|
|
| (не показаны 198 промежуточные версии 1 участника) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | + | Курс читает [[Селезнева Светлана Николаевна|Селезнева Светлана Николаевна]] |
| | + | |
| | + | Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен. |
| | + | |
| | + | ==Объявления== |
| | + | |
| | ==Программа курса== | | ==Программа курса== |
| − | Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре. Форма отчетности - экзамен. Экзамен проходит письменно. За экзаменационную работу студент получает определенное количество баллов.
| |
| | | | |
| − | В течение семестра по курсу проходят два письменных коллоквиума. За каждый коллоквиум студент получает дополнительные или штрафные баллы.
| + | '''Тема 1. Основы теории множеств.''' Множества, операции над множествами. Мощность множества, конечные множества. Отношения, виды отношений. [1] Гл. 1, разделы 1.1, 1.3; Гл. 3, разделы 3.1, 3.3, 3.5. |
| | + | |
| | + | Упражнения. [1] Гл. 1, разделы 1.2, 1.4; Гл. 3, разделы 3.2, 3.4, 3.6. |
| | + | |
| | + | '''Тема 2. Функции k-значной логики. Формулы.''' Функции k-значной логики. Таблицы значений, векторы значений. Формулы, эквивалентные формулы, тождества. Эквивалентные преобразования формул, доказательства тождеств. [2] Гл. 1, раздел 1; [3] Гл. 3, стр. 88--89. Упражнения. [3] Гл. 3, N 1.1, 1.2, 1.6, 1.7, 1.8. |
| | + | |
| | + | '''Тема 3. Функции k-значной логики. Нормальные формы.''' Представление функций k-значной логики 1-й и 2-й формами. Полные системы. Система Поста. Полнота системы Поста. [2] Гл. 1, раздел 2(до стр. 15); [3] Гл. 3, раздел 1, стр. 91--92. Упражнения. [3] Гл. 3, N 1.11, 1.12. |
| | | | |
| − | Оценка на экзамене по курсу выставляется по следующему правилу: количество баллов, полученное студентом за экзаменационную работу, увеличивается на дополнительные баллы за коллоквиумы или уменьшается на штрафные баллы за коллоквиумы; по вычисленному значению выводится оценка по критериям экзамена (критерии станут известны позднее).
| + | '''Тема 4. Функции k-значной логики. Полиномы.''' Полиномы по модулю k. Представление функций k-значной логики полиномами по модулю k. Вычисление коэффициентов полиномов функций k-значной логики. [2] Гл. 1, раздел 2(стр. 15--16); [3] Гл. 3, раздел 2, стр. 93--95. Упражнения. [3] Гл. 3, N 2.7, 2.8, 2.11, 2.12, 2.23. |
| | | | |
| − | Первый коллоквиум состоится на 6-й лекции 10 октября. Темы коллоквиума: прочитанные пять лекций. При написании коллоквиума не разрешается пользоваться никакими материалами.
| + | '''Коллоквиум 1''' по темам 2--4. |
| | | | |
| − | Второй коллоквиум состоится на 12-й лекции 21 ноября. Темы коллоквиума: прочитанные шестая-одиннадцатая лекции. При написании коллоквиума не разрешается пользоваться никакими материалами.
| + | ==Литература== |
| | | | |
| − | Курс читает [[Селезнева Светлана Николаевна|Селезнева С.Н.]]
| + | #Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2010. |
| | + | #[[Media:ИзбрГлавыДискрМатем_2015.pdf|Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2015.]] |
| | + | #Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. |
| | + | #[[Media:fsbook_marchenkovss.pdf|Марченков С.С. Функциональные системы. М.: МАКС Пресс, 2012.]] |
| | | | |
| − | ==Архив лекций==
| + | <!---'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k. |
| − | [[Media:dm_lection1.pdf|Лекция 1]]: Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число. Примеры.
| + | |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection2.pdf|Лекция 2]]: Биномиальные и полиномиальные коэффициенты, их свойства. Метод производящих функций (конечный случай). Оценки биномиальных коэффициентов и их сумм. | + | [4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.2(1, 3), 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3). |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection3.pdf|Лекция 3]]: Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма Хассе. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи. Теорема Дилуорса. Булев куб, его длина и ширина. Булеан.
| + | На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.2(2, 4), 1.6, 1.11(5, 10), 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.11(1, 2). |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection4.pdf|Лекция 4]]: Теорема Анселя о разбиении булева куба на цепи. Оценки числа монотонных булевых функций. Расшифровка монотонных булевых функций.
| + | '''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам. |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection5.pdf|Лекция 5]]: Покрытия множества и покрытия матрицы. Лемма о градиентном покрытии. Оценки мощности затеняющего множества булева куба и длины полиномиальных нормальных форм булевых функций. | + | [4] Гл. III 2.1(1 а, б, г, д), 2.2(1, 2), 2.13(1, 2, 5, 6), 2.16(1, 3), 2.19(1, 2, 3, 4). |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection6.pdf|Лекция 6]]: Коллоквиум 1.
| + | На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15. |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection7.pdf|Лекция 7]]: Функция Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса. Принцип включений-исключений.
| + | '''Занятие 3'''. Проверка полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы. |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection8.pdf|Лекция 8]]: Линейные однородные и неоднородные рекуррентные уравнения. | + | [4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3). |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection9.pdf|Лекция 9]]: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли.
| + | На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).---> |
| | + | <!---'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок. |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection10.pdf|Лекция 10]]: Подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда. | + | [5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1). |
| | | | |
| − | [[Media:dm_lection11.pdf|Лекция 11]]: Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы перестановок. Теорема Пойа (частный случай). Производящие функции. Перечисляющий ряд для фигур и перечисляющий ряд для функций. Теорема Пойа (общий случай). Примеры.
| + | На дом: [5] 2.1(3, 4), 2.2(1, 3), 2.3(2, 4, 6, 8), 2.4(1, 3, 5), 2.5(1, 3, 5, 7), 2.6(1, 4), 2.7(2). |
| | | | |
| − | Лекция 12 (21.11): Коллоквиум 2.
| + | '''Занятие 5'''. Раскраски. Теорема Пойа (частный случай). |
| | | | |
| − | Лекция 13 (28.11): Кольца. Кольцо многочленов.
| + | [5] 2.8(2, 3, 6), 2.12(1, 2 (1-2)), 2.13(1, 2). |
| | | | |
| − | Лекция 14 (5.12): Поля. Теорема о поле из p^n элементов, где p -- простое число, n > 1.
| + | На дом: [5] 2.8(1, 4, 5, 7, 8), 2.12(2 (3-4)), 2.13(3), 2.14(2, 3), 2.15(2, 3). |
| | | | |
| − | Лекция 15 (12.12): Линейные коды.
| + | '''Занятие 6'''. Раскраски. Теорема Пойа (общий случай). |
| | | | |
| − | Лекция 16 (19.12): Функции k-значной логики и способы их представления.
| + | [5] 2.9(1-4), 2.10(2, 4), 2.11(1, 2), 2.16(1, 3), 2.17(1,3). |
| | | | |
| − | ==Вопросы к экзамену по курсу «Избранные вопросы дискретной математики»==
| + | На дом: [5] 2.9(5-8), 2.10(1, 3), 2.11(3, 4), 2.16(2, 4), 2.17(2, 4). |
| − | '''(осенний семестр 2009/2010 учебного года, группы 318, 319, лектор — доцент С.Н. Селезнева)'''
| + | |
| | | | |
| − | '''Часть A. Вопросы, при ответе на которые, можно пользоваться конспектами (некоторое время, при этом ответ не состоит в чтении конспекта). Определения и теоремы должны быть сформулированы до того, как конспект будет открыт.''' | + | '''Занятие 7'''. Построение конечных полей. |
| | | | |
| − | * Алгоритм распознавания полноты конечных систем функций k-значной логики.
| + | [6] 3.1(1, 3, 5, 7), 3.3(1, 3, 5, 7), 3.4(1, 3, 5, 7), 3.5(1, 3), 3.7(1, 3). |
| − | * Теорема Кузнецова о функциональной полноте.
| + | |
| − | * Существенные функции. Леммы о существенных функциях: о трех наборах, основная и о квадрате.
| + | |
| − | * Критерий полноты Яблонского систем функций k-значной логики.
| + | |
| − | * Операции над о.-д. функциями. Замкнутость класса о.-д. функций относительно операций суперпозиции и обратной связи.
| + | |
| − | * Леммы о преобразовании периодических последовательностей о.-д. функцией. Несводимость операции обратной связи к операции суперпозиции.
| + | |
| − | * Леммы о преобразовании машинных кодов: основного в l-кратный, решетчатого в основной и квазиосновного в основной.
| + | |
| − | * Операция суперпозиции. Теорема о замкнутости класса вычислимых функций относительно операции суперпозиции.
| + | |
| − | * Операция примитивной рекурсии. Теорема о замкнутости класса вычислимых функций относительно операции примитивной рекурсии.
| + | |
| − | * Операция минимизации. Теорема о замкнутости класса вычислимых функций относительно операции минимизации.
| + | |
| − | * Класс примитивно-рекурсивных функций. Примитивная рекурсивность функции Пеано и ее обобщений. Классы частично-рекурсивных и общерекурсивных функций.
| + | |
| − | * Теорема о схеме одновременной примитивной рекурсии.
| + | |
| − | * Формула Клини. Теорема о соотношении классов частично-рекурсивных и вычислимых функций.
| + | |
| − | * Кольцо многочленов над полем. Теорема о делении многочленов с остатком. Делимость многочленов. Теорема о наибольшем общем делителе двух многочленов.
| + | |
| − | * Неприводимость многочленов над полем. Теорема о неприводимом делителе произведения многочленов. Теорема о каноническом разложении многочлена на неприводимые сомножители.
| + | |
| − | * Теорема о фактор-кольце кольца целых чисел.
| + | |
| − | * Теорема о фактор-кольце кольца многочленов над простым полем.
| + | |
| − | * Теорема Анселя о разбиении куба <math>B_n</math> на цепи. Теорема об оценках числа монотонных булевых функций.
| + | |
| − |
| + | |
| − | '''Часть B. Вопросы, при ответе на которые пользоваться конспектами не предполагается. Ответ почти без подготовки.'''
| + | |
| | | | |
| − | * Теоремы о I-й и II-й формах записи функций k-значной логики.
| + | На дом: [6] 3.1(2, 4, 6, 8), 3.3(2, 4, 6, 8), 3.4(2, 4, 6, 8), 3.5(2, 4), 3.7(2, 4). |
| − | * Полные системы. Полнота системы Поста. Функция Вебба.
| + | |
| − | * Шефферовы функции. Критерий шефферовости.
| + | |
| − | * Теоремы Янова и Мучника. Следствия из них.
| + | |
| − | * Теорема о полноте системы полиномов в Pk.
| + | |
| − | * Детерминированные функции (д. функции). Мощность класса д. функций. Задание д. функций нагруженными деревьями.
| + | |
| − | * Ограниченно-детерминированные функции (о.-д. функции). Способы их задания. Мощность класса о.-д. функций.
| + | |
| − | * Полнота систем о.-д. функций. Существование аналога функции Шеффера.
| + | |
| − | * Машины Тьюринга (МТ). Машинные коды: основной, l-кратный, решетчатый, квазиосновной. Задача поиска левой единицы в основном коде.
| + | |
| − | * Лемма о моделировании на решетке.
| + | |
| − | * Класс примитивно-рекурсивных функций. Примитивная рекурсивность некоторых функций (знака, сложения, умножения, целой части от деления, и т.д.). Классы частично-рекурсивных и общерекурсивных функций.
| + | |
| − | * Алгебраическая операция, нейтральный элемент, симметричный элемент. Группа, абелева группа. Конечная группа, порядок группы, таблица Кэли. Симметрическая группа перестановок. Подгруппа. Теорема Кэли.
| + | |
| − | * Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы.
| + | |
| − | * Эквивалентность элементов относительно группы перестановок. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда о числе орбит.
| + | |
| − | * Раскраски, эквивалентность раскрасок относительно группы перестановок. Теорема Пойа о числе орбит раскрасок.
| + | |
| − | * Кольцо, целостное кольцо, поле. Кольцо многочленов над некоторым кольцом. Теорема о целостности кольца многочленов над полем.
| + | |
| − | * Значение многочлена в точке, корень многочлена. Критерий неприводимости многочленов степени, не выше 3.
| + | |
| − | * Теорема о конечном целостном кольце.
| + | |
| − | * Характеристика кольца. Теорема о характеристике конечного поля.
| + | |
| − | * Идеал кольца, главный идеал. Эквивалентность элементов кольца и класс вычетов по модулю идеала. Фактор-кольцо по модулю идеала.
| + | |
| − | * Частично-упорядоченные множества (ЧУМ). Минимальные и максимальные, наименьший и наибольший элементы. Длина и ширина конечного ЧУМ. Теорема Дилуорса о ширине конечного ЧУМ.
| + | |
| − | * Теоремы о длине и ширине куба <math>B_n</math>.
| + | |
| | | | |
| − | '''Литература''' | + | '''Занятие 8'''. Вычисления в конечных полях. |
| − |
| + | |
| − | * Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М., Наука, 2001.
| + | |
| − | * Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М., Мир, 1988.
| + | |
| − | * Ансель Ж. О числе монотонных булевых функций от n переменных. В кн. Кибернетический сборник. Новая серия. Вып. 5. М., Мир, 1968, с. 53-57.
| + | |
| − | * Де Брейн Н. Дж. Теория перечисления Пойа. В сб. ст. Прикладная комбинаторная математика, под ред. Э. Бакенбаха. М., Мир, 1966, с. 61-107.
| + | |
| − |
| + | |
| − | ==Типовые задачи==
| + | |
| | | | |
| − | * Записать функцию k-значной логики в I-й или II-й форме, построить ее полином или доказать, что она не задается полиномом по mod k; исследовать систему функций k-значной логики на полноту.
| + | [6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7). |
| − | * Построить диаграмму Мура о.-д. функции; доказать полноту системы о.-д. функций.
| + | |
| − | * Применить операцию примитивной рекурсии или операцию минимизации; доказать примитивную рекурсивность функции.
| + | |
| − | * Построить группу перестановок и найти ее цикловой индекс; найти число неэквивалентных раскрасок относительно группы перестановок.
| + | |
| − | * Исследовать многочлен на неприводимость; найти сумму, произведение элементов или обратный элемент в конечном поле.
| + | |
| | | | |
| − | '''Литература'''
| + | На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).---> |
| − |
| + | |
| − | * Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004. Гл. III 1.11, 2.7, 2.20, 2.21, 2.22, 2.23; гл. IV 2.1, 2.17, 2.18; гл. V 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5; гл. VIII 4.1, 4.3, 4.4, 4.9, 4.10.
| + | |
| − | * Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М., Мир, 1988.
| + | |
| | | | |
| | + | ==О проведении экзамена== |
| | | | |
| | | | |
| | [[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]] | | [[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]] |
Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен.
Упражнения. [1] Гл. 1, разделы 1.2, 1.4; Гл. 3, разделы 3.2, 3.4, 3.6.
