Графы и их приложения — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Лекции)
(→‎Лекции)
 
(не показаны 13 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Спецкурсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Спецкурсы кафедры МК]]
 
Спецкурс для аспирантов.
 
Спецкурс для аспирантов.
Строка 8: Строка 9:
 
==Объявления==
 
==Объявления==
  
−
==Лекции==
+
Вопросы по содержанию курса можно присылать Селезневой Светлане Николаевне по эл. почте selezn@cs.msu.ru
  
−
'''Лекция 1'''. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья.
+
==Экзамен==
  
−
'''Лекция 2'''. Точки сочленения и мосты. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Компоненты двусвязности (блоки) графа. Дерево блоков и точек сочленения графа.
+
Экзамен письменный. Продолжительность экзамена – 1 час 30 минут (90 минут). В проверочной работе десять заданий разной сложности по содержанию курса. Первые четыре задания – стандартные задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания – формулировки определений или теорем с дополнительным вопросом. Вопрос проясняет понимание аспирантом формулировки. Они оцениваются также в три балла каждое. Оставшиеся два задания – вопросы или задачи повышенной сложности. Они показывают, может ли аспирант извлекать новые сведения из полученных знаний в курсе. Всего за работу можно получить не более 32 баллов. Критерии оценок: не менее 27 баллов – «отлично», 21-26 баллов – «хорошо», 15-20 баллов – «удовлетворительно», менее 14 баллов – «неудовлетворительно».  
  
−
'''Лекция 3'''. Деревья. Остовные деревья. Число остовных деревьев в помеченном полном графе. Достижимость промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве.
+
'''Вопросы для подготовки к экзамену (2024-2025 уч. год)'''
  
−
'''Лекция 4'''. Раскраски вершин графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Существование графа без треугольников с произвольно большим хроматическим числом.
+
1. Граф. Степень вершины в графе, формула Эйлера. Пути, цепи и циклы в графе, их свойства. Связность, компоненты связности графа. Соотношение между числом вершин, числом ребер и числом компонент связности в графе.
  
−
'''Лекция 5'''. Раскраски ребер графов. Хроматический индекс графа. Хроматический индекс двудольных графов. Верхняя и нижняя оценки хроматического индекса графа.
+
2. Деревья, основные свойства деревьев.
  
−
'''Лекция 6'''. Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Наибольшее число ребер в графах с наследственным свойством. Наибольшее число ребер в планарных графах. Наибольшее число ребер в графах без полного подграфа с n вершинами.
+
3. Разделяющие вершины и ребра (мосты) в графе. Критерии разделяющей вершины и моста в графе.
  
−
'''Лекция 7'''. Числа Рамсея. Верхняя оценка числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея.
+
4. Вершинно двусвязные графы. Критерий двусвязности графа. Реберно двусвязные графы. Критерий реберно двусвязного графа.
  
−
'''Лекция 8'''. Сеть. Поток в сети. Теорема о величине максимального потока в сети. Нахождение максимального потока в сети.
+
5. Компоненты двусвязности связного графа. Дерево компонент двусвязности и разделяющих вершин связного графа.
  
−
'''Лекция 9'''. Труднорешаемые графовые задачи распознавания. NP-полнота задачи k-раскраски графов при каждом заданном числе k \ge 3.
+
6. Остовные деревья. Число остовных деревьев в полном помеченном графе (теорема Кэли).
 +
 
 +
7. Остовные деревья. Достижимость промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве графа.
 +
 +
8. Остовные деревья.  Оценка числа висячих вершин в остовном дереве графа.
 +
 
 +
9. Хроматическое число графа. Критерий раскрашиваемости вершин графа в два цвета (теорема Кенига).
 +
 
 +
10. Хроматическое число графа. Верхние оценки хроматического числа графа (теорема Брукса).
 +
 
 +
11. Хроматическое число графа. Существование графов без треугольников с произвольно большим хроматическим числом (теорема Зыкова).
 +
 
 +
12. Хроматический индекс графа. Хроматический индекс двудольного графа (теорема Кенига).
 +
 
 +
13. Хроматический индекс графа. Верхняя оценка хроматического индекса  графа (теорема Визинга).
 +
 
 +
14. Наследственные свойства графов. Рекуррентное соотношение о наибольшем числе ребер в графе с наследственным свойством.
 +
 
 +
15. Наследственные свойства графов. Планарные графы. Наибольшее число ребер в планарном графе.
 +
 
 +
16. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графе без треугольников.
 +
 
 +
17. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графе без полного подграфа с n вершинами (теорема Турана).
 +
 
 +
18. Числа Рамсея. Рекуррентное соотношение для чисел Рамсея. Верхние оценки числа Рамсея.
 +
 
 +
19. Числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея (теорема Эрдеша).
 +
 
 +
==Лекции==
  
 
'''Литература'''
 
'''Литература'''
Строка 55: Строка 84:
  
 
11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
 
11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
−
 
−
==Экзамен==
 
−
 
−
Экзамен письменный. Продолжительность экзамена – 1,5 астрономических часа (90 минут). В проверочной работе десять заданий разной сложности по содержанию курса. Первые четыре задания – стандартные задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания – формулировки определений или теорем с дополнительным вопросом. Вопрос проясняет понимание аспирантом формулировки. Они оцениваются также в три балла каждое. Оставшиеся два задания – вопросы или задачи повышенной сложности. Они показывают, может ли аспирант извлекать новые сведения из полученных знаний в курсе. Всего за работу можно получить не более 32 баллов. Критерии оценок: не менее 27 баллов – «отлично», 21-26 баллов – «хорошо», 15-20 баллов – «удовлетворительно», менее 14 баллов – «неудовлетворительно».
 
−
 
−
'''Вопросы для подготовки к экзамену'''
 
−
 
−
1. Точки сочленения и мосты в графе. Теорема о равносильных определениях точки сочленения. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Теорема о равносильных определениях двусвязного графа.
 
−
 
−
2. Компоненты двусвязности (блоки) в графе. Критерий принадлежности двух вершин графа одной компоненте двусвязности. Свойства компонент двусвязности графа. Теорема о дереве блоков и точек сочленения графа.
 
−
 
−
3. Остовные деревья в графе. Теорема Кэли о числе остовных деревьев помеченного полного графа.
 
−
 
−
4. Остовные деревья в графе. Теорема о достижимости промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве графа.
 
−
 
−
5. Остовные деревья в графе. Теорема об оценке числа висячих вершин в остовном дереве графа.
 
−
 
−
6. Хроматическое число графа. Критерий Кенига двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа.
 
−
 
−
7. Хроматическое число графа. Теорема Брукса о верхней оценке хроматического числа графа.
 
−
 
−
8. Хроматическое число графа. Теорема Зыкова о существовании графов без треугольников с произвольно большим хроматическим числом.
 
−
 
−
9. Хроматический индекс графа. Теорема о хроматическом индексе полного графа.
 
−
 
−
10. Хроматический индекс графа. Теорема Кенига о хроматическом индексе двудольного графа.
 
−
 
−
11. Хроматический индекс графа. Теорема Визинга о верхней оценке хроматического индекса графа.
 
−
 
−
12. Наследственные свойства графов. Теорема об оценке наибольшего числа ребер в графе с наследственным свойством.
 
−
 
−
13. Наследственные свойства графов. Планарные графы, теорема о наибольшем числе ребер в планарном графе.
 
−
 
−
14. Наследственные свойства графов. Теорема о наибольшем числе ребер в графе без треугольников.
 
−
 
−
15. Наследственные свойства графов. Теорема Турана о наибольшем числе ребер в графе без полного подграфа с n вершинами.
 
−
 
−
16. Числа Рамсея. Теорема о верхней оценке числа Рамсея.
 
−
 
−
17. Числа Рамсея. Теорема Эрдеша о нижней оценке числа Рамсея.
 
−
 
−
18. Обходы графов. Алгоритмы построения остовных деревьев на основе обходов графа.
 
−
 
−
19. Компоненты двусвязности графа. Алгоритм построения компонент двусвязности графа на основе обхода в глубину.
 
−
 
−
20. Потоки в сетях. Теорема Форда и Фалкерсона о величине максимального потока в сети.
 
−
 
−
21. Потоки в сетях. Алгоритм расстановки пометок для построения максимального потока в сети.
 
−
 
−
22. Паросочетания в графах. Алгоритм построения наибольшего паросочетания в двудольном графе на основе построения максимального потока в сети.
 
−
 
−
23. Труднорешаемые графовые задачи. NP-полнота задачи k-раскраски графа при каждом заданном числе k \ge 3.
 

Текущая версия на 17:28, 23 октября 2024

Спецкурс для аспирантов.

Лектор - Селезнева Светлана Николаевна

Аннотация. В курсе рассматриваются основные структурные свойства графов и показывается их применение при решении подходящих задач. Разбираются простейшие свойства графов, связность и k-связность, деревья и остовные деревья, вершинные и реберные раскраски графов, наследственные свойства графов и экстремальные графы, числа Рамсея, статистические свойства графов и потоки в сетях. Кроме того, уделяется внимание алгоритмическим вопросам, связанным с графами, в частности, труднорешаемым графовым задачам. Приводятся как классические, так и достаточно новые результаты, относящиеся к свойствам графов.

Объявления

Вопросы по содержанию курса можно присылать Селезневой Светлане Николаевне по эл. почте selezn@cs.msu.ru

Экзамен

Экзамен письменный. Продолжительность экзамена – 1 час 30 минут (90 минут). В проверочной работе десять заданий разной сложности по содержанию курса. Первые четыре задания – стандартные задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания – формулировки определений или теорем с дополнительным вопросом. Вопрос проясняет понимание аспирантом формулировки. Они оцениваются также в три балла каждое. Оставшиеся два задания – вопросы или задачи повышенной сложности. Они показывают, может ли аспирант извлекать новые сведения из полученных знаний в курсе. Всего за работу можно получить не более 32 баллов. Критерии оценок: не менее 27 баллов – «отлично», 21-26 баллов – «хорошо», 15-20 баллов – «удовлетворительно», менее 14 баллов – «неудовлетворительно».

Вопросы для подготовки к экзамену (2024-2025 уч. год)

1. Граф. Степень вершины в графе, формула Эйлера. Пути, цепи и циклы в графе, их свойства. Связность, компоненты связности графа. Соотношение между числом вершин, числом ребер и числом компонент связности в графе.

2. Деревья, основные свойства деревьев.

3. Разделяющие вершины и ребра (мосты) в графе. Критерии разделяющей вершины и моста в графе.

4. Вершинно двусвязные графы. Критерий двусвязности графа. Реберно двусвязные графы. Критерий реберно двусвязного графа.

5. Компоненты двусвязности связного графа. Дерево компонент двусвязности и разделяющих вершин связного графа.

6. Остовные деревья. Число остовных деревьев в полном помеченном графе (теорема Кэли).

7. Остовные деревья. Достижимость промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве графа.

8. Остовные деревья. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве графа.

9. Хроматическое число графа. Критерий раскрашиваемости вершин графа в два цвета (теорема Кенига).

10. Хроматическое число графа. Верхние оценки хроматического числа графа (теорема Брукса).

11. Хроматическое число графа. Существование графов без треугольников с произвольно большим хроматическим числом (теорема Зыкова).

12. Хроматический индекс графа. Хроматический индекс двудольного графа (теорема Кенига).

13. Хроматический индекс графа. Верхняя оценка хроматического индекса графа (теорема Визинга).

14. Наследственные свойства графов. Рекуррентное соотношение о наибольшем числе ребер в графе с наследственным свойством.

15. Наследственные свойства графов. Планарные графы. Наибольшее число ребер в планарном графе.

16. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графе без треугольников.

17. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графе без полного подграфа с n вершинами (теорема Турана).

18. Числа Рамсея. Рекуррентное соотношение для чисел Рамсея. Верхние оценки числа Рамсея.

19. Числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея (теорема Эрдеша).

Лекции

Литература

Основная:

1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Либроком, 2009.

2. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.

Дополнительная:

3. Diestel R. Graph Theory. Springer, 2010.

4. Карпов Д.В. Теория графов

5. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

6. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.

7. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.

8. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.

9. Дасгупта С., Пападимитриу Х., Вазирани У. Алгоритмы. М.: МЦНМО, 2014.

10. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.

11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.

Источник — «https://mk.cs.msu.ru/index.php?title=Графы_и_их_приложения&oldid=11480»