен состоится 14 июня очно.
Экзамен письменный. Экзаменационная работа содержит восемь заданий по содержанию курса. Первые четыре задания - задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания - формулировки определений или теорем с дополнительными вопросами. Вопросы проясняют понимание студентом определения или теоремы. Они оцениваются также в 3 балла каждое. Список вопросов и задач приведен на этой странице.
Продолжительность написания работы - 1 ч 30 мин (90 мин).
Примерный вариант экзаменационной работы
Экзамен проводится очно в аудитории. Работу следует написать разборчиво от руки на светлых листах контрастной ручкой. Каждый лист работы нужно подписать: фамилию, инициалы и номер группы. После окончания экзамена выполненные работы сдаются принимающему экзамен.
Вопросы к экзамену
- Функции алгебры логики. Таблицы истинности. Существенные и несущественные переменные. Формулы. Тождества.
- Разложение функций по переменным. Теорема о совершенной ДНФ. Теорема о совершенной КНФ.
- Полнота в алгебре логики, полные системы. Полнота некоторых систем.
- Полиномы Жегалкина. Теорема Жегалкина. Построение полиномов Жегалкина.
- Замыкание множества, замкнутые классы. Замкнутость классов T_0, T_1, L, S, M.
- Леммы о несамодвойственной, немонотонной и нелинейной функциях.
- Теорема Поста о полноте.
- Базис в P_2. Теореме о числе функций в базисе P_2.
- Предполные классы. Теорема о предполных классах в P_2.
- Графы. Пути и цепи. Циклы и связность. Леммы об удалении и добавлении ребер в связных графах. Теорема о числе вершин, числе ребер и числе компонент связности в графе.
- Деревья. Теорема о равносильных определениях дерева.
- Корневые деревья. Упорядоченные корневые деревья. Оценка числа деревьев с q ребрами.
- Остовные деревья. Кратчайшие остовные деревья. Алгоритм построения кратчайшего остовного дерева.
- Геометрическое представление графов. Теорема о геометрическом представлении графов в трехмерном пространстве.
- Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Критерий планарности Понтрягина-Куратовского.
- Раскраски графов. Раскраски графов в два цвета.
- Теорема о раскраске планарного графа.
- Кодирование. Алфавитные коды. Проверка однозначности алфавитного кода. Теорема Маркова.
- Неравенство Макмиллана.
- Префиксные коды. Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов.
- Оптимальные коды (коды с минимальной избыточностью). Свойства оптимальных кодов.
- Теорема редукции. Метод Хаффмана построения оптимального кода.
- Устойчивость кодов к ошибкам. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки, их свойства.
- Коды Хэмминга.
- Конечные автоматы. Способы их представления.
- Отличимость состояний конечного автомата. Теорема Мура. Упрощение автоматов.
Литература
- Слайды к лекциям.
- Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
- Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004. Электронный ресурс.
- Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
- Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
- Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Либроком, 2006.
Задачи к экзамену
- Найти существенные и фиктивные переменные заданной функции алгебры логики.
- Найти совершенную ДНФ, совершенную КНФ или полином Жегалкина заданной функции алгебры логики.
- Подсчитать число функций алгебры логики, зависящих от n переменных, в заданном множестве.
- Проверить полноту заданной системы функций алгебры логики (конечной или бесконечной).
- Проверить, является ли данная система функций алгебры логики базисом, или выделить из заданной системы функций алгебры логики все базисы.
- Найти число неизоморфных графов с заданными свойствами и изобразить эти графы.
- Найти код упорядоченного корневого дерева или восстановить упорядоченное корневое дерево по коду.
- Найти в заданном графе подграф, гомеоморфный графу K_5 или графу K_3,3.
- Проверить, является ли заданный граф планарным.
- Проверить, найдется ли планарный граф с заданными свойствами.
- Найти хроматическое число или хроматический индекс заданного графа.
- Проверить разделимость заданного алфавитного кода (по алгоритму).
- Проверить разделимость заданного алфавитного кода по неравенству Макмиллана или построить префиксный код с заданными длинами кодовых слов.
- Найти оптимальный алфавитный двоичный код по заданному набору частот.
- Определить, сколько ошибок замещения обнаруживает или исправляет заданный равномерный код.
- Кодировать или исправить ошибку и декодировать сообщение в коде Хэмминга.
- Найти диаграмму Мура автоматной функции, заданной описанием.
- Найти диаграмму Мура, каноническую таблицу или канонические уравнения автоматной функции, заданной одним из перечисленных способов.
- Построить диаграмму Мура, не содержащую недостижимых и неотличимых состояний, для заданной автоматной функции.
Удаленное обучение
Вопросы по содержанию курса (и другие вопросы, относящиеся к курсу) можно задавать лектору Селезневой Светлане Николаевне по эл. почте selezn@cs.msu.ru
