Графы и их приложения

Спецкурс для аспирантов.

Лектор - Селезнева Светлана Николаевна

Аннотация. В курсе рассматриваются основные структурные свойства графов и показывается их применение при решении подходящих задач. Разбираются простейшие свойства графов, связность и k-связность, деревья и остовные деревья, вершинные и реберные раскраски графов, наследственные свойства графов и экстремальные графы, числа Рамсея, статистические свойства графов и потоки в сетях. Кроме того, уделяется внимание алгоритмическим вопросам, связанным с графами, в частности, труднорешаемым графовым задачам. Приводятся как классические, так и достаточно новые результаты, относящиеся к свойствам графов.

Объявления

Итоги экзамена разосланы по почте. Посмотреть работы можно в пятницу, 29 декабря, в 13 ч 30 мин в к. 595 или 9 января в 13 ч 30 мин в к. 595.

Экзамен состоится 20 декабря 2023 г. (в среду). Начало - в 16 ч 30 мин. Ауд. 503.

Экзамен

Экзамен письменный. Продолжительность экзамена – 1 час 30 минут (90 минут). В проверочной работе десять заданий разной сложности по содержанию курса. Первые четыре задания – стандартные задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания – формулировки определений или теорем с дополнительным вопросом. Вопрос проясняет понимание аспирантом формулировки. Они оцениваются также в три балла каждое. Оставшиеся два задания – вопросы или задачи повышенной сложности. Они показывают, может ли аспирант извлекать новые сведения из полученных знаний в курсе. Всего за работу можно получить не более 32 баллов. Критерии оценок: не менее 27 баллов – «отлично», 21-26 баллов – «хорошо», 15-20 баллов – «удовлетворительно», менее 14 баллов – «неудовлетворительно».

Вопросы для подготовки к экзамену (2023-2024 уч. год)

1. Граф. Степень вершины в графе, формула Эйлера. Пути, цепи и циклы в графе, их свойства. Связность, компоненты связности графа. Соотношение между числом вершин, числом ребер и числом компонент связности в графе.

2. Деревья, основные свойства деревьев.

3. Остовные деревья. Число остовных деревьев в полном помеченном графе (теорема Кэли).

4. Остовные деревья. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве графа.

5. Остовные деревья. Достижимость промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве графа.

6. Разделяющие вершины и ребра (мосты) в графе. Критерии разделяющей вершины и моста в графе.

7. Вершинно двусвязные графы. Критерий двусвязности графа. Реберно двусвязные графы. Критерий реберно двусвязного графа.

8. Компоненты двусвязности связного графа. Поиск компонент двусвязности графа. Дерево компонент двусвязности и разделяющих вершин связного графа.

9. Пополнения в графе. Пополнения остовного дерева до двусвязного и реберно двусвязного графов.

10. Наследственные свойства графов. Рекуррентное соотношение о наибольшем числе ребер в графе с наследственным свойством.

11. Наследственные свойства графов. Планарные графы. Наибольшее число ребер в планарном графе.

12. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графе без треугольников.

13. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графе без полного подграфа с n вершинами (теорема Турана).

14. Числа Рамсея. Рекуррентное соотношение для чисел Рамсея. Верхние оценки числа Рамсея.

15. Числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея (теорема Эрдеша).

16. Хроматическое число графа. Критерий раскраски вершин графа в два цвета (теорема Кенига).

17. Хроматическое число графа. Верхние оценки хроматического числа графа (теорема Брукса).

18. Хроматическое число графа. Существование графов без треугольников с произвольно большим хроматическим числом (теорема Зыкова).

Лекции

Лекция 1. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья.

Лекция 2. Деревья. Остовные деревья. Число остовных деревьев в помеченном полном графе. Достижимость промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве.

Лекция 3. Точки сочленения и мосты. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Компоненты двусвязности (блоки) графа. Дерево блоков и точек сочленения графа.

Лекция 4. Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Наибольшее число ребер в графах с наследственным свойством. Наибольшее число ребер в планарных графах. Наибольшее число ребер в графах без полного подграфа с n вершинами.

Лекция 5. Числа Рамсея. Верхняя оценка числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея.

Лекция 6. Раскраски вершин графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Существование графа без треугольников с произвольно большим хроматическим числом.

Литература

Основная:

1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Либроком, 2009.

2. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.

Дополнительная:

3. Diestel R. Graph Theory. Springer, 2010.

4. Карпов Д.В. Теория графов

5. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

6. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.

7. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.

8. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.

9. Дасгупта С., Пападимитриу Х., Вазирани У. Алгоритмы. М.: МЦНМО, 2014.

10. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.

11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.