Дискретные модели — различия между версиями

Текущая версия на 00:09, 6 января 2024

Курс для студентов неинтегрированной магистратуры (1-й курс, 2-й семестр)

Лекции - 16 ч, отчетность - экзамен.

Лектор - Селезнева Светлана Николаевна.

Объявления

Программа курса

Тема 1. Многозначные логики.

Лекция 1. Функции k-значной логики. Способы их представления: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Лекция 2. Алгоритм распознавания полноты в P_k. Теорема Кузнецова. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество. Классы функций, сохраняющих разбиение. Предполные классы.

Лекция 3. Особенности многозначных логик. Замкнутый класс, базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и замкнутых классов со счетным базисом.

Тема 2. Графы.

Лекция 4. Графы. Простейшие свойства графов.Деревья, остовные деревья. Число остовных деревьев полного помеченного графа. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве графа.

Лекция 5. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Оценки хроматического числа графа.

Лекция 6. Наследственные свойства графов. Оценка числа ребер в графе с наследственным свойством. Планарные графы, наибольшее число ребер в планарном графе. Наибольшее число ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о наибольшем числе ребер в графе без полного графа с n вершинами.

Лекция 7. Числа Рамсея. Верхняя и нижняя оценки чисел Рамсея.

Литература

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
4. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
5. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.

О проведении экзамена

Экзамен проходит в виде письменной работы. На экзамене не разрешается пользоваться никакими материалами. Письменная работа содержит 10 заданий. Задания 1-4 - типовые задачи, каждая из которых оценивается в 3 балла (примерный перечень типовых задач ниже). Каждое из заданий 5-8 - определение или формулировка теоремы с дополнительным вопросом, который проясняет суть определения или теоремы. Каждое из заданий 5-8 оценивается в 3 балла. Задания 9-10 - нестандартные задачи или доказательство теоремы или ее части. Каждое из заданий 9-10 оценивается в 4 балла. Продолжительность работы - 1,5 ч (одна пара).

За письменную работу можно получить не более 32 баллов. Критерии оценок:

не менее 27 баллов - "отлично";

20-26 баллов - "хорошо";

13-19 баллов - "удовлетворительно";

не более 12 баллов - "неудовлетворительно".

Примерный перечень типовых задач к экзамену:

1) доказать заданное тождество для функций k-значной логики ([3] гл. III 1.1(1-12));

2) записать заданную функцию k-значной логики в 1-й или во 2-й форме при заданном k ([3] гл. III 1.11);

3) построить полином по модулю k для заданной функции k-значной логики при заданном простом k ([3] гл. III 2.7);

4) выяснить, задается ли полиномом по модулю k заданная функция k-значной логики при заданном составном k ([3] гл. III 2.12);

5) исследовать заданную систему функций на полноту ([3] гл. III 2.13, 2.19, 2.21, 2.22);

6) найти число попарно неизоморфных графов определенного вида и перечислить эти графы ([3] гл. VI 1.3-1.8, 1.29);

7) построить код заданного остовного дерева полного графа или восстановить остовное дерево полного графа по его коду ([4] стр. 79-80);

8) построить остовное дерево для заданного связного графа с заданным числом висячих вершин;

9) найти хроматическое число заданного графа ([3] гл. VI 2.18, 2.19);

10) найти наибольшее число ребер в графе с заданным наследственным свойством ([3] гл. VI 2.8, 2.9, 2.10, 2.17).