Дискретные модели — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Литература)
(→‎О проведении экзамена)
 
(не показаны 147 промежуточные версии 1 участника)
Строка 1: Строка 1:
−
Программа обязательного курса для студентов магистратуры, 1-й курс, 2-й семестр.
+
Курс для студентов неинтегрированной магистратуры (1-й курс, 2-й семестр)
  
−
Лектор - доцент [[Селезнева Светлана Николаевна]].
+
Лекции - 16 ч, отчетность - экзамен.
 +
 
 +
Лектор - [[Селезнева Светлана Николаевна]].
  
 
== Объявления ==
 
== Объявления ==
  
−
== Лекции ==
+
==Программа курса==
−
*'''Лекция 1''': Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число и рекуррентные формулы для них. Примеры. [[Media:dm-mag-lect1-selezn.pdf|Лекция 1]]
+
−
*'''Лекция 2''': Свойства комбинаторных чисел. Производящие функции, подсчет комбинаторных сумм и доказательство комбинаторных тождеств.
+
−
*'''Лекция 3''': Принцип включений-исключений.
+
−
*'''Лекция 4''': Рекуррентные уравнения. Линейные однородные и неоднородные рекуррентные уравнения, их решения.
+
−
*'''Лекция 5''': Графы. Транспортная задача. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм построения максимального потока в сети.
+
−
*'''Лекция 6''': Графы интервалов. Применения графов интервалов. Задача регулирования транспорта светофором. Графовая модель задачи управления сигналами светофора.
+
−
*'''Лекция 7''': Задача выбора маршрутов и ее частный случай - задача распределения рейсов по дням. Графовая модель задачи распределения рейсов. Хроматическое число графа. Критерий двураскрашиваемости графа. Верхние и нижние оценки хроматических чисел графов.
+
  
−
== Литература ==
+
'''Тема 1. Многозначные логики'''.
 +
 
 +
Лекция 1. Функции k-значной логики. Способы их представления: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
 +
 
 +
Лекция 2. Алгоритм распознавания полноты в P_k. Теорема Кузнецова. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество. Классы функций, сохраняющих разбиение. Предполные классы.
 +
 
 +
Лекция 3. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и замкнутых классов со счетным базисом.
 +
 
 +
'''Тема 2. Графы'''.
 +
 
 +
Лекция 4. Графы. Простейшие свойства графов.Деревья, остовные деревья. Число остовных деревьев полного помеченного графа. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве графа.
 +
 
 +
Лекция 5. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Оценки хроматического числа графа.
 +
 
 +
Лекция 6. Наследственные свойства графов. Оценка числа ребер в графе с наследственным свойством. Планарные графы, наибольшее число ребер в планарном графе. Наибольшее число ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о наибольшем числе ребер в графе без полного графа с n вершинами.
 +
 
 +
Лекция 7. Числа Рамсея. Верхняя и нижняя оценки чисел Рамсея.
 +
 
 +
'''Литература'''
 
#Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
 
#Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
−
#Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.  
+
#Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
−
#Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.
+
#Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
 +
#Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.  
 +
#Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.
 +
 
 +
==О проведении экзамена==
 +
 
 +
Экзамен проходит в виде письменной работы. На экзамене не разрешается пользоваться никакими материалами. Письменная работа содержит 10 заданий. Задания 1-4 - типовые задачи, каждая из которых оценивается в 3 балла (примерный перечень типовых задач ниже). Каждое из заданий 5-8 - определение или формулировка теоремы с дополнительным вопросом, который проясняет суть определения или теоремы. Каждое из заданий 5-8 оценивается в 3 балла. Задания 9-10 - нестандартные задачи или доказательство теоремы или ее части. Каждое из заданий 9-10 оценивается в 4 балла. Продолжительность работы - 1,5 ч (одна пара).
 +
 
 +
За письменную работу можно получить не более 32 баллов.
 +
Критерии оценок:
 +
 
 +
не менее 27 баллов - "отлично";
 +
 
 +
20-26 баллов - "хорошо";
 +
 
 +
13-19 баллов - "удовлетворительно";
 +
 
 +
не более 12 баллов - "неудовлетворительно".
 +
 
 +
'''Примерный перечень типовых задач к экзамену:'''
 +
 
 +
1) доказать заданное тождество для функций k-значной логики ([3] гл. III 1.1(1-12));
 +
 
 +
2) записать заданную функцию k-значной логики в 1-й или во 2-й форме при заданном k ([3] гл. III 1.11);
 +
 
 +
3) построить полином по модулю k для заданной функции k-значной логики при заданном простом k ([3] гл. III 2.7);
 +
 
 +
4) выяснить, задается ли полиномом по модулю k заданная функция k-значной логики при заданном составном k ([3] гл. III 2.12);
 +
 
 +
5) исследовать заданную систему функций на полноту ([3] гл. III 2.13, 2.19, 2.21, 2.22);
 +
 
 +
6) найти число попарно неизоморфных графов определенного вида и перечислить эти графы ([3] гл. VI 1.3-1.8, 1.29);
 +
 
 +
7) построить код заданного остовного дерева полного графа или восстановить остовное дерево полного графа по его коду ([4] стр. 79-80);
 +
 
 +
8) построить остовное дерево для заданного связного графа с заданным числом висячих вершин;
 +
 
 +
9) найти хроматическое число заданного графа ([3] гл. VI 2.18, 2.19);
 +
 
 +
10) найти наибольшее число ребер в графе с заданным наследственным свойством ([3] гл. VI 2.8, 2.9, 2.10, 2.17).
 +
<!---[[Media:exam-mag-dm.pdf|'''Примерный вариант экзаменационной работы''']]--->
 +
 
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]

Текущая версия на 00:09, 6 января 2024

Курс для студентов неинтегрированной магистратуры (1-й курс, 2-й семестр)

Лекции - 16 ч, отчетность - экзамен.

Лектор - Селезнева Светлана Николаевна.

Объявления

Программа курса

Тема 1. Многозначные логики.

Лекция 1. Функции k-значной логики. Способы их представления: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Лекция 2. Алгоритм распознавания полноты в P_k. Теорема Кузнецова. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество. Классы функций, сохраняющих разбиение. Предполные классы.

Лекция 3. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и замкнутых классов со счетным базисом.

Тема 2. Графы.

Лекция 4. Графы. Простейшие свойства графов.Деревья, остовные деревья. Число остовных деревьев полного помеченного графа. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве графа.

Лекция 5. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Оценки хроматического числа графа.

Лекция 6. Наследственные свойства графов. Оценка числа ребер в графе с наследственным свойством. Планарные графы, наибольшее число ребер в планарном графе. Наибольшее число ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о наибольшем числе ребер в графе без полного графа с n вершинами.

Лекция 7. Числа Рамсея. Верхняя и нижняя оценки чисел Рамсея.

Литература

  1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
  2. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
  3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
  4. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
  5. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.

О проведении экзамена

Экзамен проходит в виде письменной работы. На экзамене не разрешается пользоваться никакими материалами. Письменная работа содержит 10 заданий. Задания 1-4 - типовые задачи, каждая из которых оценивается в 3 балла (примерный перечень типовых задач ниже). Каждое из заданий 5-8 - определение или формулировка теоремы с дополнительным вопросом, который проясняет суть определения или теоремы. Каждое из заданий 5-8 оценивается в 3 балла. Задания 9-10 - нестандартные задачи или доказательство теоремы или ее части. Каждое из заданий 9-10 оценивается в 4 балла. Продолжительность работы - 1,5 ч (одна пара).

За письменную работу можно получить не более 32 баллов. Критерии оценок:

не менее 27 баллов - "отлично";

20-26 баллов - "хорошо";

13-19 баллов - "удовлетворительно";

не более 12 баллов - "неудовлетворительно".

Примерный перечень типовых задач к экзамену:

1) доказать заданное тождество для функций k-значной логики ([3] гл. III 1.1(1-12));

2) записать заданную функцию k-значной логики в 1-й или во 2-й форме при заданном k ([3] гл. III 1.11);

3) построить полином по модулю k для заданной функции k-значной логики при заданном простом k ([3] гл. III 2.7);

4) выяснить, задается ли полиномом по модулю k заданная функция k-значной логики при заданном составном k ([3] гл. III 2.12);

5) исследовать заданную систему функций на полноту ([3] гл. III 2.13, 2.19, 2.21, 2.22);

6) найти число попарно неизоморфных графов определенного вида и перечислить эти графы ([3] гл. VI 1.3-1.8, 1.29);

7) построить код заданного остовного дерева полного графа или восстановить остовное дерево полного графа по его коду ([4] стр. 79-80);

8) построить остовное дерево для заданного связного графа с заданным числом висячих вершин;

9) найти хроматическое число заданного графа ([3] гл. VI 2.18, 2.19);

10) найти наибольшее число ребер в графе с заданным наследственным свойством ([3] гл. VI 2.8, 2.9, 2.10, 2.17).

Источник — «https://mk.cs.msu.ru/index.php?title=Дискретные_модели&oldid=10862»