Версия 23:28, 11 февраля 2018

Обязательный курс для студентов 318 группы 6 семестра обучения, а также для студентов 241 группы (Математическая логика и теория алгоритмов). Курс читает В. В. Подымов.

Объявления

В этом разделе будут выкладываться объявления о текущих изменениях в курсе и на странице курса

• 2018.02.11 23:28 Страница подготовлена к началу весеннего семестра 2017/2018 учебного года

Слайды лекций

Здесь будут выкладываться слайды лекций по мере их чтения

Временный архив слайдов: 2016-2017 учебный год

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16-17.

Семинары

Семинары 1-4 проводятся по этому сборнику задач

Желающие более глубоко проработать материал первых четырёх семинаров могут обратиться к расширенному сборнику задач

Материалы остальных семинаров будут появляться по мере проведения занятий.

Контрольная работа

Формат проведения и длительность контрольной работы: письменно, 95 минут.

В рамках контрольной работы требуется решить

• три задачи:
  • построить формулу логики предикатов, адекватно описывающую высказывание, представленное на естественном языке;
  • проверить общезначимость формулы логики предикатов, используя метод семантических таблиц
    • (правила табличного вывода будут выданы вместе с заданием контрольной);
  • проверить общезначимость формулы логики предикатов, используя метод резолюций;
• девять теоретических вопросов, проверяющих знание материала, изложенного в лекциях 2-9.

Контрольная работа оценивается по шкале от 0 до 15 баллов. Итоговые баллы за работу - это сумма баллов за задачи и теоретические вопросы.

Правильно решённая задача оценивается в 2 балла. Задача, решённая с ошибками, может быть оценена числом баллов от 0 до 2 в зависимости от качества и количества ошибок.

Правильно решённый теоретический вопрос оценивается в 1 балл. В каждом теоретическом вопросе предлагается несколько вариантов ответа. Среди этих ответов может быть один, ни одного или несколько правильных. Для правильного решения теоретического вопроса следует отметить все правильные ответы и только их. Обоснование того, почему выбраны или не выбраны те или иные ответы, не требуется.

Группа 241: баллы, набранные за контрольную работу, суммируются с другими баллами, требуемыми для зачёта.

Группа 318: по результатам контрольной работы определяется бонус или штраф, суммирующийся с баллами за экзаменационную работу:

• набрано от 13 до 15 баллов: бонус +3 балла;
• набрано от 10 до 12 баллов: бонус +1 балл;
• набрано от 7 до 9 баллов: штраф -1 балл;
• набрано 6 баллов или меньше: штраф -3 балла;
• контрольная работа пропущена по неуважительной причине: штраф -3 балла;
• контрольная работа пропущена по уважительной причине: бонус +0 баллов.

Экзамен

Формат проведения и длительность экзамена: письменно, 120 минут.

Экзаменационная работа оценивается по шкале от 0 до 30 баллов (промежуточные баллы). Итоговые баллы за экзаменационную работу - это сумма промежуточных баллов, бонусов и штрафов по итогам контрольной работы, а также других бонусов, если удалось их получить. В зависимости от полученных итоговых баллов за экзаменационную работу выставляется оценка за экзамен:

• набрано хотя бы 25 баллов: отлично;
• набрано хотя бы 20, но менее 25 баллов: хорошо;
• набрано хотя бы 15, но менее 20 баллов: удовлетворительно;
• набрано менее 15 баллов: неудовлетворительно.

Промежуточные баллы складываются из баллов, полученных за решение каждой задачи в работе. Описание задач и оценки за их безошибочное решение:

• Задача 1 (3 балла): предложить формулу логики предикатов, адекватно описывающую заданное утверждение, записанное на естественном языке.
• Задача 2 (3 балла): проверить общезначимость формулы логики предикатов методом семантических таблиц.
• Задача 3 (3 балла): проверить общезначимость формулы логики предикатов методом резолюций.
• Задача 4 (3 балла): точная формулировка будет определена по окончании лекций и семинаров.
• Задача 5 (3 балла): точная формулировка будет определена по окончании лекций и семинаров.
• Задачи 6-9 (2 балла за каждую) состоят из двух частей: а) сформулировать теорему или определение, рассказанные в лекциях; б) ответить на вопрос, так или иначе связанный с первой частью, без пояснений (как правило - "да" или "нет", либо привести какой-либо пример).
• Задачи 10-12 (3 балла за каждую): из предложенных вариантов ответа на заданный вопрос выбрать правильные (один, несколько или ни одного), правильность каждого выбранного ответа обосновать (невыбранные ответы обосновывать не нужно).

Зачёт

В зачётную неделю будет проведена вторая контрольная работа. Эта работа будет содержать

• Две задачи, идентичные задачам 4, 5 экзамена, каждая из которых оценивается в 2 балла.
• Пять теоретических вопросов по лекциям 10-18 по лекциям, проведённым после контрольной работы, аналогичные теоретическим вопросам первой контрольной работы. Каждый теоретический вопрос оценивается в 1 балл.

Для получения зачёта необходимо набрать хотя бы две трети баллов суммарно за две контрольные работы и дополнительные бонусы, то есть не менее 18 баллов.

Не получившим зачёт по результатам второй контрольной работы будут предоставлены дополнительные попытки получения зачёта. На этих попытках:

• Сохраняются баллы за каждую задачу, суммарный балл за теоретические вопросы первой контрольной работы, суммарный балл за теоретические вопросы второй контрольной работы.
• Предоставляется возможность поднять каждый из этих баллов, решив соответствующие части новых вариантов контрольных работ.

Дополнительные бонусы к экзамену и зачёту

Общее условие сдачи задач на дополнительные бонусы:

• принцип сдачи задач:
  • идеи и выкладки, не требующие технических деталей, - устно;
  • если выкладки не воспроизводятся или не воспринимаются устно, то письменно;
• при подготовке и сдаче можно пользоваться любыми материалами;
• при сдаче проверяется понимание каждой детали решения задачи - следует быть к этому готовым;
• задача считается решённой, если не осталось неотвеченных вопросов по обоснованию всех шагов решения задачи.

Бонусы за решение задач сформулированы для одной учебной группы и получаются внутри одной группы независимо от другой (например, "первый предоставивший решение" трактуется как "первый предоставивший решение из группы 318, а также первый предоставивший решение из группы 241".

Условия задач и поощрения за их решения будут появляться в слайдах лекций и в этом разделе по мере проведения занятий.

Программа курса

Раздел будет дополняться по мере проведения занятий.

Классические логики

1. Логика высказываний: синтаксис, семантика; выполнимость, невыполнимость, общезначимость формул. Проблема общезначимости формул логики высказываний.
2. Метод семантических таблиц в логике высказываний: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличном выводе.
3. Проблема выполнимости булевых формул: приложения, основные решающие алгоритмы (алгоритм локального поиска, алгоритм DPLL).
4. Логика предикатов: синтаксис (термы, формулы, свободные и связанные переменные), семантика (интерпретации, отношение выполнимости).
5. Выполнимость, общезначимость и противоречивость формул логики предикатов. Модели. Логическое следование. Теорема о логическом следствии. Проблема общезначимости формул логики предикатов.
6. Пример выполнимой формулы логики предикатов, не имеющей конечных моделей.
7. Метод семантических таблиц в логике предикатов: семантическая таблица, табличный вывод, теорема о табличной проверке общезначимости, теорема корректности табличного вывода, теорема полноты табличного вывода.
8. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема компактности Мальцева. Теорема Чёрча.
9. Равносильные формулы. Теорема о равносильной замене.

Метод резолюций в логике предикатов

10. Предварённая нормальная форма. Теорема о предварённой нормальной форме.
11. Сколемовская стандартная форма. Алгоритм сколемизации предварённой нормальной формы. Теорема о сколемизации.
12. Дизъюнкты. Сведение проблемы общезначимости формул к проблеме противоречивости систем дизъюнктов.
13. Подстановки. Композиция подстановок. Унификатор. Наиболее общий унификатор. Задача унификации выражений логики предикатов.
14. Лемма о связке. Алгоритм унификации. Теорема об унификации.
15. Правило резолюции. Правило склейки. Резолютивный вывод. Теорема корректности резолютивного вывода.
16. Эрбрановский универсум. Эрбрановский базис. Эрбрановские интерпретации. Теорема об эрбрановских интерпретациях. Теорема Эрбрана.
17. Лемма об основных дизъюнктах. Лемма о подъёме. Теорема полноты резолютивного вывода.
18. Метод резолюций: общая схема, применение.
19. Стратегии резолютивного вывода. Семантическая резолюция. Теорема полноты семантического резолютивного вывода. Входной резолютивный вывод.
20. Резолютивный вывод как средство вычисления. Хорновские дизъюнкты.

Рекомендованная литература

Основная литература

1. Клини С. Математическая логика. М.:Мир, 1973, 480 с.
2. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.:Мир, 1983. 360 с.
3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. Москва, "Физико-математическая литература", 1995 г., 250 с.
4. Метакидес Г., Нероуд А., Принципы логики и логического программирования. Москва, "Факториал", 1998, 288 с.
5. Братко И. Программирование на Прологе для искусственного интеллекта. М.:Мир, 1990, 560 с.
6. Набебин А.А. Логика и Пролог в дискретной математике. М., Изд-во МЭИ, 1997.
7. Кларк Э.М., Грамберг О., Пелед Д. Верификация моделей программ: model checking. Изд-во МЦНМО, Москва, 2002, 405 с.

Дополнительная литература

1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.:Наука, 1984. 319 с.
2. Верещагин Н.К., Шень А. Языки и исчисления. 2004.
3. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2004. 128 с.
4. Лавров И.А. Математическая логика. Учебное пособие для вузов. М.: Академия, 2006.
5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Серия "Классический университетский учебник". Изд.3, 2006, 240 с.
6. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика - М.: 1979.
7. Непейвода Н. Н. Прикладная логика. Новосибирск. 2000 г.
8. Хоггер К., Введение в логическое программирование. М.:Мир, 1988. 348 с.
9. Клоксин У., Меллиш К. Программирование на языке Пролог. М.:Мир, 1987. 336 с.
10. Кларк К.Л., Маккейб Ф.Г. Микро-Пролог: введение в логическое программирование. Москва, "Радио и связь". 1987, 311 с.
11. Стерлинг Л., Шапиро Э., Искусство программирования на языке ПРОЛОГ. Москва, "Мир", 1990, 235 с.
12. Ковальский Р. Логика в решении проблем. М.: Наука, 1990. 277 с.
13. Логический подход к искусственному интеллекту (от модальной логики к логике баз данных). М.:Мир, 1998. 495 с.