Избранные вопросы дискретной математики — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Лекции)
 
(не показаны 118 промежуточные версии 1 участника)
Строка 7: Строка 7:
 
==Лекции==
 
==Лекции==
  
−
'''Часть 1. Конечнозначные функции'''.
+
'''Часть 1. Функции k-значной логики'''.
  
−
'''[[Media:ivdm-l1-selezn.pdf|Лекция 1]]'''. Конечнозначные функции. Элементарные k-значные функции. Способы задания k-значных функций: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
+
'''Лекция 1'''. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Представимость функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.
  
−
'''[[Media:ivdm-l2-selezn.pdf|Лекция 2]]'''. Алгоритм распознавания полноты в P_k. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Теорема Кузнецова о функциональной полноте. Предполные классы.
+
'''Лекция 2'''. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
  
−
'''[[Media:ivdm-l3-selezn.pdf|Лекция 3]]'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
+
'''Лекция 3'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
  
−
'''[[Media:ivdm-l4-selezn.pdf|Лекция 4]]'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и замкнутых классов со счетным базисом. Классы функций, сохраняющих предикат, их замкнутость. Соответствие Галуа.
+
'''Лекция 4'''. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Алгоритм распознавания полноты в P_k.
  
−
Коллоквиум по теме "Конечнозначные функции".
+
'''Лекция 5'''. Замкнутые классы. Отношения. Сохранение функцией отношения. Замкнутость класса всех функций, сохраняющих заданное отношение. Классы функций, сохраняющих некоторые отношения.
  
−
'''Часть 2. Теория Пойа'''.
+
'''Лекция 6'''. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k.
  
−
'''[[Media:ivdm-l5-selezn.pdf|Лекция 5]]'''. Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли.
+
'''Лекция 7'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.  
  
−
'''[[Media:ivdm-l6-selezn.pdf|Лекция 6]]'''. Подгруппы. Смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
+
Коллоквиум по теме "Функции k-значной логики".
  
−
'''[[Media:ivdm-l7-selezn.pdf|Лекция 7]]'''. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда.
+
<!---'''Часть 2. Группы'''.
  
−
'''[[Media:ivdm-l8-selezn.pdf|Лекция 8]]'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы. Производящие функции. Перечисляющий ряд для фигур и перечисляющий ряд для функций. Теорема Пойа.
+
'''Лекция 8'''. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
  
−
Коллоквиум по теме "Теория Пойа".
+
'''Лекция 9'''. Перестановки. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.
  
−
'''Часть 3. Конечные поля'''.
+
'''Лекция 10'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок по группе. Теорема Пойа. Примеры.
  
−
'''[[Media:ivdm-l9-selezn.pdf|Лекция 9]]'''. Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Наследование свойств кольца в кольце многочленов. Деление с остатком многочленов над полем.
+
Коллоквиум по теме "Группы".
  
−
'''[[Media:ivdm-l10-selezn.pdf|Лекция 10]]'''. Идеалы, главные идеалы колец. Кольцо главных идеалов. Теорема о главном идеале кольца главных идеалов. Кольцо многочленов как кольцо главных идеалов. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 2.
+
'''Часть 3. Конечные поля'''.
  
−
'''[[Media:ivdm-l11-selezn.pdf|Лекция 11]]'''. Критерий неприводимости многочленов степени 2 или 3. Расширения полей. Вычисления в полях, алгоритм Евклида. Теорема о мультипликативной группе конечного поля.
+
'''Лекция 11'''. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.
  
−
'''[[Media:ivdm-l12-selezn.pdf|Лекция 12]]'''.
+
'''Лекция 12'''. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.
 +
 
 +
'''Лекция 13'''. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.
  
 
Коллоквиум по теме "Конечные поля".
 
Коллоквиум по теме "Конечные поля".
 +
--->
  
 
'''Литература'''
 
'''Литература'''
 +
 +
Основная:
 
   
 
   
−
* Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
+
# Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
−
* Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
+
# Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
−
* Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
+
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
−
* Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.  
+
# Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
 +
<!---# [[Media:ivdm-sem.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Группы. Теория Пойа".
 +
# [[Media:ivdm-sem3.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Конечные поля".--->
 +
Дополнительная:
 +
 
 +
# Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1.
 +
# Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1.
 +
# Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1.
 +
# Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006.
 +
# Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017.
 +
 
 +
==Семинары==
 +
 
 +
<!---'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
 +
 
 +
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.2(1, 3), 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
 +
 
 +
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.2(2, 4), 1.6, 1.11(5, 10), 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.11(1, 2).
 +
 
 +
'''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.
 +
 
 +
[4] Гл. III 2.1(1 а, б, г, д), 2.2(1, 2), 2.13(1, 2, 5, 6), 2.16(1, 3), 2.19(1, 2, 3, 4).
 +
 
 +
На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.
 +
 
 +
'''Занятие 3'''. Проверка полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.
 +
 
 +
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
 +
 
 +
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).--->
 +
<!---'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.
 +
 
 +
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
 +
 
 +
На дом: [5] 2.1(3, 4), 2.2(1, 3), 2.3(2, 4, 6, 8), 2.4(1, 3, 5), 2.5(1, 3, 5, 7), 2.6(1, 4), 2.7(2).
 +
 
 +
'''Занятие 5'''. Раскраски. Теорема Пойа (частный случай).
 +
 
 +
[5] 2.8(2, 3, 6), 2.12(1, 2 (1-2)), 2.13(1, 2).
 +
 
 +
На дом: [5] 2.8(1, 4, 5, 7, 8), 2.12(2 (3-4)), 2.13(3), 2.14(2, 3), 2.15(2, 3).
 +
 
 +
'''Занятие 6'''. Раскраски. Теорема Пойа (общий случай).
 +
 
 +
[5] 2.9(1-4), 2.10(2, 4), 2.11(1, 2), 2.16(1, 3), 2.17(1,3).
 +
 
 +
На дом: [5] 2.9(5-8), 2.10(1, 3), 2.11(3, 4), 2.16(2, 4), 2.17(2, 4).
 +
 
 +
'''Занятие 7'''. Построение конечных полей.
 +
 
 +
[6] 3.1(1, 3, 5, 7), 3.3(1, 3, 5, 7), 3.4(1, 3, 5, 7), 3.5(1, 3), 3.7(1, 3).
 +
 
 +
На дом: [6] 3.1(2, 4, 6, 8), 3.3(2, 4, 6, 8), 3.4(2, 4, 6, 8), 3.5(2, 4), 3.7(2, 4).
 +
 
 +
'''Занятие 8'''. Вычисления в конечных полях.
 +
 
 +
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
 +
 
 +
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).--->
 +
 
 +
==О проведении экзамена==
 +
 
  
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]

Текущая версия на 21:01, 6 сентября 2024

Курс читает Селезнева Светлана Николаевна

Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен.

Объявления

Лекции

Часть 1. Функции k-значной логики.

Лекция 1. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Представимость функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.

Лекция 2. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Лекция 3. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.

Лекция 4. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Алгоритм распознавания полноты в P_k.

Лекция 5. Замкнутые классы. Отношения. Сохранение функцией отношения. Замкнутость класса всех функций, сохраняющих заданное отношение. Классы функций, сохраняющих некоторые отношения.

Лекция 6. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k.

Лекция 7. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.

Коллоквиум по теме "Функции k-значной логики".


Литература

Основная:

  1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
  2. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
  3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
  4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.

Дополнительная:

  1. Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1.
  2. Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1.
  3. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1.
  4. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006.
  5. Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017.

Семинары

О проведении экзамена

Источник — «https://mk.cs.msu.ru/index.php?title=Избранные_вопросы_дискретной_математики&oldid=11249»