Дискретные модели управляющих систем — различия между версиями
(→Лекции) |
|||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
==Объявления== | ==Объявления== | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==Лекции== | ==Лекции== | ||
| Строка 86: | Строка 61: | ||
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988. | # Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988. | ||
# Нигматуллин Р.Г. Сложность булевых функций. Казань: Изд-во Казанского университета, 1983. | # Нигматуллин Р.Г. Сложность булевых функций. Казань: Изд-во Казанского университета, 1983. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==Вопросы к экзамену== | ||
| + | |||
| + | # Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, их число и рекуррентные формулы для них. Сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями. | ||
| + | # Верхняя оценка биномиального коэффициента. Поведение последовательности биномиальных коэффициентов. Асимптотика суммы биномиальных коэффициентов. | ||
| + | # Графы и сети. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами. | ||
| + | # Формула Эйлера для планарных графов. Непланарность графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского. | ||
| + | # Наследственные свойства графов. Теорема о числе ребер в графах с наследственным свойством. Теорема о числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о числе ребер в графе без полного графа с n вершинами. | ||
| + | # Числа Рамсея. Верхняя и нижняя оценки чисел Рамсея. | ||
| + | # Полнота в k-значной логике. Теорема о представимости функций k-значной логики в 1-й форме. Теорема о полноте системы Поста в k-значной логике. | ||
| + | # Теорема о представимости функций k-значной логики во 2-й форме. Теорема о полноте системы полиномов. | ||
| + | # Теорема о существовании алгоритма распознавания полноты в k-значной логике. | ||
| + | # Теорема Кузнецова о функциональной полноте. | ||
| + | # Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Критерии их совпадения с Pk. | ||
| + | # Существенные функции. Леммы о существенных функциях: лемма о трех наборах, основная лемма, лемма о квадрате. | ||
| + | # Теорема Яблонского о полноте систем функций k-значной логики, содержащих все функции одной переменной, принимающие не более (k-1) значений. Теорема Слупецкого. | ||
| + | # Шефферовы функции. Критерий шефферовости. | ||
| + | # Замкнутый класс и базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и со счетным базисом. | ||
| + | # Конечные автоматы-преобразователи. Отличимость состояний автомата. Теорема Мура о длине эксперимента, отличающего два отличимых состояния конечного автомата. | ||
| + | # Полнота для конечных автоматов. Операция суперпозиции. Теорема о несуществовании конечных полных систем в функциональной системе автоматных функций с операцией суперпозиции. | ||
| + | # Зависимость с запаздыванием. Операция обратной связи. Теорема о существовании конечных полных систем в функциональной системе автоматных функций с операциями суперпозиции и обратной связи. Несводимость операций суперпозиции и обратной связи друг к другу. | ||
| + | #Дизъюнктивные нормальные формы. Импликанта и простая ипликанта функции. Сокращенная ДНФ и способы ее построения. | ||
| + | #Тупиковые, минимальные и кратчайшие ДНФ, алгоритм построения всех тупиковых ДНФ. | ||
| + | #Ядровая импликанта и ядро функции, ДНФ Квайна. ДНФ "сумма тупиковых". Теорема Журавлева о критерии вхождения простой импликанты функции в ДНФ "сумма тупиковых". | ||
| + | #Локальные алгоритмы. Теорема Журавлева о невозможности построения ДНФ "сумма тупиковых" в классе локальных алгоритмов. | ||
| + | # Схемы из функциональных элементов (СФЭ). Метод Лупанова построения СФЭ в базисе из элементов конъюнкции, дизъюнкции и отрицания для функций алгебры логики. | ||
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]] | [[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]] | ||
Версия 17:25, 18 апреля 2017
Обязательный курс для аспирантов 1 г/о кафедр ИО, МК, ММП
Курс читает доцент Селезнева Светлана Николаевна
Объявления
Лекции
Лекция 1. Комбинаторика. Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики комбинаторных чисел.
Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, их число и рекуррентные формулы для них. Сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями. Оценки и асимптотики биномиальных коэффициентов. Оценки и асимптотики сумм биномиальных коэффициентов. [1] стр. 171-183, 213-214, Слайды к лекции 1
Лекция 2. Графы. Граф и сеть. Оценки числа графов и сетей различных видов. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Теорема Понтрягина-Куратовского.
Графы и сети. Оценка числа деревьев с q ребрами. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Теорема о наибольшем числе ребер в планарном графе. Непланарность графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского. [1] стр. 222-227, 230-233, [2] стр. 26-38, [3] стр. 126-129, Слайды к лекции 2
Лекция 3. Графы. Экстремальная теория графов. Теорема Турана. Теорема Рамсея.
Наследственные свойства графов. Теорема о числе ребер в графах с наследственным свойством. Теорема о числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о числе ребер в графе без полного графа с n вершинами. Числа Рамсея. Оценки чисел Рамсея. [3] стр. 28-31, [4] стр. 301-302, 308-313, Слайды к лекции 3
Лекция 4. Многозначные логики. Способы представления k-значных функций. Полнота. Система Поста.
Функции k-значной логики. Способы представления k-значных функций: 1-я и 2-я формы, полиномы. Полные системы. Теорема о полноте системы Поста в k-значной логике. [1] стр. 43-50, 69-73, Слайды к лекции 4
Лекция 5. Многозначные логики. Алгоритм распознавания полноты конечных систем k-значных функций. Теорема Кузнецова о функциональной полноте.
Теорема о существовании алгоритма распознавания полноты в k-значной логике. Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Теорема Кузнецова о функциональной полноте. [1] стр. 50-56, Слайды к лекции 5
Лекция 6. Многозначные логики. Теорема Яблонского. Теорема Слупецкого.
Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Теорема Яблонского. Теорема Слупецкого. [1] стр. 56-65, Слайды к лекции 6
Лекция 7. Многозначные логики. Особенности многозначных логик.
Замкнутый класс и базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и со счетным базисом. [1] стр. 67-69, Слайды к лекции 7
Лекция 8. Эксперименты с автоматами. Алгоритмическая неразрешимость проблемы полноты для автоматов.
Конечные автоматы-преобразователи. Отличимость состояний автомата. Теорема Мура о длине эксперимента, отличающего два отличимых состояния конечного автомата. Проблема полноты для конечных автоматов. Теорема о существовании конечных полных систем автоматов. Теорема о несводимости операций суперпозиции и обратной связи друг к другу. Теорема об алгоритмической неразрешимости распознавания полноты систем автоматов. [2] стр. 83-86, [1] стр. 86-113
Лекция 9. Проблема минимизации ДНФ. Локальные алгоритмы. Построение ДНФ сумма тупиковых в классе локальных алгоритмов. Невозможность построения ДНФ сумма минимальных в классе локальных алгоритмов. [3] стр. 12-21
Лекция 10. Асимптотически наилучший метод синтеза СФЭ. Инвариантные классы и их свойства. Синтез СФЭ для функций из некоторых инвариантных классов. [4] стр. 65-69, , [3] стр. 5-10
Лекция 11. Нижние оценки сложности реализации функций алгебры логики π-схемами и формулами.
Лекция 12. Эквивалентные преобразования формул двузначной логики. Пример Линдона.
Лекция 13. Логический подход к контролю исправности и диагностике неисправностей управляющих систем. Тесты.
Лекция 14. Конечные поля и их основные свойства. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема.
Литература
- Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
- Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
- Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
- Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.
- Сапоженко А.А. Некоторые вопросы сложности алгоритмов. М.: Издательский отдел ф-та ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001.
- Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
- Нигматуллин Р.Г. Сложность булевых функций. Казань: Изд-во Казанского университета, 1983.
Вопросы к экзамену
- Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, их число и рекуррентные формулы для них. Сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями.
- Верхняя оценка биномиального коэффициента. Поведение последовательности биномиальных коэффициентов. Асимптотика суммы биномиальных коэффициентов.
- Графы и сети. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами.
- Формула Эйлера для планарных графов. Непланарность графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского.
- Наследственные свойства графов. Теорема о числе ребер в графах с наследственным свойством. Теорема о числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о числе ребер в графе без полного графа с n вершинами.
- Числа Рамсея. Верхняя и нижняя оценки чисел Рамсея.
- Полнота в k-значной логике. Теорема о представимости функций k-значной логики в 1-й форме. Теорема о полноте системы Поста в k-значной логике.
- Теорема о представимости функций k-значной логики во 2-й форме. Теорема о полноте системы полиномов.
- Теорема о существовании алгоритма распознавания полноты в k-значной логике.
- Теорема Кузнецова о функциональной полноте.
- Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Критерии их совпадения с Pk.
- Существенные функции. Леммы о существенных функциях: лемма о трех наборах, основная лемма, лемма о квадрате.
- Теорема Яблонского о полноте систем функций k-значной логики, содержащих все функции одной переменной, принимающие не более (k-1) значений. Теорема Слупецкого.
- Шефферовы функции. Критерий шефферовости.
- Замкнутый класс и базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и со счетным базисом.
- Конечные автоматы-преобразователи. Отличимость состояний автомата. Теорема Мура о длине эксперимента, отличающего два отличимых состояния конечного автомата.
- Полнота для конечных автоматов. Операция суперпозиции. Теорема о несуществовании конечных полных систем в функциональной системе автоматных функций с операцией суперпозиции.
- Зависимость с запаздыванием. Операция обратной связи. Теорема о существовании конечных полных систем в функциональной системе автоматных функций с операциями суперпозиции и обратной связи. Несводимость операций суперпозиции и обратной связи друг к другу.
- Дизъюнктивные нормальные формы. Импликанта и простая ипликанта функции. Сокращенная ДНФ и способы ее построения.
- Тупиковые, минимальные и кратчайшие ДНФ, алгоритм построения всех тупиковых ДНФ.
- Ядровая импликанта и ядро функции, ДНФ Квайна. ДНФ "сумма тупиковых". Теорема Журавлева о критерии вхождения простой импликанты функции в ДНФ "сумма тупиковых".
- Локальные алгоритмы. Теорема Журавлева о невозможности построения ДНФ "сумма тупиковых" в классе локальных алгоритмов.
- Схемы из функциональных элементов (СФЭ). Метод Лупанова построения СФЭ в базисе из элементов конъюнкции, дизъюнкции и отрицания для функций алгебры логики.
