Дискретные модели управляющих систем — различия между версиями

Материал из Кафедра математической кибернетики
Перейти к: навигация, поиск
(Экзамен)
(Содержимое страницы заменено на «Обязательный курс для аспирантов 1 г/о кафедр ИО, МК, ММП Категория:Лек…»)
 
(не показаны 22 промежуточных версий 1 участника)
Строка 1: Строка 1:
 
Обязательный курс для аспирантов 1 г/о кафедр ИО, МК, ММП
 
Обязательный курс для аспирантов 1 г/о кафедр ИО, МК, ММП
 
   
 
   
Курс читает [[Селезнева Светлана Николаевна|Селезнева Светлана Николаевна]]
 
 
==Объявления==
 
 
==Лекции==
 
 
'''Лекция 1'''.  Комбинаторика. Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики комбинаторных чисел.
 
 
Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, их число и рекуррентные формулы для них. Сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями. Оценки и асимптотики биномиальных коэффициентов. Оценки и асимптотики сумм биномиальных коэффициентов. [1] стр. 171-183, 213-214, [[Media: dmus1-selezn.pdf| Слайды к лекции 1]]
 
 
'''Лекция 2'''. Графы. Граф и сеть. Оценки числа графов и сетей различных видов. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Теорема Понтрягина-Куратовского.
 
 
Графы и сети. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Теорема о наибольшем числе ребер в планарном графе. Непланарность графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского. [1] стр. 222-227, 230-233, [2] стр. 26-38, [3, 4], [[Media: dmus2-selezn.pdf| Слайды к лекции 2]]
 
 
'''Лекция 3'''. Графы. Экстремальная теория графов. Теорема Турана. Теорема Рамсея.
 
 
Наследственные свойства графов. Теорема о числе ребер в графах с наследственным свойством. Теорема о числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о числе ребер в графе без полного графа с n вершинами. Числа Рамсея. Оценки чисел Рамсея. [3, 4], [[Media: dmus3-selezn.pdf| Слайды к лекции 3]]
 
 
'''Лекция 4'''. Многозначные логики. Способы представления k-значных функций. Полнота. Система Поста.
 
 
Функции k-значной логики. Способы представления k-значных функций: 1-я и 2-я формы, полиномы. Полные системы. Теорема о полноте системы Поста в k-значной логике. [1] стр. 43-50, 69-73, [[Media: dmus4-selezn.pdf| Слайды к лекции 4]]
 
 
'''Лекция 5'''. Многозначные логики. Алгоритм распознавания полноты конечных систем k-значных функций. Теорема Кузнецова о функциональной полноте.
 
 
Теорема о существовании алгоритма распознавания полноты в k-значной логике. Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Теорема Кузнецова о функциональной полноте. [1] стр. 50-56, [[Media: dmus5-selezn.pdf| Слайды к лекции 5]]
 
 
'''Лекция 6'''. Многозначные логики. Теорема Яблонского. Теорема Слупецкого. 
 
 
Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Теорема Яблонского. Теорема Слупецкого. [1] стр. 56-65, [[Media: dmus6-selezn.pdf| Слайды к лекции 6]]
 
 
'''Лекция 7'''. Многозначные логики. Особенности многозначных логик.
 
 
Замкнутый класс и базис замкнутого класса. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и со счетным базисом. [1] стр. 67-69,  [[Media: dmus7-selezn.pdf| Слайды к лекции 7]]
 
 
'''Лекция 8'''. Конечные автоматы. Регулярные события и их представления в автоматах.
 
 
Конечные автоматы без выхода, детерминированные и недетерминированные. Автоматные множества. Пример неавтоматного множества. Теорема о совпадении классов множеств слов, допускаемых конечными детерминированными и недетерминированными автоматами. Процедура детерминизации конечного автомата. [5], [[Media: dmus8-selezn.pdf| Слайды к лекции 8]]
 
 
'''Лекция 9'''. Конечные автоматы. Регулярные события и их представления в автоматах.
 
 
Операции над автоматными множествами: дополнение, объединение, пересечение, произведение, итерация, их автоматность. [5], [[Media: dmus9-selezn.pdf| Слайды к лекции 9]]
 
 
'''Лекция 10'''. Конечные автоматы. Регулярные события и их представления в автоматах.
 
 
Регулярные выражения и регулярные множества. Совпадение классов автоматных и регулярных множеств. [5], [[Media: dmus10-selezn.pdf| Слайды к лекции 10]]
 
 
'''Лекция 11'''. Конечные автоматы. Эксперименты с автоматами.
 
 
Конечные автоматы с выходом. Преобразование периодических последовательностей конечными автоматами с выходом. Отличимость состояний в конечных автоматах с выходом. Упрощение автоматов. [2], [[Media: dmus11-selezn.pdf| Слайды к лекции 11]]
 
 
'''Лекция 12'''. Конечные поля и их основные свойства.
 
 
Кольца, поля. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Поле остатков от деления на неприводимый многочлен над полем. [6, 7], [[Media: dmus12-selezn.pdf| Слайды к лекции 12]]
 
 
'''Лекция 13'''. Конечные поля и их основные свойства.
 
 
Построение конечных полей. Вычисления в конечных полях. Свойства мультипликативной группы конечного поля. [6, 7], [[Media: dmus13-selezn.pdf| Слайды к лекции 13]]
 
 
'''Лекция 14'''. Конечные поля и их основные свойства.
 
 
Произведение неприводимых многочленов степени, кратной n. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Корни неприводимых многочленов над простым полем в его расширении. Существование и единственность поля с p^n элементами, где p - простое число, n \ge 1. [6, 7], [[Media: dmus14-selezn.pdf| Слайды к лекции 14]]
 
 
'''Литература'''
 
 
# Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
 
# Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра-М, 2012.
 
# Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Либроком, 2009.
 
# Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.
 
# Марченков С.С. Конечные автоматы. М.: Физматлит, 2008.
 
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.: Мир, 1988.
 
# Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007.
 
 
==Экзамен==
 
 
Экзамен письменный. Продолжительность экзамена – 1,5 астрономических часа (90 минут). В проверочной работе десять заданий разной сложности по содержанию курса. Первые четыре задания – стандартные задачи по курсу, они оцениваются в 3 балла каждое. Следующие четыре задания – формулировки определений или теорем с дополнительным вопросом. Вопрос проясняет понимание аспирантом формулировки. Они оцениваются также в три балла каждое. Оставшиеся два задания – вопросы или задачи повышенной сложности. Они показывают, может ли аспирант извлекать новые сведения из полученных знаний в курсе. Всего за работу можно получить не более 32 баллов. Критерии оценок: не менее 27 баллов – «отлично», 21-26 баллов – «хорошо», 15-20 баллов – «удовлетворительно», менее 14 баллов – «неудовлетворительно».
 
 
'''Вопросы к экзамену'''
 
 
# Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, их число и рекуррентные формулы для них. Сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями.
 
# Поведение последовательности биномиальных коэффициентов. Верхняя оценка биномиального коэффициента. Асимптотика суммы биномиальных коэффициентов.
 
# Граф. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами. 
 
# Планарный граф. Формула Эйлера для планарных графов. Непланарность графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского (только формулировка).
 
# Наследственные свойства графов. Теорема о числе ребер в графах с наследственным свойством. Теорема о числе ребер в планарном графе.
 
# Теорема о числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана о числе ребер в графе без полного графа с n вершинами.
 
# Числа Рамсея. Верхняя и нижняя оценки числа Рамсея.
 
# Полная система в k-значной логике. Теорема о представимости функций k-значной логики в 1-й форме. Теорема о полноте системы Поста в k-значной логике.
 
# Полная система в k-значной логике. Теорема о представимости функций k-значной логики во 2-й форме. Теорема о полноте системы полиномов.
 
# Полная система в k-значной логике. Теорема о существовании алгоритма распознавания полноты в k-значной логике.
 
# Полная система в k-значной логике. Замкнутый класс. Теорема Кузнецова о функциональной полноте.
 
# Замкнутый класс в k-значной логике. Классы функций, сохраняющих множество и сохраняющих разбиение, их замкнутость. Критерии их совпадения с Pk.
 
# Существенные функции в k-значной логике. Леммы о существенных функциях: лемма о трех наборах, основная лемма, лемма о квадрате.
 
# Теорема Яблонского о полноте систем функций k-значной логики, содержащих все функции одной переменной, принимающие не более (k-1) значений. Теорема Слупецкого.
 
# Шефферовы функции в k-значной логике. Критерий шефферовости.
 
# Замкнутый класс и базис замкнутого класса в k-значной логике. Теоремы Янова и Мучника о существовании в многозначных логиках замкнутых классов без базиса и со счетным базисом.
 
# Детерминированные конечные автоматы без выхода, их функционирование и способы представления. Автоматные множества, лемма об их свойствах. Пример неавтоматного множества.
 
# Недетерминированные конечные автоматы без выхода. Теорема о совпадении классов множеств слов, допускаемых конечными детерминированными и недетерминированными автоматами. Процедура детерминизации конечного автомата.
 
# Операции над автоматными множествами: дополнение, объединение, пересечение, произведение и итерация, их автоматность.
 
# Регулярные выражения и регулярные множества. Совпадение классов автоматных и регулярных множеств.
 
# Детерминированные конечные автоматы с выходом, их функционирование и способы представления. Преобразование периодических последовательностей конечными автоматами с выходом.
 
# Отличимость состояний в конечных автоматах с выходом. Теорема Мура о длине слова, отличающего два отличимые состояния конечного автомата. Упрощение автоматов.
 
#Кольца, их виды. Поля. Теорема о конечном целостном кольце. Простое поле.
 
#Характеристика кольца. Характеристика конечного целостного кольца.
 
#Кольцо многочленов над кольцом. Наследование свойств кольца в кольце многочленов.
 
#Кольцо многочленов над полем. Деление с остатком многочленов над полем.
 
#Наибольший общий делитель двух многочленов над полем. Теорема о его существовании и единственности.
 
#Неприводимые многочленов над полем. Критерий неприводимости многочленов степени два и три.
 
#
 
#Теорема о мультипликативной группе конечного поля. Примитивный элемент конечного поля.
 
#Теорема о произведении неприводимых нормированных многочленов над простым полем.
 
#Формула обращения Мебиуса. Теорема о числе неприводимых многочленов степени n над простым полем. Существование поля из p^n элементов, где p – простое число, n ≥ 1.
 
#Расширения полей. Теорема о корнях неприводимых многочленов в расширении простого поля.
 
#Расширения полей. Теорема о свойствах корней неприводимых многочленов в расширении простого поля.
 
#Теорема о существовании и единственности конечного поля из p^n элементов, где p – простое число, n ≥ 1.
 
 
 
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]
 
[[Категория:Лекционные курсы кафедры МК]]

Текущая версия на 14:05, 24 мая 2021

Обязательный курс для аспирантов 1 г/о кафедр ИО, МК, ММП