Просмотр исходного текста страницы Дискретная математика 2 (группа 141)

Лектор - доцент [[Селезнева Светлана Николаевна]].

Курс читается для группы 141 во втором семестре. Лекции - 2 ч в неделю, семинары - 2 ч в неделю. Форма отчетности - экзамен.

[[Категория:Лекционные_курсы_кафедры_МК]]

==Программа курса==


*Лекция 1 (7.02.2014 г.). Комбинаторные объекты и комбинаторные числа. Правило суммы и правило произведения. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями. Их число и рекуррентные формулы для них. Теорема о числе сочетаний с повторениями. [[Media:dm2-lect1-selezn.pdf|Лекция 1]]

Задачи к лекции: найти число объектов определенного вида.

*Лекция 2 (14.02.2014 г.). Свойства биномиальных коэффициентов и их последовательностей. Формула бинома Ньютона. Производящие функции, вычисление сумм и доказательство комбинаторных тождеств. Формула включений-исключений и ее производные случаи. [[Media:dm2-lect2-selezn.pdf|Лекция 2]]

Задачи к лекции: при помощи производящих функций вычислить комбинаторную сумму или доказать комбинаторное тождество; при помощи формулы включений-исключений найти число объектов определенного вида.

*Лекция 3 (21.02.2014 г.). Функции натурального аргумента (последовательности). Рекуррентные уравнения. Линейные однородные рекуррентные уравнения (ЛОРУ). Частное решение ЛОРУ, лемма о линейной комбинации частных решений ЛОРУ. Общее решение ЛОРУ. Характеристический многочлен ЛОРУ. Теоремы об общем решении ЛОРУ. Линейные неоднородные рекуррентные уравнения (ЛНРУ), их частные и общие решения. Теорема об общем решении ЛНРУ. Теорема о частном решении ЛНРУ. [[Media:dm2-lect3-selezn.pdf|Лекция 3]]
 
Задачи к лекции: решить заданное ЛОРУ или ЛНРУ.

*Лекция 4 (28.02.2014 г.). Схемы из функциональных элементов (СФЭ) в некотором базисе. Сложность и глубина СФЭ. Примеры. Метод синтеза СФЭ по ДНФ. [[Media:dm2-lect4-selezn.pdf|Лекция 4]]
 
Задачи к лекции: для заданной булевой функции или системы булевых функций построить СФЭ в заданном базисе с заданной сложностью или глубиной. 

*Лекция 5 (7.03.2014 г.). Сумматор. Сложность одноразрядного сумматора. Теорема о верхней оценке сложности n-разрядного сумматора в базисе из конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Вычитатель. Теорема о верхней оценке сложности n-разрядного вычитателя в базисе из конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. 
 
Задачи к лекции: построить n-разрядный сумматор или вычитатель при заданном n.

*Лекция 6 (14.03.2014 г.). Умножитель. Леммы о сложности СФЭ для умножения на разряд и на степень двойки. Лемма о соотношении сложностей СФЭ для (n+1)-разрядного и n-разрядного умножителей. Теорема Карацубы о сложности СФЭ для n-разрядного умножителя. 
 
Задачи к лекции: построить n-разрядный умножитель при заданном n.

*Лекция 7 (21.03.2014 г.). Конечные автоматы (КА) без выхода (конечные автоматы-распознаватели). Диаграммы переходов. Автоматные множества (языки). Лемма о свойствах автоматных множеств. Пример неавтоматного множества. [[Media:dm2-lect7-selezn.pdf|Лекция 7]]
 
Задачи к лекции: по заданной диаграмме переходов найти язык, принимаемый этим автоматом; доказать автоматность языка, построив диаграмму переходов автомата, принимающего этот язык. 

*Лекция 8 (28.03.2014 г.). Недетерминированные конечные автоматы (НКА) без выхода. Теорема о совпадении классов множеств, принимаемых недетерминированными и детерминированными конечными автоматами. Процедура детерминизации НКА. [[Media:dm2-lect8-selezn.pdf|Лекция 8]]
 
Задачи к лекции: детерминизировать заданный НКА. 

*Лекция 9 (4.04.2014 г.). Регулярные выражения и регулярные множества. Теорема о совпадении классов регулярных и автоматных множеств.
 
Задачи к лекции: по заданному регулярному выражению построить КА, принимающий регулярное множество, соответствующее этому регулярному выражению; по заданному автоматному множеству построить регулярное выражение, определяющее это автоматное множество. 

*Лекция 10 (11.04.2014 г.). Упрощение КА. Теорема о длине эксперимента, отличающего два отличимые состояния КА. 
 
Задачи к лекции: упростить заданный КА, представленный диаграммой переходов. 

*Лекция 11 (18.04.2014 г.). Конечные автоматы с выходом (КАВ) (конечные автоматы-преобразователи). Диаграммы переходов, канонические уравнения. Автоматные функции. Функция единичной задержки, доказательство ее автоматности. Пример неавтоматной функции. 
 
Задачи к лекции: по описанию функции доказать ее неавтоматность или доказать ее автоматность, построив диаграмму переходов автомата для этой функции.

*Лекция 12 (25.04.2014 г.). Схемы из функциональных элементов с элементами задержки (СФЭз), автоматность осуществляемых ими отображений. Реализация КАВ СФЭз. Реализация сумматора СФЭз. 
 
Задачи к лекции: по заданной СФЭз построить КАВ, реализуемый этой схемой; построить СФЭз, реализующий заданный КАВ.

*Лекция 13 (16.05.2014 г.). Упрощение конечных автоматов с выходом. Лемма о двух отличимых состояниях КАВ. Теорема Мура о длине эксперимента, отличающего два отличимые состояния КАВ.   
 
Задачи к лекции: упростить заданный КАВ, представленный диаграммой переходов.

'''Литература'''

# Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
# [[Media:dm-alekseev.pdf|Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике]]. М.: МАКС Пресс, 2004.
# Марченков С.С. Конечные автоматы. М.: Физматлит, 2008 ([[Media:ka-march-part1.pdf|Часть 1]]).
# Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2008.
# Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
# [[Media:odm-selezn.pdf|Селезнева С.Н. Основы дискретной математики]]. М.: МАКС Пресс, 2010.

==Программа семинарских занятий==

*Занятие 1. Подсчет числа комбинаторных объектов. Правила суммы и произведения.

[1] Гл. VIII  1.1(1, 2), 1.2(1-2), 1.4(1-3), 1.6, 1.8(1-3), 1.9(1, 2), 1.10(1, 2), 1.11(1-3).

На дом:  [1] Гл. VIII  1.1(3), 1.5(1-2), 1.7, 1.8(4-7), 1.9(3), 1.10(3), 1.12(1-3).

*Занятие 2. Свойства биномиальных коэффициентов и их сумм.

[1] Гл. VIII  1.13(1-4), 1.14(1, 3, 5, 7), 1.18(1, 3, 5, 7, 9, 12), 1.21(1, 3), 1.22(1, 3), 1.25(1, 2).

На дом:  [1] Гл. VIII  1.13(5-8), 1.14(2, 4, 6), 1.18(2, 4, 6, 8, 10), 1.21(2, 4), 1.22(2, 4), 1.25(3, 4).

*Занятие 3. Принцип включений-исключений.

[1] Гл. VIII  2.1(2-3), 2.4(1-2), 2.5(1, 3), 2.6(1, 3, 5), 2.2, 2.7(1, 3), 2.8.

На дом:  [1] Гл. VIII  2.5(2), 2.6(2, 4, 6), 2.7(2, 4), 2.9.

*Занятие 4. Рекуррентные уравнения.

[1] Гл. VIII 3.2(1, 3, 5), 3.3(1, 3, 5), 3.5(1-3), 3.6(2), 3.7(5).
 
На дом:  [1] Гл. VIII 3.2(2, 4, 6), 3.3(2, 4), 3.5(4-5), 3.6(3).  

*Занятие 5. Понятие схемы в некотором базисе. Метод синтеза по ДНФ.

[1] Гл. X  1.4(р. 10.2 а)-в)), 1.1(1-2, 5), 1.18(1-3), 1.2(1-2), 1.5(1-2), 1.7(1-2, 5), 1.8.

На дом:  [1] Гл. X  1.1(3-4, 6-7), 1.18(4-6), 1.2(3-4), 1.5(3-4), 1.7(3-4, 6). 

*Занятие 6. Синтез некоторых систем булевых функций.

[1] Гл. X  1.9(1-2), 1.10, 1.11(1-2), 1.12(1, 3), 1.13(1), 1.10, 2.8 (1-3, СФЭ с уменьшением сложности).

На дом:  [1] Гл. X  1.9(3), 1.11(3), 1.12(2), 1.13(2), 1.17, 2.8 (4-6, СФЭ с уменьшением сложности). 

*Занятие 7. Контрольная работа по темам "Комбинаторика" и "СФЭ" (2 ч).

*Занятие 8. Конечные автоматы без выхода (КА) и автоматные множества. Диаграмма переходов.

[2] 1(1-3, 7), 2(1, 3), 9.

На дом: [2] 1(4-6, 8), 2(2, 4), 10.

*Занятие 9. Недетерминированные конечные автоматы без выхода (НКА). Детерминизация НКА.

[2] 3(1, 3), 4(1, 3), 7(1), 8(1).

На дом: [2] 3(2, 4), 4(2, 4), 7(2), 8(2).

*Занятие 10. Регулярные выражения и регулярные множества. Упрощения КА.

[2] 5(1, 2), 6(1, 3, 5, 7).

На дом: [2] 5(3, 4), 6(2, 4, 6, 8).

*Занятие 11. Конечные автоматы с выходом (КАВ). Диаграмма Мура и канонические уравнения.

[1] Гл. IV 1.1(1-4), 1.2(1-2), 2.1(1, 3, 15, 24, 27).

На дом:  [1] Гл. IV 1.1(8-12), 1.2(3-4), 2.1(4, 8, 16, 25, 28). 

*Занятие 12. Реализация КАВ СФЭз. Упрощения КАВ.

[1] Гл. IV 2.13(1, 4, 7), 2.14(1, 3), 2.4(1-3).
 
На дом: [1] Гл. IV 2.13(2, 3, 10), 2.14(2, 4), 2.4(4-6).  

*Занятие 13. Контрольная работа по темам «КА» и «КАВ» (2 ч).

'''Литература'''

# Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.
# [[Media:finaut.pdf|Задачи для семинарских занятий по теме "Конечные автоматы без выхода"]]
# [[Media:odm-selezn.pdf|Селезнева С.Н. Основы дискретной математики]]. М.: МАКС Пресс, 2010.