Избранные вопросы дискретной математики — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(Лекции)
(Лекции)
(не показаны 26 промежуточные версии 1 участника)
Строка 5: Строка 5:
 
==Объявления==
 
==Объявления==
  
<!---'''Экзамен - 8 января'''. '''Начало в 10 ч'''.  
+
<!---Пересдача экзамена состоится 18 февраля (в пятницу) удаленно. Начало в 16 ч 30 мин.
  
Консультация к экзамену состоится 6 января с помощью zoom; ссылка такая же, как и для лекций. Начало в 10 ч.--->
+
ВАЖНО: просьба к каждому студенту, сдающему пересдачу, прислать на эл. почту dm1@cs.msu.ru письмо. В теме письма написать "пересдача по ИВДМ". Ответными письмами будет выслан вариант экзаменационного задания.
 +
 
 +
В день экзамена в 16 ч 30 мин каждый студент по эл. почте получает вариант экзаменационного задания. На выполнение работы отводится 1 ч 30 мин (90 мин). Работу нужно написать от руки на светлых листах контрастной ручкой. Вверху на каждом листе нужно написать фамилию, имя.
 +
 
 +
Выполненную работу нужно отсканировать или сфотографировать. Затем сканы или фотографии выполненной работы в формате pdf, jpg или png нужно прислать ответным письмом на dm1@cs.msu.ru. На сканирование или фотографирование работы и ее отправку отводится 15 мин.
 +
 
 +
Если работа студента не получена через 1 ч 45 мин (105 мин) после начала экзамена, т.е. до 18 ч 15 мин, то считается, что студент работу не сдал.--->
  
 
==Лекции==
 
==Лекции==
  
'''Часть 1. Конечные функции'''.
+
'''Часть 1. Функции k-значной логики'''.
  
'''[[Media:ivdm-l1-selezn.pdf|Лекция 1]]'''. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Теоремы о представлении функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.
+
'''Лекция 1'''. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Представимость функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.
  
'''Лекция 2'''. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Замыкание. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
+
'''Лекция 2'''. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
  
'''Лекция 3'''. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество, и функций, сохраняющих разбиение, их замкнутость.
+
'''Лекция 3'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
  
'''Лекция 4'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
+
'''Лекция 4'''. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Алгоритм распознавания полноты в P_k.
  
'''Лекция 5'''. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах.
+
'''Лекция 5'''. Замкнутые классы. Отношения. Сохранение функцией отношения. Замкнутость класса всех функций, сохраняющих заданное отношение. Классы функций, сохраняющих некоторые отношения.
  
'''Лекция 6'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.  
+
'''Лекция 6'''. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k.
  
Коллоквиум по теме "Конечные функции".
+
'''Лекция 7'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.  
  
'''Часть 2. Теория Пойа'''.
+
Коллоквиум по теме "Функции k-значной логики".
  
<!---'''[[Media:ivdm-l7-selezn.pdf|Лекция 7]]'''. Группы. Симметрическая группа перестановок S_n. Подгруппы. Теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.
+
'''Часть 2. Группы'''.
  
'''[[Media:ivdm-l8-selezn.pdf|Лекция 8]]'''. Подгруппы. Смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.
+
'''Лекция 8'''. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
  
'''[[Media:ivdm-l9-selezn.pdf|Лекция 9]]'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы. Теорема Пойа. Производящие функции. Перечисляющий ряд для цветов и перечисляющий ряд для раскрасок. Теорема Пойа (общий случай). Примеры.--->
+
'''Лекция 9'''. Перестановки. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.
Коллоквиум по теме "Теория Пойа".
+
 
 +
'''Лекция 10'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок по группе. Теорема Пойа. Примеры.
 +
 
 +
Коллоквиум по теме "Группы".
  
 
'''Часть 3. Конечные поля'''.
 
'''Часть 3. Конечные поля'''.
  
<!---'''[[Media:ivdm-l10-selezn.pdf|Лекция 10]]'''. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.
+
'''Лекция 11'''. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.
 +
 
 +
'''Лекция 12'''. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.
  
'''[[Media:ivdm-l11-selezn.pdf|Лекция 11]]'''. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.
+
'''Лекция 13'''. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.
  
'''Лекция 12'''. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.--->
 
 
Коллоквиум по теме "Конечные поля".
 
Коллоквиум по теме "Конечные поля".
  
Строка 53: Строка 63:
 
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
 
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
 
# Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
 
# Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
# [[Media:ivdm-sem.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Группы. Теория Пойа".
+
<!---# [[Media:ivdm-sem.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Группы. Теория Пойа".
# [[Media:ivdm-sem3.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Конечные поля".
+
# [[Media:ivdm-sem3.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Конечные поля".--->
 
+
 
Дополнительная:
 
Дополнительная:
  
Строка 66: Строка 75:
 
==Семинары==
 
==Семинары==
  
'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
+
<!---'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
  
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.5, 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
+
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.2(1, 3), 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
  
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.6, 1.11(5, 10), 1.12, 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.9, 2.11(1, 2).
+
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.2(2, 4), 1.6, 1.11(5, 10), 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.11(1, 2).
  
 
'''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.  
 
'''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.  
Строка 82: Строка 91:
 
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
 
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
  
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).
+
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).--->
 
+
<!---'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.  
'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.  
+
  
 
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
 
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
Строка 112: Строка 120:
 
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
 
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
  
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).
+
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).--->
  
 
==О проведении экзамена==
 
==О проведении экзамена==
 
  
  
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]

Версия 13:35, 23 января 2023

Курс читает Селезнева Светлана Николаевна

Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен.

Объявления

Лекции

Часть 1. Функции k-значной логики.

Лекция 1. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Представимость функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.

Лекция 2. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Лекция 3. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.

Лекция 4. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Алгоритм распознавания полноты в P_k.

Лекция 5. Замкнутые классы. Отношения. Сохранение функцией отношения. Замкнутость класса всех функций, сохраняющих заданное отношение. Классы функций, сохраняющих некоторые отношения.

Лекция 6. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k.

Лекция 7. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.

Коллоквиум по теме "Функции k-значной логики".

Часть 2. Группы.

Лекция 8. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.

Лекция 9. Перестановки. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.

Лекция 10. Раскраски. Эквивалентность раскрасок по группе. Теорема Пойа. Примеры.

Коллоквиум по теме "Группы".

Часть 3. Конечные поля.

Лекция 11. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.

Лекция 12. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.

Лекция 13. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.

Коллоквиум по теме "Конечные поля".

Литература

Основная:

  1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
  2. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
  3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
  4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.

Дополнительная:

  1. Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1.
  2. Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1.
  3. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1.
  4. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006.
  5. Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017.

Семинары

О проведении экзамена