Избранные вопросы дискретной математики — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Лекции)
(→‎Лекции)
 
(не показаны 83 промежуточных версий 1 участника)
Строка 5: Строка 5:
 
==Объявления==
 
==Объявления==
  
−
4 декабря семинар состоится на 1-й паре с 8-45 до 10-20 в ауд. 504, лекция - на 3-й паре с 12-50 до 14-25 в ауд. 609.
+
==Лекции==
  
−
[[Media:ivdm-kolok17.docx|Результаты коллоквиумов]]
+
'''Часть 1. Функции k-значной логики'''.
  
−
==Лекции==
+
'''Лекция 1'''. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Представимость функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.
  
−
'''Часть 1. Конечнозначные функции'''.
+
'''Лекция 2'''. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
  
−
'''[[Media:ivdm-l1-selezn.pdf|Лекция 1]]'''. Конечнозначные функции. Элементарные k-значные функции. Способы представления k-значных функций: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.
+
'''Лекция 3'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
  
−
'''[[Media:ivdm-l2-selezn.pdf|Лекция 2]]'''. Алгоритм распознавания полноты в P_k. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Теорема Кузнецова о функциональной полноте. Предполные классы.
+
'''Лекция 4'''. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Алгоритм распознавания полноты в P_k.
  
−
'''[[Media:ivdm-l3-selezn.pdf|Лекция 3]]'''. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.
+
'''Лекция 5'''. Замкнутые классы. Отношения. Сохранение функцией отношения. Замкнутость класса всех функций, сохраняющих заданное отношение. Классы функций, сохраняющих некоторые отношения.
  
−
'''[[Media:ivdm-l4-selezn.pdf|Лекция 4]]'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и замкнутых классов со счетным базисом. Классы функций, сохраняющих предикат, их замкнутость. Соответствие Галуа.
+
'''Лекция 6'''. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k.
  
−
Коллоквиум по теме "Конечнозначные функции".
+
'''Лекция 7'''. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.  
  
−
'''Часть 2. Теория Пойа'''.
+
Коллоквиум по теме "Функции k-значной логики".
  
−
'''[[Media:ivdm-l5-selezn.pdf|Лекция 5]]'''. Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли.
+
<!---'''Часть 2. Группы'''.
  
−
'''[[Media:ivdm-l6-selezn.pdf|Лекция 6]]'''. Подгруппы. Смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
+
'''Лекция 8'''. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
  
−
'''[[Media:ivdm-l7-selezn.pdf|Лекция 7]]'''. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда.
+
'''Лекция 9'''. Перестановки. Симметрическая группа перестановок. Теорема Кэли. Орбита и стабилизатор элемента. Лемма Бернсайда.
  
−
'''[[Media:ivdm-l8-selezn.pdf|Лекция 8]]'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы. Производящие функции. Перечисляющий ряд для фигур и перечисляющий ряд для функций. Теорема Пойа.
+
'''Лекция 10'''. Раскраски. Эквивалентность раскрасок по группе. Теорема Пойа. Примеры.
  
−
Коллоквиум по теме "Теория Пойа".
+
Коллоквиум по теме "Группы".
  
 
'''Часть 3. Конечные поля'''.
 
'''Часть 3. Конечные поля'''.
  
−
'''[[Media:ivdm-l9-selezn.pdf|Лекция 9]]'''. Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Наследование свойств кольца в кольце многочленов. Деление с остатком многочленов над полем.
+
'''Лекция 11'''. Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Критерий неприводимости многочленов степени 2 и 3.
  
−
'''[[Media:ivdm-l10-selezn.pdf|Лекция 10]]'''. Идеалы, главные идеалы колец. Кольцо главных идеалов. Теорема о главном идеале кольца главных идеалов. Кольцо многочленов как кольцо главных идеалов. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 2.
+
'''Лекция 12'''. Построение конечных полей из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1. Нахождение обратного элемента в конечном поле. Мультипликативная группа конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.
  
−
'''[[Media:ivdm-l11-selezn.pdf|Лекция 11]]'''. Критерий неприводимости многочленов степени 2 или 3. Расширения полей. Вычисления в полях, алгоритм Евклида. Теорема о мультипликативной группе конечного поля.
+
'''Лекция 13'''. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность конечного поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1.
−
 
+
−
'''[[Media:ivdm-l12-selezn.pdf|Лекция 12]]'''. Произведение неприводимых многочленов над простым полем. Число неприводимых нормированных многочленов над простым полем. Корни неприводимых многочленов над полем в его расширении. Существование и единственность поля из p^n элементов, где p - простое число, n \ge 1.
+
  
 
Коллоквиум по теме "Конечные поля".
 
Коллоквиум по теме "Конечные поля".
 +
--->
  
 
'''Литература'''
 
'''Литература'''
 +
 +
Основная:
 
   
 
   
 
# Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
 
# Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
Строка 53: Строка 54:
 
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
 
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
 
# Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
 
# Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.
−
# [[Media:ivdm-sem.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Группы. Теория Пойа".
+
<!---# [[Media:ivdm-sem.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Группы. Теория Пойа".
−
# [[Media:ivdm-sem3.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Конечные поля".
+
# [[Media:ivdm-sem3.pdf|Задачи для семинарских занятий]] по теме "Конечные поля".--->
 +
Дополнительная:
 +
 
 +
# Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1.
 +
# Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1.
 +
# Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1.
 +
# Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006.
 +
# Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017.
  
 
==Семинары==
 
==Семинары==
  
−
'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
+
<!---'''Занятие 1'''. Тождества в k-значной логике. Представления k-значных функций в 1-й и 2-й формах и полиномами по модулю k.
  
−
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.5, 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
+
[4] Гл. III 1.1(3, 6, 10, 12), 1.2(1, 3), 1.11(2, 4, 8, 11), 2.7(1, 3, 6, 9), 2.12(1, 2), 2.8(1, 3).
  
−
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.6, 1.11(5, 10), 1.12, 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.9, 2.11(1, 2).
+
На дом: [4] Гл. III 1.1(4, 7, 11, 13), 1.2(2, 4), 1.6, 1.11(5, 10), 2.7(2, 8, 10), 2.12(3, 5), 2.8(2), 2.11(1, 2).
  
 
'''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.  
 
'''Занятие 2'''. Функции, сохраняющие множество и сохраняющие разбиение. Сведение к заведомо полным системам.  
Строка 70: Строка 78:
 
На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.
 
На дом: [4] Гл. III 2.13(7, 8, 9, 10), 2.16(2, 4), 2.19(5, 9, 10, 11, 12), 2.14, 2.15.
  
−
'''Занятие 3'''. Распознавание полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.  
+
'''Занятие 3'''. Проверка полноты систем функций. Критерий полноты. Система полиномов. Базисы.  
  
 
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
 
[4] Гл. III 2.20(1, 2, 3), 2.21(1, 2, 5, 7), 2.22(1, 3, 5), 2.23(1, 3, 4), 2.25(1, 3).
  
−
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).
+
На дом: [4] Гл. III 2.20(4, 5, 7), 2.21(3, 4, 6, 8), 2.22(2, 4, 6), 2.23(5, 7), 2.25(2, 4).--->
−
 
+
<!---'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.  
−
'''Занятие 4'''. Группы, подгруппы, теорема Кэли. Цикловой индекс группы перестановок.  
+
  
 
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
 
[5] 2.1(1, 2), 2.2(2, 4), 2.3(1, 3, 5, 7), 2.4(2, 4), 2.5(2, 4, 6, 8), 2.6(2, 3), 2.7(1).
Строка 104: Строка 111:
 
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
 
[6] 3.6(1, 3, 5, 7), 3.8(1, 3, 5, 7), 3.9(1, 3, 5, 7), 3.10(1, 3, 5, 7), 3.11(1, 3, 5, 7).
  
−
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).
+
На дом: [6] 3.6(2, 4, 6, 8), 3.8(2, 4, 6, 8), 3.9(2, 4, 6, 8), 3.10(2, 4, 6, 8), 3.11(2, 4, 6, 8).--->
  
 
==О проведении экзамена==
 
==О проведении экзамена==
  
−
Экзамен устный. В билете два теоретических вопроса и задача. Ответ на вопросы билета без подготовки. При ответе на первый вопрос можно пользоваться любыми бумажными источниками (конспектами лекций, распечатками, книгами). При ответе на второй вопрос никакими источниками пользоваться не разрешается. Задача на одну из трех тем. В течение семестра по каждой из этих тем состоятся коллоквиумы. На каждом из них можно получить одну из трех оценок: 1 (освобождение от задачи), 0,5 или 0 (дополнительная задача). При наличии дополнительных задач по итогам коллоквиумов студент решает эти задачи до того, как возьмет билет.
 
  
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]

Текущая версия на 21:01, 6 сентября 2024

Курс читает Селезнева Светлана Николаевна

Курс "Избранные вопросы дискретной математики" читается в 5-м семестре (36 ч лекций и 18 ч семинаров). Отчетность - экзамен.

Объявления

Лекции

Часть 1. Функции k-значной логики.

Лекция 1. Функции k-значной логики. Формулы. Тождества. Представимость функций k-значной логики в 1-й и 2-й формах.

Лекция 2. Полиномы. Теорема о представлении функций k-значной логики полиномами по модулю k. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Лекция 3. Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.

Лекция 4. Выразимость и полнота в P_k, их алгоритмическая разрешимость для конечных множеств. Алгоритм распознавания полноты в P_k.

Лекция 5. Замкнутые классы. Отношения. Сохранение функцией отношения. Замкнутость класса всех функций, сохраняющих заданное отношение. Классы функций, сохраняющих некоторые отношения.

Лекция 6. Предполные классы. Описание предполных классов. Теорема Кузнецова о предполных классах в P_k.

Лекция 7. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теорема Янова. Теорема Мучника. Мощность множества замкнутых классов в P_k.

Коллоквиум по теме "Функции k-значной логики".


Литература

Основная:

  1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
  2. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
  3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
  4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М., Физматлит, 2004.

Дополнительная:

  1. Марченков С.С. Избранные главы дискретной математики. М.: МАКС Пресс, 2016. Глава 1.
  2. Марченков С.С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004. Глава 1.
  3. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: МЭИ, 1997. Часть 1.
  4. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer, 2006.
  5. Горшков С.П., Тарасов А.В. Сложность решения систем булевых уравнений. М.: Курс, 2017.

Семинары

О проведении экзамена

Источник — «https://mk.cs.msu.ru/index.php?title=Избранные_вопросы_дискретной_математики&oldid=11249»