Избранные вопросы дискретной математики — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Объявления)
(→‎Литература)
 
(не показаны 79 промежуточные версии 1 участника)
Строка 5: Строка 5:
 
==Объявления==
 
==Объявления==
  
−
'''[[Media:ivdm-exam.pdf|Вопросы к экзамену]]'''
+
==Программа курса==
  
−
[[Media:ivdm-kolok.pdf|Итоги коллоквиумов]]
+
'''Тема 1. Основы теории множеств.''' Множества, операции над множествами. Мощность множества, конечные множества. Отношения, виды отношений. [1] Гл. 1, разделы 1.1, 1.3; Гл. 3, разделы 3.1, 3.3, 3.5.
  
−
==Лекции==
+
Упражнения. [1] Гл. 1, разделы 1.2, 1.4; Гл. 3, разделы 3.2, 3.4, 3.6.
  
−
'''Часть 1. Конечнозначные функции'''.
+
'''Тема 2. Функции k-значной логики. Формулы.''' Функции k-значной логики. Таблицы значений, векторы значений. Формулы, эквивалентные формулы, тождества. Эквивалентные преобразования формул, доказательства тождеств. [2] Гл. 1, раздел 1; [3] Гл. 3, стр. 88--89. Упражнения. [3] Гл. 3, N 1.1, 1.2, 1.6, 1.7, 1.8.
  
−
'''[[Media:ivdm-l1-selezn.pdf|Лекция 1]]'''. Конечнозначные функции. Элементарные k-значные функции. Способы представления k-значных функций: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
+
'''Тема 3. Функции k-значной логики. Нормальные формы.''' Представление функций k-значной логики 1-й и 2-й формами. Полные системы. Система Поста. Полнота системы Поста. [2] Гл. 1, раздел 2(до стр. 15); [3] Гл. 3, раздел 1, стр. 91--92. Упражнения. [3] Гл. 3, N 1.11, 1.12.
  
−
'''[[Media:ivdm-l2-selezn.pdf|Лекция 2]]'''. Алгоритм распознавания полноты в P_k. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Теорема Кузнецова о функциональной полноте. Предполные классы.
+
'''Тема 4. Функции k-значной логики. Полиномы.''' Полиномы по модулю k. Представление функций k-значной логики полиномами по модулю k. Вычисление коэффициентов полиномов функций k-значной логики. [2] Гл. 1, раздел 2(стр. 15--16); [3] Гл. 3, раздел 2, стр. 93--95. Упражнения. [3] Гл. 3, N 2.7, 2.8, 2.11, 2.12, 2.23.
  
−
'''[[Media:ivdm-l3-selezn.pdf|Лекция 3]]'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
+
'''Коллоквиум 1''' по темам 2--4.
  
−
'''[[Media:ivdm-l4-selezn.pdf|Лекция 4]]'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и замкнутых классов со счетным базисом. Классы функций, сохраняющих предикат, их замкнутость. Соответствие Галуа.
+
==Литература==
  
−
Коллоквиум по теме "Конечнозначные функции".
+
#Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2010.
 +
#[[Media:ИзбрГлавыДискрМатем_2015.pdf|Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2015.]]
 +
#Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
 +
#[[Media:fsbook_marchenkovss.pdf|Марченков С.С. Функциональные системы. М.: МАКС Пресс, 2012.]]
  
−
'''Часть 2. Теория Пойа'''.
+
<!---'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
  
−
'''[[Media:ivdm-l5-selezn.pdf|Лекция 5]]'''. Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли.
+
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.2(1, 3), 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
  
−
'''[[Media:ivdm-l6-selezn.pdf|Лекция 6]]'''. Подгруппы. Смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
+
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.2(2, 4), 1.6, 1.11(5, 10), 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.11(1, 2).
−
 
+
−
'''[[Media:ivdm-l7-selezn.pdf|Лекция 7]]'''. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда.
+
−
 
+
−
'''[[Media:ivdm-l8-selezn.pdf|Лекция 8]]'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы. Теорема Пойа (частный случай).
+
−
 
+
−
'''[[Media:ivdm-l9-selezn.pdf|Лекция 9]]'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы. Производящие функции. Перечисляющий ряд для цветов и перечисляющий ряд для раскрасок. Теорема Пойа (общий случай).
+
−
 
+
−
Коллоквиум по теме "Теория Пойа".
+
−
 
+
−
'''Часть 3. Конечные поля'''.
+
−
 
+
−
'''[[Media:ivdm-l10-selezn.pdf|Лекция 10]]'''. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.
+
−
 
+
−
'''[[Media:ivdm-l11-selezn.pdf|Лекция 11]]'''. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.
+
−
 
+
−
'''[[Media:ivdm-l12-selezn.pdf|Лекция 12]]'''. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.
+
−
 
+
−
Коллоквиум по теме "Конечные поля".
+
−
 
+
−
'''Литература'''
+
−
+
−
# Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
+
−
# Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
+
−
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
+
−
# Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
+
−
# [[Media:ivdm-sem.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Группы. Теория Пойа".
+
−
# [[Media:ivdm-sem3.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Конечные поля".
+
−
 
+
−
==Семинары==
+
−
 
+
−
'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
+
−
 
+
−
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.5, 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
+
−
 
+
−
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.6, 1.11(5, 10), 1.12, 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.9, 2.11(1, 2).
+
  
 
'''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.  
 
'''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.  
Строка 70: Строка 38:
 
На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.
 
На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.
  
−
'''Занятие 3'''. Распознавание полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.  
+
'''Занятие 3'''. Проверка полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.  
  
 
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
 
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
  
−
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).
+
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).--->
−
 
+
<!---'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.  
−
'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.  
+
  
 
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
 
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
Строка 104: Строка 71:
 
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
 
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
  
−
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).
+
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).--->
  
 
==О проведении экзамена==
 
==О проведении экзамена==
  
−
Экзамен устный. В билете два теоретических вопроса и задача. Ответ на вопросы билета без подготовки. При ответе на первый вопрос можно пользоваться любыми бумажными источниками (конспектами лекций, распечатками, книгами). При ответе на второй вопрос никакими источниками пользоваться не разрешается. Задача на одну из трех тем. В течение семестра по каждой из этих тем состоятся коллоквиумы. На каждом из них можно получить одну из трех оценок: 1 (освобождение от задачи), 0,5 или 0 (дополнительная задача). При наличии дополнительных задач по итогам коллоквиумов студент решает эти задачи до того, как возьмет билет.
 
  
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]

Текущая версия на 20:47, 21 октября 2025

Курс читает Селезнева Светлана Николаевна

Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен.

Объявления

Программа курса

Тема 1. Основы теории множеств. Множества, операции над множествами. Мощность множества, конечные множества. Отношения, виды отношений. [1] Гл. 1, разделы 1.1, 1.3; Гл. 3, разделы 3.1, 3.3, 3.5.

Упражнения. [1] Гл. 1, разделы 1.2, 1.4; Гл. 3, разделы 3.2, 3.4, 3.6.

Тема 2. Функции k-значной логики. Формулы. Функции k-значной логики. Таблицы значений, векторы значений. Формулы, эквивалентные формулы, тождества. Эквивалентные преобразования формул, доказательства тождеств. [2] Гл. 1, раздел 1; [3] Гл. 3, стр. 88--89. Упражнения. [3] Гл. 3, N 1.1, 1.2, 1.6, 1.7, 1.8.

Тема 3. Функции k-значной логики. Нормальные формы. Представление функций k-значной логики 1-й и 2-й формами. Полные системы. Система Поста. Полнота системы Поста. [2] Гл. 1, раздел 2(до стр. 15); [3] Гл. 3, раздел 1, стр. 91--92. Упражнения. [3] Гл. 3, N 1.11, 1.12.

Тема 4. Функции k-значной логики. Полиномы. Полиномы по модулю k. Представление функций k-значной логики полиномами по модулю k. Вычисление коэффициентов полиномов функций k-значной логики. [2] Гл. 1, раздел 2(стр. 15--16); [3] Гл. 3, раздел 2, стр. 93--95. Упражнения. [3] Гл. 3, N 2.7, 2.8, 2.11, 2.12, 2.23.

Коллоквиум 1 по темам 2--4.

Литература

  1. Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2010.
  2. Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2015.
  3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
  4. Марченков С.С. Функциональные системы. М.: МАКС Пресс, 2012.


О проведении экзамена

Источник — «https://mk.cs.msu.ru/index.php?title=Избранные_вопросы_дискретной_математики&oldid=12263»